模型10 加权逆等线最值模型（解析版）.docx

加权逆等线最值模型模型介绍【模型感结】回在求形为“QB+kPAn(k#l)的式子聂位问题时，关键是要通过相似三角彬构造出与相等的税段(即421=Q0,将Q6+Mjl”型问题转化为t,QB+QC,型将军饮马问题,当k=l时，加权逆等线就变成了逆等或拼接最优模型，此种情况属于权为1的特殊情况，只需通过全等三角形构造出相等或段即可，然后将问题变为畲见的将军饮马问题求解即可.回需要注意的是这里的QB、H4两旃线茂的廷犬费方向必须要有爻义，方能通过相似或全等三角形得到kP的等线段.【解题方法】回利用比例线段构造相似三角形转化段段，杷双动点问题转化为单动点将军饮马问题,利用“两点之间级段最短”从而解出答案.例题精讲才点一:直角三角形中的加权逆等线模型【例1.如图，已知BC±AB,liC=B=3,E为BC边上一动点，连接AE,D点在AB延长线上，且CE=2BD,则AE+2CD的最小值为多少？解:作CIuCB,且使得CF-6,连接EF过点AiftAG1.CF,交FC延长线于点G.竺=竺=2.CBRDFCE<CBD,EFUCDAE+2CD=AE+EF当A、E、F:点一线时,AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF易知：四边形ABCG为正方形AG=3,CG=3FG=9在RIAG中，由勾股定理得F=310AE2CD的嵌小值为3网A变式训防.【变式17.如图，等腰直角AABC中，斜边BC=2,点1）、E分别为线段AB和BC上的动点,BE=Bad,求AE+0CD的最小值.解:作BF_1.BC并且使得BF=2,连接EFV-2BEF<×*DCADAC2EF=2CDE÷2CD=AE+EF当A、E、F三点共线时，AE+EF取到最小值,此时AE+EF=RF反向延长BF.过点A作AH±BF于点H在RtZSAHFB,由勾股定理易得：AF-J五E+2CD的最小值为11BzF【变式1-2】.如图，在RIZSABC中，C=6,BC=8,ZCB=90,点E、F分别是AB、BC边上的动点，且人月=2b,求共E+AF的最小值.解:过点A作M1.1.AB,并且使得AD=I2,连接DE,CD过点C作CH±B于点I1.CG1.U）延长线与点G噂噂=2.ZDE=ZCF.,.DAECF.DE-2F,CE+2AF=CE+DE当C、E、D三点共线时,取到坡小值,此时CE+2AF=CE+DE=CD由等面积法可得：CHT四边形AGCH为矩形，AG-CH-DGTD+AG£在RtZkCAH中由勾股定理得：AHT>>CG=AHTiRtDCG,由勾股定理得：CD=6&砺CE+F=(CE2I);*E+AF的最小值为3廊5考点二:野球平行四边给中舔加权逆等线模型【例2.如图，在正方形ABCD中,B=bE、F分别为CB、的最小值.D'QBEC解：如图,延长BA至点。.使得AOf：作点D关于BC的对称点D连接Dl,DE易知BD=2W=DV.BlyBE2TB=而=1ABOgADAFW.DE=2AI.DE=DE.DE+2.AF=DE+。E"ID'.E.D-i-.DE+01：取到最小值.此时zy+>E-i.1)E+2AIVJ,lyJTDC上的动点,且BE=2DF,求DE+2AFDID'A史式制绻【变式27】.如图，在矩形ABCD中，AD=4,AB=45,点E、F分别是BD,BC上的一动点，且BF=2DE，则AF+2AE的最小值为多少？蟀：连接DF,延长DC至点G.使OG=QC.连接八弧易证皿=240,.4用呼。川-/.DF=2AE.tAF+2AE=AF+DF=AF+FG.AG./.AF+2AE的最小值是AG=JAD2+DG2=4I3【变式2-2.如图.在菱形力比中，N区仍=120°,加4,从.Y分别是边心汕的动点,满足和=v,连接CN,是边。/上的动点，尸是CV上电近。的四等分点，连接/1£、BE、B当V面积最小时，技的川?的最小值为.解：如图，连接G'、AC,；四边形/1及力是菱形，/用Q=120°,：.AB=AI)=CD,MC=DC=/.ADC=a,.业-和C为等边三角形，：.AC=DC,/。=60°,./1.lf=«V；：.zuwn电YSAS).：.Cif=CN,DCN=Z/ICV.：.M忆/,W/dG三%MHC3/月浙60°,.&V为等边三角形.;也广是a上靠近点C的四等分点，.s,、,一2.4Oft'的面积最小时,的面积也最小.：SAg=普c/,.当CV和A/长度最短时，房小的面积最小，即CV1.也。/1./时的面枳最小,取应的中点为点G,连接.除Y/双'为等边三角形，CM1.阴，点时是熊的中点,IAE=BE.J.MG=AEBE,眄MqAaAE=亳肥,'：点Zf是。/上的动点，ZAlfE=90,AE的最小值即为加的长度，'：CD-,.小占我=2,-弓BE+AE)w.n=2×2=3,扎M3.1 .如图，等腰AABCNBAC-IJOAB-ACrl，D、E分别是AB、BC边上的动点，Jl满足BE=6AD,求AE+&D的最小值.解：首先雨要构建出辰D,其次需要超'JfHc。放力同一直线上.如图所示，构建a4X)E".H.相似比为1：、厂3,则EF=辰D1r,fAE+3CD=AE+EFAF即最小值为MN：如图所示，当A、E、F三点共线时，取得最小值为AF;接下来,我们求解AF的长度.AG=-AB=BG=/2 22Bb=3AC=3AF=FG2+AG2=7ae+J(d的最小值为近.2 .如图，V为矩形力四中力边中点，E、F分别为8C、CD上的动点，凫BE=2M,若Aff=1.BC=2,则峪+2"的最小值为_技_.方法-解：如图，过点"作MA1.成于设卯=x,则应'=2x.:四边形/点是矩形，.N胡P=NQNP=90",'：MH1.BC.,：.ZW=9Qt,.四边形,仍侑，是矩形，：.Alf=Mf=ff=,AB=MlI=：.EH=-2x,:四+2"÷q+(b2x)2+=12+(1-2x)2+42+(2x)2.欲求.*21的最小值，相当于在“抽上找一点。(2筋0),使得点。到J(0,4),和求(1,1)的距离之和最小(如下图)，VJ.K作点./关于X轴的对称点/.连接A/交X轴于0，连接,/0，此时、/伊加的值最小,最小值=7'，'：f(0,-4),(hI),:KJ=52+12=26l：.吻+2/火的最小值为亚，故答案726.方法二延长AB至点G,使得BG=4,连接GE作点G关F直线BC的对称点N,连接EN,MNAGE=NE易证ABGEsDAF,.GE=2AF故ME+2AF=ME+GE=ME+NE当M、E、N三点共线时,MEME取到最小值此时ME+NE=MN在RtAMNA中，由勾股定理可得：M=263 .如图，在正方形Zi四中，尸为仞上一点，且装=(E、尸分别为3弦上的动点，且BF3DE.若力场3求/43/族的最小值.解：延长BA到点G,使得BGJAD-9,作点G关于直线IiC的对称点H连接GF,FH,由对称原理可知:FH=GF易证4GBFsZDEAGF-3AE故PF+3E=PF+GF=PF+FH当P、F、H三点共线时，PF+FH取到最小值此时PF-I-H=PH在RtAABP中,由勾股定理可得：PH=237PI+3AE最小值为2历4 .如图，在RlN4=90°,Zf=30o,C=yf3,点在线段/历上，点£在线段.，加的延长线上，且跖=月则，刀的最小值是V7_.D解：如图所示，作点C关于，纷的对称点G，连接8DG,AG.则S=6ZAC=AG.NaG=2N018=60°.CG1.AB,./1G；是等边三角形，ICG=AC=M,如图，以应；发为边作平行四边形夕伤，则%=£7/,K/DE,：.EH=CD,CGlG乩：.C»CE=HE+CE,.当£E在同直线上时，连接OA的最小值等于。/的长,YRl力3中，M=90°./力=30",AC=>3,Z>tan30o×AC,AB=2BC=2,-JDA=Hf-,J.AR=DE=2,.平行四边形座加1中，IKi=2,中，6>A-CG2+HG2-(3)2+227.,净，力的最小值等于7故答案为：7.5 .如图，在矩形中，/1=4,JP=6,点，在边/1上，点。在边伙:'上，且")。，连接CP,该，则Q如的最小值等于10.解：如图，连接BP,在矩形力成刀中，/&；/IP=改=6,YAP=CQ,：.AD-AP=BC-CQ,KDP=QB,DP/BQ,.四边形力冽是平行四边形，：.PB/I)Q,PB=DQ'则POQl)=PeTPB,啦PG。的最小值转化为/>/力的最小值,在阴的延长线上截取AE=AB=A,连接PE,则BE=2AB=8,：PA1.BE,川是陇的垂直平分线，MPB=PE,：.PC：PB=PC+PE,连接CE,则POQD=iyptf=PC+P历CE=BE¼C2=82+62=10，.凡二力的戢小值为10,即小。的最小值为10,故答案为：10.6 .如图，平行四边形/加S>AD,AD=A,/ADff=60：点从/为对角线/步上的动点,DE=2BF,连接力&CF,则I母2。的最小值为.解：如图，在直线如的上方作NZW=60°,且使得=2及：过点7'作TZZl初交力。的延长线于/.；四边形力皮是平行四边膨，：.BC/AD,Alf=BC=A,：.NADB=NDC=60","CBF=NTDE,.生=丝=J1.DTDE2.6>7三,.竺=竺=1.ETDT2J.ET=2CF,:NnW=I80。-60°-60*=60°,N490°,DT=2BC=3,.而奶cos6(=4,HT=32V=43.：.AH=A6Dlt=8,/.AT=yAH2+HT2=J2+(43)2=47,:A2CF=EET,EETT,：.AE-ZCFANi.二432力的最小值为47.故答案为：477 .问题提出:（I）如图，在正方形4O中，C为边/仍上一点（点不与点月、重合），连接。匹，过点力作"二配；交伙:'于点八则应.与/的数量关系是：DE=AFi问题探究：（2）如图，在矩形.伯必中，扪=4,扪=6,点尺/分别在边/8、面上，点”为线段仔'上动点，过点”作断的