定积分概念教案.docx

课题：定积分的概念一、教学内容：I,定积分的祝念及几何意义：2,利用定积分的概念或几何意义计算简单的定积分。二、教材分析：内容定位：1. XA¼:定积分的概念为一些专业课的某些知识提供了理论基础，如工程力学中的重心、惯性矩等等；定枳分的几何意义为求某些用单的定积分提供了计算方法。2. JKAft4:主要体现在提高了学生用积分思想分析解决专业问邀的能力。3. 本次课是学生学习完导数和不定枳分这两个概念后的学习，定积分概念的这立为微积分蜃本定理的引出做了镭垫，起到了承上启下的作用。而旦定积分慨念的引入体现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代.曲、以不变代变”的基本思想.所以，无论从内容还是我学思想方面，本次深在教材中都处于重要的地位.高职高卡教学教学中，定积分一直是教材中的一个重点，也是一个难点.说是重点、，源于定积分的实用性和现实性，同时它也是其它知识点的基咏说量堆点，因为学生对定枳分概念的理解存在国根。因此，在高职高专数学教学过程中，如何使得学生学好定枳分显褥尤为更要。三、散:学目标：通过探求曲边梆形的面积，使学生了解定积分的实除背景，理解定积分的思想方法，构建定积分的认识基以；通迂“数彩然合”的方法使学生理髀定积分的几何意义，掌握定积分的嫂念.四、教学重点、难点：（教学重点：定积分的概念、定积分的几何意义；（教学难点：用定义术简单的定积分。五、学情分析：我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏爰别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，结合故学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念税强的课本知识近现化、形象化，引导学生探索性学习。六、教学方法：根据对学生的学情分析，本次深主要采用案例教学法，问题辐动教学法，讲与练互相结合,以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的七、教学手段：传统教学与多媒体资源相结合。)八、教学时效：1课时。(Xp九、教学过程：图4.I1、由两个实际例子引出定积分的概念.定积分是积分学的另一个重要的欧本姚念，和导致概念一样，它也是在解决各种实际问迎中逐渐形成并发展越来的，现已成为解决许多实标问题的有力工具.本节将首先从实坏问题也友引出定积分的概念，并介绍定积分的几何志义.例1求曲边梯形的面枳.初等教学可以计算多边吊、四彩和扇形等规则图身的面枳，但对于较复杂的曲线所围成的图形(图4.1)的面积计鼻则无能为力.如图所示，我们总可以用若干互相爰直的直蝮将图形分割成如阴影部分所示的基本图形，它是由两条平行蝮段，一条与之叁立的浅段，以及一条曲线孤所困成.这祥的困彩称为曲边悌彩.特别地，当平行线之一缩为一点时，称为曲边三角形.那么，为什么要研究幽边林甜呢？因为求任何曲线国成的几何图册的面积,春可方结为求若干个西边梯给M面积的代数和.现杷问髓归姑如下：.术由近线x=o,x=>.y=O和连续曲我.y=f(x)(f(x)()所围成的曲边梆彩AabS(JS4.2)的面积S.y如果曲边梆彩的高不变，即.y=C(常数)，则根据矩形面方丁、1.N0*prI!>Cf!积公式面积=底X高IIIII便可求出它的面积.但如果V=()是一般曲线.，则/IHUII!h1.山间I4(xmxiX”，x.=X留底边上每一点处的高/(X)瓯X变化而变化，上述计算公式就不适用.对于这样一个初等敷学无能为力的问飕,我们解决的思路是：将曲边杆形分成许多小长条(图4.2),每一个长条都用相应的矩彩去代替，把这些狂形的面积加起来，就近似得到曲边梆舫的面积S小长条分得越蛔，近似程度越好，取“极限”就是面积S.具体比，分四步来解决.(1)分割(化叠为*)在区间Ia,加内任意添加-I个分点：a=.v0<xi<x2<<xi.<xi<<xn.<x=b重要总忍：I.由已知求未知：2校次思«：3 .问线归;4 .化整为零：5 .以五代将区间a.b分成个子区间(xf-1,jO=1,2,M,这些子区间的长度记为v,=xi-x1-(/=1.2,11).并用符号2=mxAq表示这些子区间的最太长度.过“-1个分点作X抽的垂线,于是将曲边梯形分割成“个小曲边梯形，它们的面枳记作$(/=1.2,-,/0.显然S=力AS,.(2)近似代替(以直代曲)在第i个子区间ETE上任取一点或，作以f(1.)为高,xm.xJ为底的第，个小娃彩，小矩彩的面枳为f(i),vjG=1,2,)第i个小曲边睇彩的面积Sif(i)(I=1.2.,n).(3)求和(求西边样给面积的近似值)将个小矩形的面积加起来，便得到原曲边梯形面积的近似值Sf(i)xi.i=1.(4)取极M(积本为叠)不难想到,当分割越来越细(即H越来越大，同时最长的子区间长度/1越来越小时)，”个触脑的面枳和就越来越接近于原曲边那形的面积.于是当NTO时，矩形面积之和的极限就是原曲道林影的面积$,即分部方法-任意分史要求景大宽度Q于零5=1.im()xz.I,例2求变速直线运动的路程如果物体作匀速直线运动，即速度是常量.那么已知作立线运动物体的速度为V=v(r)"之0).求该物体在时间间a.b内运动的路程s.路程=速度X时间但现在物体运动的速度是堂量，我们可以采取与计算曲边杆形面积相似的方法来计算要求的路程.(1)分割(化整为零)在时间区间Ia例内任京添加-1个分点：=r1.,<“<2<<Zm<ti<-<tn.1.<tn=b将区间Ia加分成个子区间%,用(/=1.2.-.,0,这些子区间的长度记为Zi=OTiT(i=1,2,并用符号2=maxj表示这些子区间的最大长度.这样就把路程$分割成“段珞程&n(i=1.2.11).显然S=g5,.1-1(2)近似代替(以为代变)在第i个子区间UjTJJ上任取一点当,则Ve1.)M表示物体在时间段ti,1.,川上以句递V(i)运动时所经江的路程.当山很小叶，速度2)的变化也很小，可以近似地看做不变，即在叶M1.段IriTj1.上物体近似地以匀速v(1)运动，于是有AsjXv(,)f,(/=1,2,«).(3)求和(求总基程的近似值)把”个子区间儿用上按勺速运动计算出的路程加起来，就得到sYtv()r1.=I(4)取极修(积拿为禁)不难想到，当对时间间隔a.R的分割越来越细，小区段上看作匀速运动时的路程之和就越来越接近$.于是当尤三+.和式的极限即为S的希确依总结：上述二问麴一个是几何问题，一个是物理问题，但从教学的角度来考察，所要解决的数学间返相同：求与某个变化范围内的安量有关的总量问题.教学结构相同：求“个来枳，(点)x,之和£当Z=ITnXj->O时的极限.它们研究的对象有三个共同的特点：(1)都有一个在去一区间上的连续的数：(2)所研究的量在这一区间上具有可加性：即区间减分为”个小区间时，所研究的量也被相应的分割为个部分量，且总量等于部分量之和:(3)在每一小区间上都可确定相应的部分量的近似值.由此找到了研究这些问题的相同方法：(1)化整为察，找出局部近似值；(2)枳零为整，求出和式的极理，得楮确值.2、定积分的概念.定义1设/(x)是定义在区间,加上的有界函数,用点：=,r0<x<X2<,<Xi<<1<x11=将区间,加任意分成个子区间r.,X1.1.(i=1.2,j).这些子区间的长度记为xi=Xi-xi.i(i=I.2.j).在每个子区间ET,左上任取一点当，作"个乘积/()r1的和式f(,)x1.如果当最大子区间r=1.长度1.=naAt,O时，和式点)二的极限存在，并J1.极限值与区间口.力的分J-I法以及多的取法无关，则该极限值称为函数/(r)在区间小加上的定积分.记作G)Ar,.其中右端的/(/Ar,称为积分元素.它.切6,称为积分和(或1和式).左端的符号“J"J-I称为瓢分号，/(x)称为检机敦/()4r称为税权*.达式1,X称为积分盘盘，”,勿称为权分区冏.。称为枳分下H1.称为取分上A1.定积分存在称函数/()在区间”力上可积，否则珞为不可收.有了定积分的祝念，前面两个问超可以分别表述为：曲边梯形的面枳S是曲线y=f(.r)(/(X)0)在区间。向上的定枳分，即S=f(x)d.变速直线运动的物体所经过的路程S是速度V=I")在时间区间句上的定积分，即S=Jv(t)dt由定枳分的定义可知这里的教学itS:双6提出何助.让学生思与，教理蛤出解决方案,让学生照看回答及什么求收来帚到的就是我们要求的精确ti.教卿统行会,的引导.分析与归纳.在比圣砒上一步一步引导学生拉象出定税分的慢告.定积分j(xdxH与函及f(x)的对应法则以及定义区间口.用有关，而与表示积分变量的字母无关，因而可枳的充分条件说我：几何直屈这里的教学tt«：展特烫出同题定枳分的几何奇义)井蛤山答X.让学生思号并回&(x)dv=f<ndt=.1/(“)血定枳分J"")dr的实质是一种特殊和式(”个乘枳/(3)A7之和)的特殊极艰(=11bxvjO).(该极限与”力的分法无关,与己的取法无关).对a.b的不同分法及对在区J1.x,.1.,x1.的不同取法，将有不同的()4rz,定枳分要求所有和有扪同的极限值.i=1.(4)ATv=>九T8,但N8="T8.只有当把aj>作等分时.<=>J.什么条件下f(x)可枳？定理1设的数八外在口,加上连续，则函数/(X)在a.，”上可积.定理2设的数/(X)在上有界，且只有有限个间断点，则函数/(X)在加上可积.例3利用定义计算，/小的值.裁弹分析与引导：因y=F在区间0,1内是连续的，故J；r%r是存在的.J)，A是一常找,且此数的大小与I(U1.的分法及对在区间号,x的取法无关，为了好计算:把区间0,1分成等份，分点和小区间长度分别为xi=-,Av1=-(/=0.1.2/»).nn取.=1.(=0.1.2.11),作积分和H(),=x=2,=5力=4M*+D(2w+D=d+÷.J=!r=1.r=111r=1.,r0°因为力=，当之一8O一»所以C"=黑营被的产IJi唳("f(2+.3、定枚分的几何意义从例子，我们看到当/(x)0时,定枳分去表示曲边梯舫的面积.当/(x)MO时，曲边梯形在X轴的下方，定积分。(XMc在几何上表示上述曲边梯形面积的负值.当/(X)在a.b上有正、有负时，则定积分V在几何上表示：曲线y=f(x),直线x=",x=Z>及X轴所图成的几块曲边悌形面积的代数和(图4.3),即为什么.我师专行必要的引导.分析与白纳.7(-vkZr=5,-52+.下面请冏羊的进一步总例4利用定积分的几何意义说明：<=ft-rt<a<b).考；裁弹分析与引导:这里被积西数/(x)=1.我们已经知道了定积分的几何意义，汕=?故让学生反出草图，观察易野此积分表示底为-