模型29 圆内最大张角之米勒角问题（解析版）.docx
网内最大张角之米勒角问题模型介绍故事背景；米勒问题和米勒定理1471年,德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现圾长？即在什么部位，视角最大？最大视角问巡是数学史上100个著名的极值问物中第一个极值间网而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问甥又称之为“米勒问巡”.米勒向A1.已知点A,B是/MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时,ZACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题米勒定理：已知点AB是/MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切F点C时，/ACB最大.证明：如图1,设C是边OM上不同于点C的任意一点，连结A,B,因为NACB是网外角，ZACB是圆周角，易证AC'B小于/ACB,故/ACB最大。M在DAO8=Z4C。+/。AC所以NAD8>Z4CO又因为/ACB=乙”用所以ACB>Z4CZ)米勒定理在解题中的应用常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破.思维瓶颈、大大减少运莫量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的道难题甚至筹英展，即使解出也费时化力。00三)例题精讲【例1】.平面直痢坐标系内，已知点A<1,O),B<5,0),C(0.r).当/>0时，若/4C8最大，则tC.5D.耨：如图作过A、8两点的OM1.jy轻川切于点C.'：ZCB<ZAPB,ZACB<ZACH.OM与釉和切广点C时，ZACfl.如图,作M/1.11连接OfA伍MZt；0M与）轴相切于点CZOCM=QO5,VA（1.0）.B（5.0）,1.=4.'：MH1.AB.AH=AB2,2O=l+2=3.fC=M=tf=3,KH=32-22=5'.0C=5t=5故选：C.圉”变式训练【变式1-1.如图，在正方形48CD中.边长为4.是CO的中点,点。是8C上一个动点，当NDPM的度数最大时，则BP=4-/.解：（VP.fD的外接BI,则圆心O在DM的中乖线上移动,；NDoM=2NDPM,：.当/DoM圾大时，ZDPMhi,当QO与BC相切时.ZZXJAfft大.,二”是CO的中点.CD=4.：.CM=DM=2.连接OR则OR1.SeVZC=90t.ON1.CD,二四边形OPCN是矩形,：.OP=NC=2+1=3=OM-在RtAJfON中，由勾IR定理得.av0JI2-MN2V32-l2'22即尸C=2,IBP=BC-PC=A-22-故答案为：4-3反.【变式1-2.如图，408=60：M,N是08上的点，0M=4,MN=H.<1）设。过点M、MC,D分别是MN同例的附上点和阀外点.求证：NMCN>NA1DN；2若尸是0人上的动点，求/MW的最大值.（1证明：当C在AfD上或在MCI时.如图.显然NMeN>NMDN（;角形的外向大F不相然的内角）,当C不在上或在MC上时，如图.设M。与上交于E点，连接NE,WJ/MEV=/MC（V（同弧上的Bil周角相等），而MEN>M）MMCN>Z.WJ,:<2).解：设过W,N作IMI尸与QI相切于点。,由<1)知：/AfQN即为所求角，作MV的乖直平分线分别交Q1.OBTG、H,则囤1心户在GH上，设FQ=FM=八'：A0B=t'.O"G=90°.：.ZOGH=W,FG=2r,wf=kf2-hh2=2-(3)2则G=2-3+2=3+43,解汨=23MlZf=-ZfW=30.MW的最火值为30°.【例2】.在直角坐标系中,给定两点M(1.4,N(-l.2).在K轴的正半轴匕求前P,使NMPN解：过点MMp：点的制的圆心在线段MV的中垂线：y=-x+3上./M/W为弦MN所对应的网周角.：.当矶的半径J小时有N.MPN呆大.；。在X轴上运动，二当Bfl与X轴相切时,IH的半径最小,即此时NA/W最大.设此时P点坐标为：(/，,0),则圆心Q的坐标为<p.-p+3),'：MQ-PQ.：.<I-p>2+</»1)2=(3-P)2.解得:P=I或P=-6<).点坐标为（I,o）.故答案为：（I.0）.A变式训练【变式2-1.如图，某雕塑MN位于河段“八上.游客P在步道上由点。出发沿”8方向行走.已知/AC8=30s.MN=IOM=Wm.当观般视角/MPN/大时，游客产行走的矩离。尸是，0_米.解：如图，取MN的中点F,过点尸作F£1.08于E,以口径MY作。E,：MN-IOM-AHm.F是MN的中点.：.MF=FN=X加.O-4()m.VZzIOB=30*.EFlOB,：.EF=20»,OK=43EF=2(3*nXEF=MF,又,；EF：.OR,：.OB是OU的切线.切点为£.当点P与点£ft台时.观景视角ZMPN段大.此时OP=2()3mk故答案为：2(3【变式2-2.如图，在矩形八8C。中，八8=6,八。=8,点£F分别是边CD,8C上的动点，RN八五E=90"<l）证明：>ABFs色FCE：<2）当取何值时.N/U7）最大.<1>证明；四边形ABCC是矩形.二8=C=90°，."E=9（）',.AF8+N2C=90'.7ZEFC+ZFEC-W.NFBrNFEGF<CE.<2取AE的中点O,连接OD.OF.：ZAFE=ZADE=90（对角互补），A,D、E、尸四点共B1.ZAED=ZAbD.二当0。与BC相切时,NAH）的值坡大,易知BF=CF=%ABFFCE,.AB=BF"FCEC,.6_4'4EC.EC哈3:.1）1.DC-Cl.6-4r，当OE=¥时,ZAED3330l实战演练I.在平面五角坐标系中，点A(0.2)、R<.rt+2>,C(>.0)(>0.&>0),若A8=4EAC8最大时，b的值为A.2+26B.-2+26C.2+42D.-2+42解：VB(.e+2)二点8在F=A2这条直线匕又AB=4&.A(0.2).：.B(,4.6).如图,',ABC的外接四与X轴相切时，ZACB有大值.取点G为A8中点.AG(2,4).过点G且垂II于八B的且畿为：=-a6.设KI心F(历，w+6).VFC=FB.<-w÷6>2=Im-4>2÷<-吁6-6)2解得加=2-2故选：B.2.如图，A，8衣示足球门边框（不考虑球门的高度的两个端点，点C衣示射门点，连接八C,RC，则NAC8就是射门角.在不考虑其它因案的情况下,一般射门角越大,射门进球的可能性就越大.球员甲带球线路1.D与球门A8垂直.。为垂足.点C在ED上,当NAC8最大时就是带球线路刈）I.的最佳射门角.若八8=4,8。=1.则当球员甲在此次带球中获得外佳的门角时。的长度为（）D.15A.2B.3C.5蝌：当408CS时,ZACfiAt.BDCD.二一,CDAD/.CD2=BZJMD=I×(1*4)=5.CD=5.故球员甲在此次带球中获得破佳射门角时DC的长度为而故选：C.3.已知点A、B的坐标分别是（0.1）、0,3）.点C为X轴正半轴上一动点,当NAa最大时点C的坐标是（V§,0）.解：过点儿。作OR点0P与X轴相切于点C时，ZACO¼k.连接内、PB、PC,作/W1.v轴于从如图，.点48的坐标分别是（0，I）、（0,3X.OA=1.AB=3-1=2,：PH工ABIAH=BH=M工。=2,1尸C1.r轴，二四边形Pa)H为矩形.：.PC=()H=2.¾=2.(RlPAH,t,.PH=PA2-AH2=22-I2如,，C点坐标为(6.0).故答案为3O).4.如图，在矩形A8C/）中,AB=4.A）=8.M是（7）的中点.点P是?C上一个动点,若/OPM的度数解：作APMD的外接同，则同心O在OM的中垂线I移动.；ZDOM-2Z.DPM.，当/。W最大时，ZDAWAi,当OoBC相切时，ZDOAf最大，YM是C。的中点，CD=4.二CW=/W=2.连接OP.WlOPlHC.VZC=W.ON1.CD.四边形OpCN是如形，OP=rC=2÷l=3=(W.任RIAHON中，由勾股定理得.ON=Voh2-MN2-32-i2,乐即尸C=/,.,.HP=BC-PC=Vi-22故答案为：8-22.5.某儿收游乐场的平面图如图所示，场所工作人员想在OO边上的点P处安装雅控装置，用来监控OC边上的八8段，为了让监控效果更佳，必须要求乙AP8最大，己知：NDoC=60：QA=400米，AB=200«米,问在。边上是否存在一点A使得NAP8最大？若存在，请求出此时"。的长和,NA08的度数：若不存在,请说明理由.耨：如图,当经过A,8的。丁与（儿）相切于P时./AP8的值坡大.作7"J,OC于，交OD于。,连接7,TB,OT.设W=7=7B=r.YT=TB,TI±B.：.AHHlil(X3(m)."：ZOHQ=W./0-60”.OH=O+AH=(400+1(X3)(zn>.工QH=Moh='4003+3>("，)，NOQH=30，：.TQ=2PT=2r.,"7w=AT2+AH2=2-(1OO3)22+2-(1003)24(X3÷5.整理汨：3r-(IMX3*2(X>>r>WXXXX)+24()()fX>3=O：.<-2<X3)(3r-(XX3-2>=().=2<X3<1O()O3-2(X>>(舍弁)，4T-2(X3>h.AT=2AH,：.Z47W=30s.AB=2An/=60",Z,-Z4B-30,.2AOPOQ-PQ8(X)+2(M3-MX)-(2(XH-2(X)3)(/«).6.某商场引进消毒机器人每天进行全场消毒工作,该机涔人采取精准直线喷射技术,实现准确、快速和节约的目标,在设置参数的时候,工作人员通过对商场门口身形高大的“大黄蜂”进行多次消毒试脸发现：如图，若对八点进行消毒，适当调整机器人C。到八8的距离，使得Sin()的值尽可能的大,能提裔消毒的效率.已知“大黄蜂”AB身高25米，机涔入CD高0.4米.则当sin(-)最大时，机渊人CD和“大黄i'Ali之间即为8C等于号米.如图，过点C作CF1.
