动点问题中的函数图象题复习讲义.docx

动点问题中的函数图象题复习讲义动点问俄中的函数因患感，是中考常考的选择题的压轴地型之一，此类版目的解题方法是理解动点的完整运动过程动中见静”,在“薛”中运用相关知识探求目标量与动点的函数解析式或每部分的特点.有的孰目还需要找出目标函数的图象.理解图象中的关雄点或者赭折点所表示的实际意义,还要理解图象的含义，合理运用分类讨论解决问瓯解咫策略一与面积有关的动点函数图彖题与面枳有关的动点函数图象题,常规的解法有以下两种：1 .特殊值法：根据特殊位置时的函数值找到图象的特殊点，反之也可.确定图形的关键点，改关键点（包括转折点），定点到不同运动路径的最近点（一般作点到线段的垂线，利用“垂线段最短“解答1.2 .观察法：根据题目描述，分析函数值在每段函数图象中的变化.与面积有关的动点函数图象Sa,一般采用以下解题策珞：1.痫定图形的关键点，改关城点I包括转折点）,定点到不同运动路径的最近点（一般作点到线段的垂线，利用,垂线段最理'解答）；3 .分类讨论，根据关键点把运动路径分为不同的部分，单独求出每一部分的困数解析式（注意取值范围）；4 .必要时果用划!卜法，把不规则图形分为几部分，分另炼出各部分的面积后,再求和I差）得到结果；5 .结合每段路径的解析式判断选项中的图象是否正确.此类面积问题一般都与时间有关，面枳的函数解析式都是时间的函数，为了快速解决问题,可以采用排除法.使用排除法时有以下小技巧：I启先明确面枳的表达公式，面积一般是两条线段乘枳的形式（悌形面根是线段和与另一条线段的乘积形式，2.然后确定该面积公式中的线段的长度是否随时间发生变化.（1）如果两条线段的长度都发生变化，则其乘积会出现平方项，函数图象一般是曲线型（此时需要注意两者乘积也可能为常数，此时函数图象应该为一条水平线段），然后根据平方项系数的正负再确定是上凸还是下凹.（2）如果只有一条线段的长度随时间发生变化，而另一条线段的长度不Rfi时间改变，则图触一般是直线型（斜线段）.（3）如果两条线段的长度都不发生改变，乘积为用数，此时函数图象应该为一条水平线段.工要充分利用图形的特点，比如对称性等.如果图形对称，则函数图象也经常是对称的.4注意初始!殿点时面积的变化情况，注意最大值和最小值出现的时间点.当然，排除法不见得能解决所有这类问题,必要时可结合函数常规方法一同使用，这样能加快解答速度和准确精选伤蝴例1如图.正方形ABCD的边长为2cm.动点P.Q同时从点A出发.在正方形的边上.分别按ATD-CAtB"的方向,都以IcnVs的速度运动,到达点C时运动终止连接PQ.设运动时间为XS,APQ的面积为,ycm?则下列图象中能大致表示y与X的函数关系的是（）.解析根据跟总当点P在AD上运动时,AP=AQ=X,此时SAPtJ=yQAP=当点P在CD上运动时.(CP=CQ=4-X1PD=X-2,此时SAPQ=S曲如.物火。一SCPQI-Sabq，-SW5由此可得/IPQ的面积y与X的关系，迸而可判断出y关于X的函数的图象的大致形状.解当(OSXS2时.；正方形的边长为2cm,y=Spq=AQ-AP=x2i当2SXS4时.y=Sdg-Scjgr,tB11>-SdBaS4ia0q-SVD'=2×2-j(4-x)z-×2×(x-2)-i×2×(x-2)=-x2+2x.y与X之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合.蝇A.例2.如图.在正方形ABCD.AB=3cm,动点M自点A出发沿AB方向以每秒ICm的速度运动，同时点N自点D出发沿折线DeYB以每秒2cm的速度运动到达点B时运动同时停止.设/1MN的面枳为W单位：(on2),运动时间为M单位：秒)，则下列图象中能大致反映y与X之间函数关系的是().分两部分计算y与X的函数解析式：当点N在CD上时，易得S“NN的解析式为一个一次函数;当点N在CB上时.底边AM变化得出,另MN的解析式为一个开口向下的二次函数解法一：点N自点D出发沿折线.。C-CB以每秒2cm的速度运动，到达点B二点N运动到点C的时间为t=3÷2=1.5(秒).分两部分进行讨论：当05烂1.5时,如答图,1.½f1.N在DC上.SAMN=y=AMAD=x×3=1.×.当1.5<x3时.如答图2.此时N在BC上.DC+CN=2x,BN=6-2x.SAMN=y=AM-BN=gx(6-2x)=-x2+3x.艇A-VtVR解法二当点N在DC上运动时，Sazn=y=I1.MgAM变动，AD不变，乘积改变，所以藤B.D选项:当点N在CB上运动时SAMN=X=YMBN.AM,BN都变动，所以的故图融为曲线型,排除C选项故选A.例3.如图.点P是菱形ABCD边上的一动点.它从点A出发沿ATBY-D路径匀速运动到点D.设APAD的面积为y,点P的运动时间为X,则y关于、的函数图象大致为I).解析题目可分为三段考虑：AB段，BC段，CD段.解分三种情况：当点P在AB边上时.如答图1,设菱形的高为h.y=pPh.VAP舫X的增大而增大，h不变，函数图象为直线型，.y随X的增大而增大，故选项C,D不正确.当点P在边BC上时.畸图：2.y=AD-hD和h髀变.二在这个过程中，y不变，此时困数图象应该为平行于*轴的一条线段，故选项A不正确.当点P在边CD上时，如答图3,y=ipDh.¥口随*的增大而减小，八不变，y随X的增大而喇.点P从点A出发沿ArB-C-D路径匀速运动到点D.点P在三条线段上运动的时间相同，故选项D不正确.故选B.答图3落选练习1.如图.边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放AB与EF在一条直线上，点A与点F亚合.现将.EFG沿AB方向以每秒I个单位的速度匀速运动，当点F与点B至合时停止，在这个运动过程中,正方形ABCD和EFG由馨部分的面积S与运动时t的函数图像大致是I）.2.如图.在ABC中.乙B=90o./1£?=3cm,BC=6cm,动点P从点A开始沿AB向点B以ICmZS的速度移动.动点Q从点B开始沿BC向点C以2cmA的速度移动若PQ两点分&JAA,B两点同时出发，点P到达点B时运动停止，则尸BQ的面积S与出发时间t的函数关系的图象大致是（）.3,如图.在R1.ABC中，“CB=90AC=BC=22,CD148于点D.点P从点A出发,沿A-DTC的路径运动.运动到点C停止过点P作PEAC于点E,作PF1BC于点F.设点P运动的路程为X,四边形CEPF的面积为>,则能反映y与X之间函数关系的图象是()解题策略二与线段长度有关的动点函数图象问题此类型问题的朋题策略与前面的类似.在应用排除法时，还需要注意以下几点：1.如果求线段长度需要用到勾股定理时，其函数图象一般为曲线型；2 .要充分利用全等、相似等几何知识进行分析解答；3 .一定要分析图形的特点，梯是注意对称性的应用.精选例题例加图.等边ABC的边长为3cm,动点P从点A出发以每秒Icm的速度,沿ATB-C的方向运动，到达点C时停止.设运动时间为*单位：s),y=PC2,8Jy关于X的因数的图象大致为().此题需要分类讨论：当0XW3时，即点P在线段AB上时，格相关线段的长度代入该等式，即可求y与X的函数解析式，然后根据函数解析式确定该的图象.当3<x6时.即点P在线段BC上时，y与X的函数解析式是.y=(6-x)2=(x-6)2(3<X6).根据该函数解析式可以确定该函数的图趣解法一如图，过点C作(CD148,则AD=cm,CD=g5cm点P在AB上时.AP=xcm,PD=-xcmy=PC2=g3)2+g-x)z=x2-3x+9(O<x3),该函数的图象是开口向上的抛物线.当3<X6时.即点P在线段BC上时.户C=(6-X)Cm(3<x6);则y=pc3=(6-X)2=(X-6y(3<X6).该函数的图象是在：3<xW6上的抛物线.mc.解法二由于ABC是等边三角形，如图，点A,B关于CD对称，所以PC的长度在AB段上也关于CD对称，且CD为PC最小值时的位SS,所以其图也应该出现对称，所以排除A,B选项.在BC上方法同解法一.精选练习1 .如图AA8C为等边三角形，点P从A出发，沿AB-CA做匀速运动，则线段AP的长度y与运动时2 .已知点P为某个封闭图形边界上一定点,动点M从点P出发，沿其边界皎时针匀速运动一周.设点M的运动时间为X,线段PM的长度为y,表示y与X的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）.3 .如图AB是半径为I的。上两点且（OA1OB点P从点A出发.在。O上以每秒1个单位长度的速度匀速运动,回到点A运动结束.设运动时间为x（单位：s）,弦BP的长为y,习修下列图象中可能表示y与X函数关系的A.B.C或D.或精选练习解整策略一1 .解：运动过程中，当顶点G在正方形外部时，亚合部分为三角形.设运动时间为I,面积S与I的函数解析式为y=写,函数图象为开口向上的二次函数；当顶点G在正方形内部时，更合部分为四边形，设运动时间为t,面积S与I的函数解析式为y=-亨+43r-4、区函数图稿为开口向下的二次函数，故选C.2 .解析：根据逖意表示出APBQ的面积S与t的解析式，进而得出答案.解:由题意.可得PB=3-.BQ=2.则APBQ的面积S=8Q=；(3-£)x2t=-t2+3t.故APBQ的面积S与出发时间I的函数关系的图象大致是二次函数图象,开口向下.C.3 .解:.在RsABC中.NACB=9()o.AC=HC=22,AB=4.ZA=450.VCDJ.AB于点D,AD=BD=2.VPE1AC.PF1BC.;.四边形CEPF是矩形.CE=PF1PE=CF.点P运动的路程为x.AP=X,则4E=PE=Xsin45,=yx.CE=AC-AE=2>2-yX.四边形CEPF的面积为y.当点P从点A出发.沿ATD路径运动.即(X"2时.y=PECE=yx(22-yx)=-i2+2x=-(x-2)z+2.二当0vv2时，抛物线开口向下；当点P沿D-C路径运动,即2x<4时.CD是NACB的平分线.PE=PF.二四边形CEPF是IE方形.VAD=2,PD=x-2.CP=4-x.y=(4-x)2=I(x-4)2./.当28<4时，抛物线开口向上.综上所述，能反映y与之间函数关系的图象是A选项.故选A.解题策略二】.解：根据题意，得点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故选项C与选项D不合题意；点P从点B运动到点C时，y是X的二次函数，并且有最小佰，二选项B符合题怠，选项A不合题意.故选B.2 .解：y与X的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图及要分四个部分，所以B,C选项不正确；A选项中的封闭图形为圆，开始y随X的增大而增大，然后y随X的减小而减小，所以A选项不正确；D选项为三角形，点M在三边上运动对应三段图象，目点M在点P的对边上运动时，PM的长有最小值.SmD.3 .解析：分两种情形讨论当点PJ酬针旋转时，图象是，当点P逆时针旋转时，雕是1.,由此即可解决问题.