第二章-线性规划习题(附答案).docx
习题2-1判断以下说法是否正确：（1） 任何战性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；/（2）对偶问题的时偶何造一定是阻问题：/（3）根据对烟问遨的性质.当原问鹿为无界解时,其对偶问题无可行解,反之.当对偶问遨无可行解时,其原问题具有无界好：*<4）假设设性规划的原向SS有无力多最优斛，那么其对偶何时也一定具有无力多最优解；×（5）假设线性规划问题中的b“Cjff1.同时发生变化,反啖到故终单纯形表中.不会出现区何思叮对儡问题均为非可行解的情况：×<6>应用对偶单纯眩法计算时，假设单纯即表中某一茶变状x,<0,乂M所住行的元素全部大F成等于零，那么可以判断其对偶何题具有无界解，X（7）假设某种资源的影子价格等于k.在其他条件不变的情况下,当该种资源增加5个单位时,相应的目标函数值将增大Sk：X（8）y.为规性规划的对偶问题的以优解，假设y,>0,说明在量优生产方案中第i种资源已羟完全耗尽；假设YKh说明在呆优生产方案中的第i种资源一定有剩余。X2-2将下述线性规划问题化成标准形式.st.(I)max:«-3x1+42-2xi+544.VXj÷2Xj-Xq=-2x+2-j+2x414-2x1.+3.v1+.rj-42.*2X32<,q无约束minz=2xx-2x2+3,q-2x1+x,一XJ6x1.0.v,0,占无约束»¥：（1.）x4x4-x4,增加松弛变用玉,菊余变砧毛,即么该何胭的标准形式如下所示:maxZ=-3.r,+4x,-2,v+5x4-5x；-41+.v2-2x,+X4-x；=2SJ.v1+x,-xj+2.v4-2x；+xj=14-2x1+34+&-兀+x；-%=2.r1.,.,xr4,x4,xj,.rh0令z=-z,x1.=-x1.Xy=Xy-X3,增加松弛变限几,那么该问SS的标准形式如下所示:naxz=2xj+2x,-3xj+3x；.r1+X2+x3-x,=42x1+x,-j+xj+x4=6j,.vxj,.r402-3分别用图解法和单纯形法求解卜,述线性双M问题，并对照指出单纯脖表中的各荔可行解时应图解法中可行域的哪点.(1.)maxz=10.v1.+5x2(2)max二=2x1.+x23x1.+4x295.t+228x1.,Xi03x+5x215sr.6.v1+2a224x1.,x1O解：（1）图解法最优戊为B点，以优解为X1.=ItX2=3/2,以优假为35/2,单纯的表计算过程：初始单纯形表（对应O点）Z,XX：KyX»RHS第一次迭代（对应A点）z,X1.X：XjX4RHSZ*i0-10216X?0014/51I3/521/521/5/14/5XiIOI2/501/58X58/5/4/5。第二次迭代（对应B点，即除忧解）XiX2×3JURHS1005/1425/1435/25015/14-3/143/2IOI0in2/7I（2）图解法最优点为B点，最优点为B=154x2=3/4,最优值为33/4。单纯形表计算过程：初始单纯形表（对应。点）z'XX：XjX4RHSZ*I-2-1000X3035I01515/3X406J20I2424/6第一次迭代（时应A点）X1.X：XjX4RHSZ*10-1/301/38X300141I-1/233/4x211/301/644/13第二次迭代（对应B点，即最优解）XiX2XaXiRHSI001/127Z2433/41011/4-1/83/42I0-1/125/2415/42-4线性规划何翘，写出其对偶问题：(1：maxz=IOx1.+24.v>+20.q+20a4+25.v5.v1.+x2+23+3.r4+5's19s.t.,2.r1.+4x2+3xy+2.r4+X5<57,NO(=1.23A5)(2)ninz=8.t1+6x2+3x3+6%x1.+2+.33X+X2+AT3+x46j+.v42+x2xj>0(j=1.X3,4)解：（I）原问飕的对偶问题为:min<y=19y1+57)、J1.+2y,0X+4V224SJ.2y,+3>j203r1+2y,20（2）原问题的对偶问题为,max=3y1+6y,+2y3÷2y4>'1+3y2+y482y+y26y1.+,+v-43.y÷.y3+>6%)2，3，必2°2-5运用对偶理论求解以卜各问题：(1)线性规划问题：minZ=2i-x2+2x,- x1.+A2+x=4- x1.+x2-kxi6- O,x2O,.J无约束其最优解为玉=-5G=0,XJ=T（八）求k的值：(b)写出并求出其对偶问遨的最忧解.解：原问题的对照问题为：max=4y1.+6yj- Ji->22y-一无约束,y2O设该对偶问题的三个人工变量为W,由于原问题的最忧解中的kqKO.爆么根擀互补松效性，所增加的人工变量f=o,f=o,那么：->,-Jj=2y-)'2=2.另外，原何咫的收优值，=2芭-玉+25=2X(-5)-0+2X(-1=-12,也为对偶同魄的最优值,W：=4y1+6y,=-12.结合上述三式可得：>'1*=0>'；=-2k=(2)线性规划问即：maxz=.v+2xi+3x,+4A4x1+2x2+2xj+3x4<2()s.t.2.r1.+x,+3x3+2.v420xi.2.a3,x40其对佃问遨的最优解为，M=1,2y2=0.2,试根据对伊理论求出原向SS的W优解。解：首先写出原问题的对偶问题如下:min=20y1+20y,y1.+2y11.2y1+yj22y,+3y233y1.+2y,4另,心No由于该对偶问题的加优解为y；=1.2,），；=0.2,代入对弱问题的约束条件中可得1.6>12.6>23 =3,即对偶问题中的松弛变M此），：工0,）。,：=0,那么根据互补松地性可知，原4 =4>'ry2问SS中的决策变最中毛必为0。将.q.0=0代入原何题中的约束条件.可得:2x3+34+x>2O又因为；=12,），；=0.2均不为0.那么同样根据互补松弛性可知,3xj+2-4+=20*E=O.那么有:战性规划向SS：maxz=x1.+x2si.-.r1.+%,+-32-X1+X,-Xj1x1.x,.x302.+3-.=20CCcc。求解该方程组可得：a=4,x,=4,3x1+2-4=20忒根据对照问题性质证明上述线性规划问成目标函数值无界.裤：首先写出原问区的对偶问即如下：min=2y1.+y2SJ.-y1->,21y.-y2>,1.>,2由于该对照向题中前两个约束条件所确定的可行域为空袈，可知该对偶问题无解,.那么根据时偶性质可知，原问题无解Ur无界，另外，X=(0,0,0)必为原同Sfi的裤之一，那么可证原问应无界.2-6某求极大值践性规划问遨川单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如去2-44所示，求表中各括瓠内未知数的值.表244初始单纯形表及最终单纯形表ZX1.X2X3X4X5X6RHSZ1-3-2-20000Xu0I1II00X50(a>I201015X602(C)I00120ZX1.X2X3X4X5X6RHSI0(k)05/4(J)95/4000S)(1)-1/4-1/45/43I0(e)03/4(i)25/420I(f)0（三）1/25/2解：由初始单纯形表中的基变量为UJ知，H'为续终单纯形表中K,用.4所对应的消耗系数矩阵，即：rI-1/4-1/4'BT=03/4/、。人1/2,fIn'00d、那么有：H'aI2=IOe,可求得：a=2,c=3,d=4,e=54,<2e1.1101另外:B'15W5/4'25/4、5,2,.可求得b=10.st.x+3xi32x2+2.t,5XpX21X,()再由株粉数计律公式丐=G可求得%=34,q=1/4：而域变宛的检粉数必为零.所以“2=0.即k=0,g=34,j=1.4.2-7用对偶瓶纯形法求解以下税性规feJ(-J区.(1.)minz=4.t1.+1Ix2+18.v,(2)minZ=5.v1.+2.v,+331+x2+2.v34st.6x+3x2+5.v,10.r1,xj()解：令Z=-Z引进松弛变量x,.xs0.标准化maxz'-4,r1.-12xz-18x,xi+3,r,-x4=2st.2x2+2.v5+x5=5XpXrXpX4fX50列出初始单纯形表X1.X2XsX,XSRHS141218OOOO1O-31O3OO-2|-2OI-532-I8/-2I2OO26-36-181/3O1-1/3O1-12.3IO1/31/23/2X2因而是最优基.最优解为即minz=36标准化X1.X2X3X4XSRHS选取X2进施。即选取az2=2为主元，进行旋转运算，汨到以下单纯形衣,NXiXiXaxxsRHSI4O606-30O-1O-311O-3-12OIIO-1/25/2-47-16-3选取X4出基，a”=3为主元进行旋利运算.当前基氏是原始可行基.乂是对偶可行基.x=O.=32.Xj=1.maxz=-36.(2)令z=Z引进松弛变景X4,XgO,maxz'=-5.r1-2x,-3.r,3.v1.+x2+2-,-X4=457.6i+3a+5.q-xf=IO.r1.x,.xj.x4,xs列出初始单纯形衣ZX
