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第一讲相交线思维导图T两条直线相交HQT二；：;性质彳点到H线的距岗相交线1画法1.概念与表示法两条自线被第三条宜线所截T同位角、内错俗、同旁内用至重难点分析1 .一个角的两边的反向延长线所形成的角与它本身互为对顶角.对顶角相等，I!F等的角不一定是对顶角.2 .互为邻补角的两角之和为180。，即如果NA与NB互为邻补角，那么NA+NB=180°相反,如果NA+NB=180°,那么NA和NB不一定互为邻补角.3 .垂线的性质：（1）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（幻连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简单地说：垂线段最短）.4 .垂线的画法：一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上：二移：移动三角尺使一点落在它的另一条直角边上；三画：沿着这条直角边面线.5 .点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.6 .“三线八角”：两条直线被第三条直线所截，构成八个角，称为“三线八角”，这八个角中，同位角仃四对，内错角仃两对，同旁内知仃网忖.难点分析：1 .对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.2 .两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.3 .理解“垂线"''垂线段”“两点间的距离”“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念：(1)垂线与垂线段：区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段,可以度量长度.联系：具有垂宜于已知宜线的共同特征(垂直的性质).(2)两点间的距离与点到宜线的距离：区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间.联系：都是线段的长度：点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间的距离.(3)线段与距离：距离是线段的长度，是一个量：线段是一种图形，它们之间不能等同.例题精析例1如图,三条直线a,b,c相交于一点，则N1+N2+N3的和二为().360oB.180oC.120oD.90°C思路点拨利用对顶角相等，可知N1+/2+/3的和是360。的一半.解题过程；对顶角相等，Zl+Z2+Z3=I×360°=180°.故选B.方法归纳本题考查对顶角的性质，“两立线相交，对顶角相等”走一个重要性质，并且要在图形中准确找出对顶角.易错误区对顶角要有公共的顶点，并且两角的两边分别在同一直线上，要准确判断对顶角的位置特征.例2如图,P是NAoB的边OB上的一点.(D过点P画OB的垂线,交OA于点C;过点P画OA的垂线，垂足«为H.44r÷'0''-A(2)线段PH的长度是点P到的距离，的长度是点！C到直线OB的距离，线段PC,PH,OC这三条线段大小关系是_(用连接).(1)根据垂线的定义按要求画出即可.(2)利用点到直线的距离定义可以判断线段PH的长度是点P到OA的距离，线段PC的长度是点C到直线OB的距离，线段PC,PH,OC这三条线段大小关系是PH<PC<0C.作已知直线的解题过程(1)如图.(2) 0线段PCPH<PC<OC方法!”纳本题主要考查了基本作图垂线，另外还需利用点到直线的距离才可解决问题.易错误区线段Pll和PC的长度都表示点到直线的距离，但表示的是不同的距离，要注意区别，不要混淆.例3如图，平原上有A,B,C,D四个村庄，为解J'c决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池.EF(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池点H的位二二二二二二二二二置，使它到四个村庄的距离之和最小.(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短?请说明根据.忠路点拨(1)由两点之间线段最短可知，连接AD,BC交于点H,则点H即为蓄水池的位置.(2)根据垂线段最短即可解答.解题过程(1)如图，两点之间线段最短，-.c".°.连接AD,BC交于点H,则点H即为蓄水池的位置4F它到四个村庄的距离之和最小.(2)如图,过点H作HGlEF,垂足为点G,则HG即为最短开渠线.根据是“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”.方法自纳本题考查了线段和垂线的性质在实际生活中的运用.易错误区线段的长度是两点间的距离，点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间的距离.例4如图，直线AB与CD相交于点0,0E是乙40C的平分线，OFICD,OG±0E,ZB0D=52o.cV(1)求/AOF的度数.(2) NEOF与NBoG是否相等？请说明理由.“/D(3)直接写出图中NAOE的所有余角.思路点拨(D直接利用垂直的定义结合对顶角的定义得出NAOF的度数.(2)分别求出NEOF与NBOG的度数进而得出答案.(3)根据OE是NAOC的平分线,0F±CD,0G±0E,即可得到图中NAoE的所有余角.解题过程(I)VOFlCD,NCOF=90°.又NAOC与NBOD是对顶角，ZOC=ZBOD=52°.NA0F=NC0F-NAOC=90°-52°=38°.(2)相等.理由如下：YZAOC与NBoD是对顶角，NAoC=NBOD=52°.VOE是NAOC的平分线，Z-AOE=AOC=26°.V()G±OE,ZE0G=90o.ZB0G=180o-NAoE-NEOG=64°.VZE0F=ZA0E+ZA0E=38o+26o=64o,ZEOE=ZBOG.(3) VOE是NAoC的平分线，JNAOE=NeOE=260.XVOF±CD,ZE0F+ZC0E=90o,即E0F+NA0E=90'.XVOF±CD,OG±OE,ZCOG=ZEOF.ZC0G+ZA0E=90o.VZB0G+ZA0E+ZE0G=180o,NEOG=90°,ZB0G+Z0E=90o.图中NAoE的所有余角为NEoF,ZCOG,ZBOG.方法归纳本题主要考查了垂线的定义、角平分线的定义和对顶角的定义，正确把握相关定义是解题的关键.易错误区本题综合了对顶角、垂直、角平分线、互余互补等多个知识点，角之间的关系也比较复杂，注意正确判断各个角之间的关系.例5(1)在图1中以P为顶点作NMPN,使NMPN的两边分别和NI的两边垂直.(2)量一量NMPN和Nl的度数，它们之间的数量关系是（3）同样在图2和图3中以P为顶点作乙MPN,使乙MPN的两边分别和的两边垂直，分别写出图2和图3中4MPN和ZA之间的数量关系（不要求写出理由）.图2:；图3:（4）由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角思路点拨（1）过点P作/1两边的垂线段.（2）从图形中得出.乙MPN+N1=18O°.（3）分别作图得出角的关系.（4）由上面的情况即可得出结论.解题过程(1)如图1.(2)ZMPN+Z1=180°如图2:NMPN=N1;如图3:NMPN+N1=18O°.(4)相等或互补本题主要考查了垂线的定义及画法，解题的关键是分析题意，利用图形即可解决问题.易错误区根据题意准确画图是本题的难点，尤其要注意根据点P的位置分类讨论.探究提升三条直线不共点地两两相交于三点（如图1）,共有几对对顶角？几对同位角？几对内错角？几对同旁内角？四条直线不共点地两两相交呢（如图2）?你能发现n条直线不共点地两两相交的规律吗？解题的关键在于找到每个图形中含有几个三线八角的基本图形，三条直线不共点地两两相交，共有3个三线八角的基本图形；四条直线不共点地两两相交，共有12个三线八角的基本图形.n条直线中任选两条有当0种选法，然后在剩下的(n-2)条直线中任选一条直线作为截线共有(n-2)种选法，所以n条直线不共点地两两相交共有迎芈辿个三线八角的基本图形.解题过程三条直线不共点地两两相交于三点，共有6对对顶角，12对同位角，6对内错角，6对同旁内角；四条直线不共点地两两相交，共有12对对顶角，48对同位角，24对内错角，24对同旁内角：n条直线不共点地两两相交,共有n(nT)对对顶角,2n(nT)(n-2)对同位角,n(nT)(n-2)对内错角,n(nT)(n-2)对同旁内角.方法M对于规律题关键在于找出规律，但在找到规律的同时还需要明确基本图形的特征.易铝二区本题通过分解图形，利用“三线八角”这一基本图形解决问亭，仅利用图形找角是不容易找全的.心专项训练拓展训练A(MiK)1.如图,要把小河里的水引到田地处,则作AB_1.1,垂足为点B/沿AB挖水沟，水沟最短，理由是().1A.两点之间线段最短B.两点确定一条直线下列说法中错误的是(M2S)B.Zl与/3是对顶角D.N3与N4是内错角C.垂线段最短D.过点可以作无数条直线2 .如图，直线a,b被直线C所截,A.NI与/2是邻补角C.N2与N4是同位角3 .如图，直线AB,CD相交于点0,射线OM平分NAoC,0NJ_0M.若A0C=64°,则NCON的度4 .若P为直线1外一点,点A,B,C为直线1上不同的点,其中PA=3,PB=4,PC=5,则点P到直线1的距离().A.小于3B.等于3C.大于或等于3D.小于或等于35 .如图，直线AD,BE被I4线BF和AC所截，则/1的同位角和N5的内错角分别是一6 .如图，直线B,CD相交于点0,OE±OF,OC平分NAoE,且NBOF=2ZBOE,则NBoD=7 .如图，在直角三角形ABC中,ZC=90o,BC=4cm,AC=3cm,AB=5cm.(1)点B到AC的距离是cm;点A至IBC的距离是cm.(2)画出表示点C到B的距离的线段，并求出这个距)(M7fl)8 .如图，已知直线AB,CD交于点0,OEsf-BOC,COECOA=3:2,求AD9 .一副直角三角尺按图1的方式福放，现将含445。角的三角尺ADE固定不动，把含30。角的三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转（=乙BAD且0。<a<180。）,使两块三角尺至少有一组对应边（所在的直线）垂直.（第9题）如图2,=时,BC_1.AE.（2）请你在图3中画出种符合要求的图形，计算出旋转角,并用符号表示出垂直的边.10 .在同一平面内，若NA与/B的两边分别垂直，且/A比NB的3倍少40°,则/A的度数为（）.A.20°B.55oC.20°或125°D.20°或55°A11 .如图，NBAC=90°,AD_1.BC于点D,则下列结论:ABJ_AC；AD与Ae互相垂直；点C到AB的垂线段是线段AB；点A到BCCZJ的距离是线段AD的长度；线段AB是点B到AC的距离;AD>（第MjS）BD.其中正确的有（）.A.2个B.3个C.4个D.5个12 .如图,把一根筷子一端放在水里,一端露出水面,筷子看上去变弯了.它真的弯了吗?其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变.d（I）Zl的同位角有:.（2）N2的内错角有：13 .己知O为直线DA上一点,OBlOE,EO是NAOB的平分线.(第13题)(I)如图1,若NAoB=I30°,求NEoF的度数.(2)若NAOB=,90°<a<180°,求NEoF的度数.(3)若NAoB=a,0°<a<90。，请在图2中画出射线0