等差、等比数列及其前n项和(教师).docx

等差数列及其前n项和(教师版)一、主要知识和方法1、收列的假拿，数列是一个定义域为止整数集N*(或它的有限子集(123.n»的特殊函数,数列的通项公式也就是相应函数的解析式。,(i)等差敷列的列，方法，定义法：4“一勺=常数(咒*)U>q为等差数列：中项公式法：2.i=a1.+(t,211eN*)<=>”“为等是数列：通项公式法：4=kn+b(wN*)。m为等基数列：前项求和法：S“=p/+q1wN*)U>q为等基数列：(2)IHtik列的Mian=at+(n-)daa+(n-m)d(3)等差中项：假设.A力成等差数列，那么A叫做。与。的等差中顶，且A=空之。2(4)IHHW1.的前和；s+1)s22I(I)等号数列任意两项M的关系：如果“是等差数列的笫项，%是等差数列的第，"项，f1.nn.公差为d,那么有a=a,v÷(11-rw)rf(2)当公差d0时，等差散列的通项公式4=4+(”-1)/=加+4-是关于"的一次函数，且斜率为公基4：前"和5.=，叫+妁二Ud=-+(,-)j是关于”的二次函数常数限0.222(3)假设公差d>0,JE么为递增等差数列，假设公差d<0,为通选等差数列，钱设公差d=0,那么为常数列.(41等差数列(a,的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列，(5)对于等差数列11,当，+”=+</时,那么有。网+0,=%,+4,特别地，当，+=2时，那么有«+un=2afr,也就是：«i+<tu=a2+1.t-=a3+<n-2如下图：%.一个,24t,an¾+¾-1.(6)假设数列“是等差数列,St1.是其前n项的和,Gf.那么S-S1.t-Si.Sit-S2k成等差数列.如以下图所示：q+42+?+ati+”+,2j+1+：+'<SIUSn-SkSM-S裁(7)设数列,是等差数列,S4j是奇数项的和.S刎是低数项项的和.S“是前n项的和.那么有如下性质：前n顶的和S“=Ss+S,:当n为偶数时，Sw-Sf1.=d,其中d为公差：当n为奇数时,那么S*-S#=«中,S*=j>SHn1.>=122SN-1.CS1.=n(其中是等差数列的中间一项)。Sq-S幺s*-s佻(8)假设等差数列IqJmJ的前”和分别为'、"，且缁=/()，那么F=AS1.=gx=(2-1.).(9)“首正”的递减等差数列中.前“项和的最大(ft是所有非负项之和：“首负”的递增等差数列中.前”项和的最小值是所彳!"非正项之和.法一:由不等式组/JNoCJtin0加“O确定出前多少项为非负(或非正)；法二：因等差数列前项和是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值但要注意数列的特殊性WM(10)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项项次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原的等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的攻，其项数不定相同，即研究二、典例分析:【例1】数列，满足a<=4,anF-1.(nN2),令b,二.求证：数列(bj是等差数列.ao-1.a证明：Va,.1-2=2-=21.t1."-2).,.!=""7+a=J_+1册册-22(%-2)2d-2)2%-2A1.-1.-='b,.1-b.=1.二数列h)是等差数列."1-2%-222【交式调练11设两个数列G,瓜)满足h.-小苦学二,线设旧为等差数歹1.I÷2+3÷*求证：&也为等差数列.证明由时意有a2a3a,na-誓»院,从而有a2a3a>*+<n1.)a,=b.,(n2),由D,得M=哼¼,-哼¼,1.,整理得a,=Q也±,其中d为b>>的公差(ni2)从而也“-&=5+W+%+,_砥+%="=1.s32).2222又a=b“廿2"”,a产祖登1.f产也军A=孕.像上,an.1.-at=d(n!).22222所以E)是等差数列.IM21在等差数列&中,(1) a,=33.0u=153.求瓯；O6=10.Si=5,求a,和S“(3)前3项和为12,前3项积为48,J1.d>0,求a,.Wt(!)方法一：设首项为a,.公差为d.依条件得E:,"匕，解方程组得匕I二I1.53-d44J(c*4.>=-23+(61-1)×4=217.雄二：由d=%二%,得d=H小二怔=眨七史=4,由a1=fu+n-m)d,得1=a,.-16d=153+16×4=217.”"|45-1530.*0,S6=5,松:常二解方程级得时5,d=3,÷2d=10+2X3=16,-X空=44.(3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题您有：Vd>O.da-d=2.J2.a1=2.J("d).0.(.d)=12.卜=4.I=4(-J)u(÷<>"48'a(a2-<2)-48*d-±2【交式调练2】设以:为等整数列,SB为数列IaJ的前n项和.S也Sm,为数列图的前11项和,求T.解，设等差数列1的公差为d,那么S,=na二n(nDd1.二磊2"叫;M叫Z二+叫OIT)1.T).迤=.数列是等差数列，其首项为-2,公差为:，.T.=1.nYn.【例3】(1)等差数列4中，S11三18,¾+<,+1三*i;Jf1.=_【答案：27；(2) (06江西文)在各项均不为,零的等基数列叫中，假设为“一。；+<%=0522),那么Vi-4m=<)A.-2B.0C.1.D.2【答案：A.】(3) (08湖北)函数/(r)=2',等差数列”,的公差为2.假设/(6+”,+,+jj+)=4,那么og3(1.)/(«,)(f1.3)-./(«10)=.【答案：6】(4)等差数列的前”项和为25.前2“项和为100.那么它的前3”和为.««:225(5)项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80,偶数JS和为75,求此数列的中间项与项数.【答案5311.(6)设Iq)与是两个等差数列，它们的前“项和分别为S,和，假设区=网红，那么Tn4«-34r一671-2.-三=.答案:7-bn8-7【支式调练3】(09海南)等差数列«,的前n项和为Sn,d1.,1.+->0.Sh=38,那么，"=()A.38B、20C、IQD、9.【答案:C】(09全国理)设等差数列q的前项和为S“，假设£=72,那么/+”,+u=:【答案：.S1.,=9r5,s=8.ai+a4+%=(/+/>+6=(/+4)+%=上=24.】(3) (08陕西)(j是等差数列，a,+a2=4.%+4=28.那么该数列前10项和SH)等于(A.MB.100C.HOD.120【答案:B】(4) (06全国II)设Sn是等差数列q的前n项和，假设今=；,那么在=()aWCW得1答案2(5) (07湖北)两个等基数列j和"的前n顶和分别为4和Bn,且/=子箸，那么使得:为整数的正整数n的个数是()【答案:D】【例4】在等差数列g)中，6=20,前n项和为S“且S“fS,“求当n取何值时,S,取得最大值,并求出它的设大值.(方法-Va1=20.S,<=S,.10×20÷-d=15×20+d=-.223a1=20+(n-1.)×(-)=-n+y.a1.>=0,即当nW12时，a,>0.n>14fft.a11<0.当n=12或13时，除取得最大假，且最大值为SU=S”=12X20+亚科*(-)=130.法二同方法一求得d=g.Sn=20n+9U-(-1)=-/粤n=-卦”§丫+笔.32366G1.2/2Wn£»k.当n-12或13时,S.有最大值.且最大值为SU=S1.k130.方法三问方法一汨<=-.又由Sn=Sn,得a>+au+aj+a><ta=O./.5a3=0,即a：>=0.当户12或13时，Sn有最大值,且最大值为SMSmI30.【支式调练4】等基数列瓜中，aVO.SkS,：,该数列前多少项的和最小？解由条件S,=S；,可得9a+"d=12a吆Id,即d=-±a.由a,<0知d>0,即数列(a,为递增数列.2210方法一由H=q+5-彳叫得"而“"”【解得IOWnW1.1.1-±n0IO，当n为10或11时，SI,取最小值，；.该数列前10项或前11顶的和最小.方法二VS1.=Sj.ao+a1.1.+a1.i=3a,1.=O.adO".公差d>0,从而前10项或前H项和最小.方法三.4小”；3的图象所在抛物税的对称轴为*=誓=10.5.又new.a<0,(a.)的前10项或前11项和破小.½H由Wna计炉+!"-=)n,结合d=-a,得Sn=D.11+f21a'.n=-n-21Y÷±1.a(a,<0),由二次函数的性原可知n=1.5时，&WM,故n=1.或I1.时"取得以小值.三、课后作业：(一)选M1.某等差数列共有10项.其奇数项之和为15.偶数项之和为30,僚么其公差为()().2答案C2 .等差数列伯的前三项分别为a-1.,2a+1.,a+7,那么这个数列的通项公式为()1,=1.n-3B.a,=2n-1.Xn-2,=2n-3答案A3 .(OB全】)等差数列出)满足a>+=4,a>+a,=10,那么它的背10项的和&等于(答案CI.数列a,b.m,n和x,n,y,m均成等差数列，那么21-2",的但为()答案C5 .在等差数列a.)中.假设a.a,<a1.1.)1.2=120,那么a."a"的值为()答案C6 .等差数列&的前n项和满足S三t=Sn,以下结论中正确的选项是()“是S”中的最大值”是Sn中的最小值m=0“=0答案D(二)填空7 .(083理)设S.足等差数列瓜的前n项和.a；.=8.S.9,«；么S1.答案72&致列4、bn都是公差为I的等差数列,其首项分别为a,、b,且$+b产5,a,、b.设a=%(nGK),蜃么数列IcJ的谛10项和等于.答案85(三)解答J99.数列E中,a总，a,=2-1.-(心2,小即)，改列瓜)满足&=一(neW).'<n.-求证：数列h)是等整数列:求数列瓜中的最大项和最小项,并说明理由.(1)证明I因为n=2-i-(n2.nN).b.心0«->!二，Z.!二1tfo-,唳Tj所以当nN2时.b,h,=-!aU-,-1.-1又b产_=-1所以,数列依:，足以为首项，以1为公差的等龙数列.u-I22(2)ff>(IK1.)知.b,-n1.那么丁设函数N)=1.+J,易知f()在区间(8.D2bn2