线性方程组求解.docx

第三章线性方程组§1消元法一、线性方程Ia的初等变换现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为a1.1.v1+12x2+1.x11=Z),产A+3?+-+如户”=4.(1)4M1.+.C+"，/=瓦的方程组,其中x,q,.,代表”个未知量，s是方程的个数，“Ji=12,s;/=1.2,称为线性方程组的系数.%(/=1,2,.s)称为常数项.方程组中未知量的个数“与方程的个数S不一定相等.系数4的第一个指标i表示它在第i个方程，第二个指标J表示它是乙的系数.所谓方程组的一个解就是指由个数用,心，,儿组成的有序数组出A，)，当4,而，匕分别用,代入后，U)中每个等式都变成恒等式.方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就根本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵，I«125”仇、«21ai2jb2.y<%a,1.f1.W"，来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实战性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一股消元法解一般线性方程组.例如，解方程组2x1.-2÷3xy=1,-4.r1.÷2x2+5.=4,2x1.+x2+2xj=5.第二个方程组减去第一个方程的2倍，笫Y个方程减去第一个方程，就变成4.vj-xi-2,2.v,-x3-4.第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得2xt-x2+3x=I,2x,-Xy=4,.Vj=-6.这样，就容易求出方程组的解为(9.-I,-6).分析一卜消元法，不难看出，它实际上是反亚地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种根本的变换所构成：1 .用一非零数乘某一方程；2 .把个方程的倍数加到另个方程：3 .互换两个方程的位置.定义1变换I，2,3称为线性方程组的初等变换.二、线性方程组的解的情形消元的过程就是反豆施行初等变换的过程,下面证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组.下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组.对于方程组(1),首先检查修的系数.如果占的系数全为零，那么方程组(1)对凡没有任何限制，为就可以取任何值，而方程组(I)可以看作上,.X”的方程组来解.如果M的系数不全为零，那么利用初等变换3,可以设a”w.利用初等变换2,分别把第一个方程的-&倍加到第i个方程"=2,是方程组(I)就变成因+am+,=仇，。马+a)x,=(3)a；,x2+-+a>B=b'.其中=av，i=2,$,)=2.,这样解方程组(1)的问题就归结为解方程组心.q+"=H的问题,显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出土的值，这就得出(3)的一个解：(3)的解显然都是(4)的解.这就是说，方程组(3)有解的充要条件为方程组(4)有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方程组(1)有解的充要条件为方程组(4)有解.对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为CUx+e,2x,+6/，+ChtXiI=&，e2ix1.+-+c2rxr+c2ax1.1.=d2,O=4"0=0,其中%=0,/=1,2/、.方程组(5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响的解.而且与是同解的.现在考虑(5)的解的情况.如(5)中有方程0=d,“，而4“w这时不管'.和x”取什么值都不能使它成为等式故(5)无解,因而(I)无解.当d,“是零或(5)中根本没有“0=0”的方程时,分两种情况：1) /=.这时阶梯形方程组为f1.1.X,+C12X2+-+CuX11=rf1.,C22X2+-+C211X11=d2,其中C1.rWoj=I,2,.由最后一个方程开始，m的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(6)也就是方程组(I)有唯一的解.例1解线性方程组2.v1.-x2+3.vj=1,-4.v1+2,2+5*3=4,2ai+x2+2.v1=5.2) r<"这时阶梯形方程组为"+%x?+GMUXz+-+CE,=4，%与+j,+c=&，3+c,jt1.x,t1.+CrwX11=d,其中(,“0,”|,2".把它改写成JX1.+c1.2x,+-+q=d1.-C1.ft1.Xft1.CII1.XIt，c22.q+c2fx,=d2-C2ruXft1.c21.,xx,(7)CrrXr="r。,#“为1-一,由此可见，任给XE.,乙一组值，就唯一地定出玉.£,X,的值，也就是定出方程组(7)的一个解.一般地，由我们可以把司,士,匕通过,S表示出来，这样一组表达式称为方程组(1)的一股解，而X,.,X11称为一组自由未知量.例2解线性方程组2.r1.-X2+3/=1.41-2.r,+5x=4.2x1.-x2+4xj=-1.从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子，但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子.以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组,把最后的些恒等式“0M)”(如果出现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等一非零的数，那么方程组无解，否那么有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数，等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解：如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知员的个数,那么方程组就为无穷多个解.定理1在齐次线性方程组1.1.x1.+12x2+1.wA11=O,<21x1.+a22x2+2nx=0,凤西+?+"=。中，如果*<，那么它必有非零解.矩阵'f1.n2,f1.U«:i七«2.<«,i%A、b2(IO)称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然，用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵(10)成阶梯形矩阵.因此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解.例3解线性方程组2x1.-X2+3巧=1,-4.r1.-2x2+5xy=4,2*-X2+4与=O.§2维向量空间定义2所谓数域/，上个维向量就是由数域夕中个数组成的有序数组(1.,.1,)(1)。,称为向量(I)的分量.用小写希腊字母,",八来代表向雄.定义3如果维向量a=(1.,2,1.t),=(b1.,b,bu)的对应分量都相等，即=b(/=1.2,).就称这两个向量是相等的，记作a=/7.”维向量之间的根本关系是用向量的加法和数fit乘法表达的.定义4向世7=(f1.1.+h1.ai+bi,au+bn)称为向母a=(ai，«2,-,«,),=(b,bi,ba)的和，记为-ajr由定义立即推出：交换律，cr+/?=+a.(2)结合律：a+(J+)=(a+)+y.(3)定义5分量全为零的向员(0.0.0)称为零向量，记为0；向量(-,-a八,-M)称为向量，4)的负向量，记为-显然对所有的,都有+0=.(4)cr÷(-<z)=0.(5)(2)(5)是向用加法的四条根本运算规律.定义6a-/?=+(-/?)定义7设A为数域，中的数，向员(kax,ka2,tka1.t)称为向量，4)与数人的数量乘枳，记为Aa由定义立即推出：k(a+/3)=ka+k,(6)(k+1.)a=ka+ia,(7)k(1.a)=(k1.)a.(8)1«=42.(9)(6)(9)是关于数盘乘法的四条根本运克规那么.由(6)(9)或由定义不难推出:(kr=O.(IO)(-)c=-a,(II)W=0.(12)如果R0,0,那么ka0.(13)定义8以数域中的数作为分量的维向量的全体,同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P上的维向量空间.在”=3时，3维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间.以上已把数域P上全体“维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构，即数域产上维向量空间.向员通常是写成行：a=（M，。6）有时也可以写成一列：Z5«2=.为r区别，前者称为行向址，后者称为列向量,它们的区别只是写法上的不同.§3线性相关性殷向量空间除只有个零向量构成的零空间外，都含有无穷多个向量，这些向55之间有怎样的关系，对丁弄清向量空间的结构至关重要。一、线性相关与线性无关两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向辰与夕成比例就是说有一数人使a=k.定义9向量称为向星组片,2.,目的个线性组合，如果有数域P中的数占,&,使a=k11+kz2+-+k,1.,其中匕,七.尢叫做这个线性组合的系数.例如，任一个“维向量=(“,外,都是向量组1.=(1.0.0),f2=(0,1.,0),%=(0,0,1)的一个线性组合.向量£”与,公称为”维单位向量.零向量是任意向量组的线性组合.当向量4是向府组4.四,.艮的一个线性组合时，也说可以经向量组4.四,.艮线性表出.定义10如果向量组外。”.中每个向员,(i=2J)都可以经向员组4,心,我线性表出，那么向班组即由,此就称为可以经向量组4,外,我线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组q,?,可以经向量组儿.人,线性表出，向址组4.外,凡可以经向量组九.4,.0线性表出，那么向量组q.,可以经向量组线性表出.向量组之间等价具有以下性质：1)反身性：每一个向班组都与它自身等价.2)对称性：如果向量组四,%,风与舟,人,4等价，那么向量组回,四,4与ai.a2.a,等价.3)传递性：如果向量:组,.%,.,与四.夕2,.等价，4.色,夕,与九/门/等价，那么向量级,外,与W2,，等价定义11如果向量组四,(S2)中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出,那么向量级火