1.2空间向量基本定理5题型分类（讲+练）（解析版）.docx
VS1.xHKtS<RM0r1.2空间向量基本定理5题型分类«15>NM空西W*W京昆育、夷角SRt1.*W5三«f2：利用底霰孝生网肉包*94«13：刎用型网用量成冬定理木彩先酒定库一、空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共而，邨么对任：一个空间向量p,存在*一的有年实数1.(x,y,z),使得p=xa+f>*zc.我们杷%,c叫做空冏的一个息底，f1.b,C都叫做息向量.二、空网向量的正交分解1 .单位正文基底如果空间的一个基底中的三个县向量两两至在，且长度都是I,师么这个县底叫做单位正殳基底.常用H.J,A)表示.如果三个向量.b.c不共面，坏么对任你一个空间向量存4唯一的有序实效姐(x.%)使得p=.w+2我们把,b,c叫做空间的一个基底，.,C都叫做向量.2 .向芝的正殳分解由空间向量基本定理可知.对空网任一向量a均可以分解为三个向量此0.球使得4=W+.炉T1.像这样把一个空间向骨分解为三个两两至五的向量,叫做把空同向骨进忏正义分解.三、空间向量北本定理的应用I.求异而直投的失角：cos<a,b>=I>1.f,2,证明共线(平行)、共而、垂直同匙：(1)对于空间任两个向量a、b(bO),aHb的充要条件是存在实效兀tta=zh.2)加果两个向a.b不共找.那么向量P与向量a.b具面的充要条件是存在唯一的有年实效对(x.>).使P=Xa+yb.(3)若a、b是非零向量，i'a1b<»ah=0.3,求距禹(长度)问机aI=a7a(4=yABAB).彩空间向基底的判断U)空间任意三个不共面的向业都可构成空间的个基底,班底选定后，空间的所有向法均可由范底唯去示：不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同：(2)一个基底是一个向量级，一个基向埴是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念：(3)田于零向量与任亚一个非零向St共线.与任意两个不共线的非零向St共面.所以若三个向量不共面,就说明它们相不是零向量.(4)基底的选择一般有两个条件：(1)基底必须是不共面的非零向量；(2)在进行基底选择时要尽量选择1.1.知夹角和长度的向W，这样会让后续计算比较方便.M1：空间向量基底的科斯1-1.(2024高三全国对口而考己知。力、可为空间的一个狭岐，则下列各选项能构成基底的是()A. a.O-2b.a+bB.a+b.a-h.cC. 2a+2b.a+h.2cD.a+c,b+e.a+b+2e【答案】B【分析】利用基底的性质进行求解.【讣解】因为”-前=初一2(”+，；)，所以亿是共面向死不能构成她底，A不正确：“+Ji向*所以可以构成桂峡，B正确；因为%+勖。+力平行，所以+2，>,。+,2。不能构成梁底，C不正确：因为“+c+b+ca+b+2c1.?rW«+C,b+c.(t+b+2cjt1.fi,不脆构成系底.D仕IE确.故选：B.1-2.(2024高：下江西曲昌期中)4.尻力为空间的组恭底，则下列各项中能构成班底的一殂向信是A.<÷>(11-B.b(+hohD. <?.a+bfa-bD.rt+2Z>+ia-b【答案】C【分析】确定“=g(a+B)+(-硝.h=+z,)(rt,)"+2>=*+,>)-：(-)排除ABD.得到答案.【佯肝】，："J；.A：“=笠("+(。叫.向史共向,故不能构成基底.错误：对选项&/>=；(“+)-(“-/>),向小共商.故不能构成基氐.错i关：时选项C：假设Z=Ma+办)+(“叫即。=仅+)“+-),这。题设矛M假设不成立,可以构成基底，正确：对选项D：“+劝=来“+)弓(”-，)，向收共面.故不能构成基底.第误：故选：C1-3.(2024高一下淘南期末)给出下列命也：若,.)可以作为空间的一组基.d与3共线.dw()则4也可也可作为空间的一组基：已知向最£九则ab与任何向量都不能构成空间的一组基：A.H.M.N地空间四点，若BA.HM.BN不能构成空间的一组基，那么A.U.M.N共面：已知"Ac是空间的一祖基，若k="+c，则。力.，“也是空间的一组葩.其中出命时的个数是().A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】由空间向的标底的定义,结合空间向.畸基本定理以及共线定理,利用反证法可解答案.【详解】根据空间中任Je三个不共面的向量都可构成空间的一组翦,显然正确.中由8A8M.BN兑而且过相同EB,故A也M,NJt面.下面证明正确.1tt</,jf1.frJt1.fJ,则存在“数九",使</=&，+/，"团d与3共线，c.f存在实效上使2&3,0<0.IMkO,从而3新+，心，团3，aM共向，9条件f盾.2,E不共面.同理可证也是正确的.故选：D.1-4.2024福-下湖科期末)己知B.斗是空间的一个班底,若p=a.b.q=d+c,则下列与p.q构成一组空间基底的是()A.r=2b-3ciB.r=a-b2c【答案】A【分析】根据构成空间出底的条件对选项进行分析,从而确定正确答案.【佯解】Ai*=M+同，所以2h-女=X(4+卜F(d+d).引理b2>-3e=(.v+y)«+xb+yc.因为。而，是空间的个侬底.所以x+y=()-r三2.无料.所以P，?与构成一个堪庭.B.P<为r=a-b+2d所以r=2q-P,所以排除B；C.因为,=u+2-d,所以r=2p-g,所以排除CD.Yi,r=xp+yq.所以2+b+d=x("+b)+y(+d).!4理行，2rt+Z>+<'=(.r+.y)+.tf>+ye,因为,力是空间的一个也x+y=2X-1,所以>'=1所以P.«71.，r'；构成个基长，力除0.故选：A彩偏题渺猾利用基底表示空阈向，1、用基底表示向琏时，若基底确定，要利用向埴加法、减法的三角形法和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行化简：若没给葩底，首先要选出票底，再求解.2.用基底表示向量的步骤：(1)定基底：由1.1.知条件，确定三个不技面的向量构成空间的一个基底.(2)寻F1.标；由确定的掂底表示目标向茶，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向笊的代换、向立的运算进行变形化简.(3)下结论：利用空间的一个基底0,b,。可以表示出空间所有向fit.我示要彻底，结果中只能含有%b.c,不能含有其他形式的向量.««2：利用JMf承型间肉量2-1.(2024高二下江苏徐州期中)如图，在平行六面体ABCD-B1C,D1.P足CA1的中点,点Q在CA上,且CQ：QA=4：1.设八8。，ADb>AAyc.则()【答案】C(分析J利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为。是CG的中点.所以AP=；(9+八右)=；(AA,+AH+AD=(a+b+c).又因为点Q在CA上,且CQ：QA=4:1.WrW(>=M+A<?=M+=M+-<C-A41)=4AC+-AA15555I4114=(AB÷AD)+A41.=-t+yfe÷-cI所以QP=八P-八0=；(“+<*)-1-?-=±+俞""6故选：C.2-2.(2024高二卜江苏盐城期中)在四面体O-ABc中,PA=2OPQ是8C的中点,且M为PQ的中点,【答案】A【分析】利，I1.基底。.瓦C小OPQQ,再利用向擅线性运第求解即可.(详解】因为2OP=P所以OP=；。八因为Q是BC的中点，所以。0=:(如+"(?),闵为M为PQ沏中点,所以OM=1.(OP+e)=P+1.e=1.+-(O+OC)=+->+-<i.22264644故选：A.2-3.(2024高二上浙江丽水期末>在平行六面体ARCD-AfiCpI中,AC.8。相交于0.M为OG的中【答案】C【分析】由空间向量的找性运算结合图形计算即可.24(2024高二上邓建泉州期末)已知四面体OTBCGr是AA8C的更心，G是OG/上一点，且OG=3GG”若OG=XQA+O8+nOC,则(x,y,z)为()1分tJA3并延长，交8C于点EMMMI侬乘几何意义用。儿"8。八小田欣;.炜，”.!答案.【详解】加图所示.连接A3并延长，交8C于点幺则点E为8C的中点，AE=-(A+AC)=-(O-2OA+OC),则AG=MAE=-(OH-2OA+(X).2233由砂设OG=yGG=XOGx-OG).(X；=：0G1.=：(QA+AG,)=：(QA+：08-QA+:OQ=：(OA+OH+OC)所以=y=z=!4故选：A彩饵41淞籍=空间向量基本定理在几何中的应用用空间向量基本定理解决几何问题时需注意(I)若证明线线平行，只需证明两向琏共线.(2)若证明线战率只需证明两向盘的数吊:伙为0.(3)若求异面出戏所成的角，则转化为求两向此的夹角.(4)若求两点间的距离，则转化为求向盘的模.*«3：利用空间向量*本定双求性3-1.(2024高二下云南阶段练习如图,在正方体ASCD-A型也中,E户分别为A8,DR的中点,若【答案】-I(分析根抠向小的分解和基氐的定义求帽.【详好】内为EF=EA+A。+。F=-QA-1.DC+；。.所以X-1.y.2"!.所以x+.、+Z=T-；+；=T./Z1.故答案为：-1.3-2.(2024高二下江苏常州期中已知矩形A8C”,/，为平面A8CT>外点，乃1，平面八8C/),点M.N满足W=:FC.PN=-PD.TiMN=XAHyADzAP,则x+>+z=()4J【答案】At分析】利用空间向小必*、定理表示比MS即可求解.【讦务】H形ABCD''.AC=AB+AD,'以PC=PA+AC=PA+B+AD=A1.i+AB+AD因为FM=：FC.所以PM=I(-AP+A8+AO).囚为H)=Ao-八RPN=PD.所以PN=AC-八?卜所以MN=PN-W=(D-AP)-(-PB+D=-A-*+D.所以X吁3-一！z!,所以+>+z=1.266Zo/D2故选：A33(2024高三上安徽宜城,期末)四棱惟P-AeCD中，底面ABa)是平行四边形，点£为枝PC的中点,若AE=A8+>3O+=AP.则*+.V+n等于<>35A.-B.1C.-D.222【答案】A【分析】if>1.1.H!t:'¾n.-hAi,'1.'1.!AE=-AbadaP.W照系数,求得HNZ,代入可得选项./，/；,：',><M-A1.f.IfCtC1.：A1.itAD+EP-+AD+(AP-A£),所以2八£=八8+AD+八P,所以AE=所以*=；,)=；,；：=；,所以x+n+2=:+!+!=.故选：A.34(2024陕西1.
