模型24 辅助圆系列最值模型（解析版）.docx
S!【点1做发模量的条件<1)动点定长模St(2)MABIIAflia固定线段AB所对动角/P为定位原理：弦AB所对同僚圆冏角恒相等则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆备注：点P在优弧、劣孤上运动皆可(4)四点共IieiSfD若动用A+动用/C=180'则A、B、C、D四点共Hl(5)四点共St£»*9t茏AB所对同侧13周角恒利等备注I点P与点C需在线段AB同例固定畿段AB所对同侧动角/P=NC则A、B、C.P四点共IHSl【点2】中旋转最值问Je条件：雄段AB绕点0旋转,周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点(1)求CM最小值与最大值(2)求线段AB扫过的面积(3)求S&a*最大值与最小依作法，如图建立三个同心期.作OM，AB.B.A、M运动路径分别为大即、中即、小圆0结论ICMI小，CMI最大M段AB扫过面积为大与小国蛆成的回环面积区画量小值以AB为底，CMl为高；量大值以AB为底，CM?为行才点一:定点定长构造隙国【例1如图.已知AB=AC=4。.CBD=2BDC.ZJAC=44,.则/CA。的度数为解：'：AB-AC=AD.：.B.C.。在以八为IH心，八。为半径的HI上,ZCD=2ZCD.ZBAC=2ZBDC.；NCBl)=2/BDC，ZBC=44o,：./CAD=2/HAC=.故答案为：88：A变式训练【变式1T】.如图所示，四边形"C。中，DCB.BC=I.B=C=D=2.则BD的长为（A.14B.15C.32D.23解：以为圆心.AB长为半径作BU,廷长BA交CM于F.连接DF.'：DC/AB,.DF=BC.；,DF=CB=3F=2+2=4,YFB是OA的直径，ZFDB=90s,：，BD-jVbf2-Df2.故选：B.【变式1-2.如图，点A.B的坐标分别为4<4,0>.8(0,4),C为坐标平面内一点，RC=2.点”为线段AC的中点，连接。W,OM的最大值为.点C的运动轨迹是在半径为2的08上,；点M为线&AC的中点.二OM是ZVlCD的中位段.-OM=yCD.0M益人值时，CDJUAUCfft.此时。、B.C三点共处.此时在RIZi08)MW)=42+42=42CD=2*42.OM的最大伯必H22.故答案为：l+25考点二：定弦定角构建1»【例2】.如图.在ZA8C中,BC=2,点A为动点.在点A运动的过程中始终行N8AC=45°,则八8C面枳的最大值为.A二解：如图.A8C的外圆。,连接。从OC."：ZBAC=AS'.：.N8OC=2NBAC=2X46=90°.过点O作OC_1.BC,垂足为D'.'OB=OC.'.HD=CD-4-HC=I.2.'80C=90°，OD1.HC.PD-C=1.2,tf=Vod2+bd2&.8C=2保持不变，二BC边上的南越大，则AABC的面积越大，当面过网心时.设大,此时8C边上的尚为：2+h二八8C的加大而枳及：i×2×(2+l)-2+l.故答案为：2+.A变式训练【变式2-1.如图.P是矩形48C。内一点.A8=4.AD=2.AP_1.8P,则当线段OP最短时.CP解：以A8为直径作半阴。,连接。与半圆O交于点P',当点Ptjp小合时，。尸破短,V4D=2.ZftAD=90j.OD-22.ZADOZODZODC-=45".,.DP,-ODOP'->2-2.过夕作。'£_1.C。干点£则P'E=DE=华DP'=2-2.ACE=CDDE=2*2.:a=PzE2<E2=23故答案为：蓊.【变式2-2.如图，边长为4的正方形八8C。外有一点£,ZEB=W.尸为。£的中点，连接CA则CF的最大伯为.幅如图,以AB为直径作圆H.AE5=90'.点£在这个O上，位长Z)C至尸，使CD-PC连接8£.EH.PH.过作MJ_C。FM,'：EF=DF.CD=PC.CF=PE.2RIZSAEB中,是A8的中点，.EH=4ff=2.2R(/WM中,由匈股定理WhPH=7hN2+PN2=V42+82=2l3.,：PE：EH+PH=2+213-当忆£,三点共线时，PE呆大,C尸最大，.b献人值11+l考点三：对角互林构造除1例31如图，在矩形A8CD中AB=3,SC=S,点E在对角线AC上,连接8£,EF1.BE,垂足为E.宜设EF交战段DC于点F,解：如图，连接BF,取8尸的中点O,连接。&OC.V四边形BCD足矩形.EFlBE,四边形EFC8对华互补，C.F,E四点共圆，：./BEF=/HCF=tWl.AB=CD=3.RC=AD=5."：OB=OF.".OE=OB=OF=OC.：.li.C.F,E四点在以。为园心的圆上，NEBF=ZECF,二lanZEBF=VMNACC,.EFAD5.=BBCD3,变式训练.AD=2,百是AC的中点.【变式37.如图.在四边形A8C/）中,NZMO=NBCO=Wr.ZACD=30*连接。3则线段。£长度的最小值为.解：VZffAD=ZBCD=Wo,.A.B.C.。四点共同,且/）为比径以8。中点。,则Wil心为点O.连接A”、CO.取八。中点尸.连接&IDF.'：ZACD=W.：.ZAOD=Mo,'：OA=()D."AQ为等边二用形.".OA=OD=OC=D=2.ZFD=90,.MJJF=3.“尸足C的中位线.E-C1.2在ACEF中,DF-EFDE.当£)、£.I.i,DE取到最小，AM'ffi>J3-l.二。£的戢小值为VE-1.【变式3-2.如图，正方形A8C。的边长为2,点£是SC边上的一动点，点F是CD上一点,II.CE=DF.八八OE相交于点O.BO=BA,则OC的值为；四边形AMT）是正方形.,.ADDC.ZADkZECDZBC-tK)'：DF=CE.,.DFDCE.ZDAF=NEDC,.mC+AW=90',二/。AF+A")=90°,Z40D=90".二四边形A8")对角互补."、B.E,。四点共即，取AE的中点K连接8K、OK,作W18FM.则KB=AK=KE=OK.'：RA=RO.：./BAO=/B(M=NAEB=ZDEC.'：AH=DC.NABE=ZDCe.ZA1.BZDEC.".BEDCE.".BE=EC=I.：.DF=EC=FC=，；,DE=TF+22=V，.DFODEC.OD_OF_DF"DCECDE'.OD_OF_121五-.OF=坐,33VDOOF=-/)/(ZW.22,0M-.Owf=0F2-0N2ycw-,+4在Rt(VfC'l,<-oh2<m2=-io.故答案为实战演练1 .如图，在平面直角坐标系中，点A、8的坐标分别为(-3,0)、(0.4),以点4为圆心，以AB长为半解：，：点A、B的坐标分别为<-3.0).(0.4).OA=3.08=4,.AR=y32+4=5。AC,=5,AC=5,.C'点坐标为2,0)；C点坐标为-8,0).故选：D2 .如图.在矩形A8C。中.已知A8=3.BC=4.点P是8。边上一动点（点。不与从。重合,连接AR作点8关于直线AP的对称点.M则线段MC的最小值为（）A.2B.C.3D.10裤：连接aw.:点8和M关于ArM称,.A8=AW=3.：.M在以八圈心,3为半径的IH上，.,1,A.Sf.C三点共设时，CWAi短,.AC=32+42=5AM=A8=3.二CW=S-3=2,故选：A.3 .如图，在矩形ABC7）中，AB=S.BC=6,点尸在矩形的内部,连接¾,PB.PC-若NPBC=/力B.解：.四边形AfiCC是矩形,C.213-4D.413-4ZC-9(>ZP+ZFWC-90.'：ZPBC=ZPB.；.Nn8+NPBA=9(,.ZAPB=90i.点。在以AS为直径的腿上运动，设用心为O.连接OC交。于H此时PC被小.oc=0B2*BC2=42+62=2行二尸。的最小位为2I§-4.故选：C.4 .如图所示，NMoN=A5°.RtABCAC8=90°,BC=f>,.4C=8.当A、8分别在射线OM.ON上滑动时.PC的最大值为()A.I22B.14C.16D.I42解:如图,在R(Z8C中，由勾股定FW-2+82=104A8的下方作等腰直角ZXA08.NA08=3)作8”,0C于.：.点O在以点Q为上心，QB为半径的网上，；NAQ8+NACS=180",二点A、G8、Q共圆，.8CQ=8A0=45°.：.BH=CH=3如,6RlZiBQ”中.内勾式定状的QH=八历，C<>=2.当点CQ、。共战时，OCAi大，."C,的奴大侪为（城+CQ5匹用122.故选:A.5 .如图.已知A8=AC=A）.NCBD=2NBDC.ABAC-AAo.则NC4/）的度数为解：'：AB=AC=AD,：.B.C,。在以A为隔心，A8为平径的厕上./CAD=2CRD.ZR4C=2ZBX.VZCBD=2BDC.8AC=44°.NCA。=2N/MC-88°.故答案为：88-.6 .如图示.A.8两点的坐标分别为（-2,0）.<3.0）.点C在3轴上.且NAC8=45°.则点C的坐标幅在X轴的上方作等腰直角AAM.FB=闭/MF=9O”,以F为掰心，小为半径作OF交轴FC.2：B(-2.0),A(3.0).是等腰出角三角形,：.F'.>.F=FB=FC=-.设C(0.”，222则<>2+<-m)2-<-)2.222解得,”=6或-1(舍弃)：.C(0.6).根据对称性可知C'(0.6也符合条件，嫁上所述.点C的坐标为(0.6)或(0.-6>.故答案为(0,6>或(0,-6).7 .如图,R<.4C'l.ABBGAB=6,BC=4.P是4AHC内部的一个动点，11满足/用8+/尸/%=90°则城段CP长的最小值为二解；VZW+Z>A=90.ZPfi=90./在以A8为口径的圆周上（P在ZUC8内部）.连接。C,交。于凡此时CP的的
