专题61 二次函数背景下的相似三角形问题（解析版）.docx

的相似三角彩问题回口模型介绍在生标系中确定点，使捋由ii任及其他点构成的三比形与其他三用形相似，即为"相似三角形存在性问【尢似畀定拘走,1：三边时应成比例的两个三角形是相似三角形；刈定2:两边对成比例且失角相等的两个三角彩量相似三角形；判定3:有两蛆角对应相等的三角彩是相似三角彩.以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据翅目给的已知条件选择恰当的刈定方法，解决问题.【题嵬分析】通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为单动点"关、"双动点"两类问题.根据相似三角彩的做题经验，可以发现，判定1底本是不会用的，这里也一样不怎么用，时比列定2、3可以发现，邢有角柏芋！所以，要证相似的两个三角彤必然布相若角，关饿点也是先找刘一姐相辛南.然后再找：当珞1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一姐角布等.事实上，生标系中在已知点、的情况下，或段长度比角的大小更岑易表示，因此选择方法可优先考虑思路1.一、如何捋到相等角？二、加何构迨两边成比例或者得列第二蛆角？播定这两个问题就可以了.例题精讲【例1.如图，抛物线y=+x+2交X轴于点A,B.交F轴于点G点M是第一象限内抛物战上一点，过点M作MN1.x轴F点N.若AMQN与A80C相似，求点Af的横坐标.弗YHfi物线厂-+2交A轴1点A,以交y轴JdC.：.当F()时.0=-l.r-t-+2.解得Xl=-I,/2=4,：.()li=4.当X=O时,y=2.AOC=2.；点M是笫象限内抛物战上一点,设M</n>2,'；MM1.x轴,+2./ONM=90«.：.ON=m.M.V="8OC=90",ZBOC=ZONM.'MON"ZX8OC相似.ONMN.ONMN"0C"BjOB三0C,m4仔+2+仔+2"24*42.m=或l1÷5'仇值台去)，.fiM的横坐标为二!孚Z或+5.A变式训炼【变1-1.如图.在平面直角坐标系内,已知直线y=x+4与X轴、y轴分别相交于点A和点C附物线.v=x2+fc+-1图象过点A和点C,抛物线与X轴的另一交点是&<1>求出此枪物线的解析式、对称轴以及B点坐标；2若在,、相仪华轴上存在点。，能使得以A、C、。为顶点的三角形与ZSAbC相似，请求出点。的坐M：(D由X=O得y=(H4=4.则点C的坐标为(0.4)：Itl>=0W.+4=0,解得X=7,则点八的坐标为(-4,0>s把点C(0.4)代入y=f+Cv+hl.得氏-1=4.解得：4=5,，此抛物雄的解析式为y=+5x+4,二此植物线的对称轴为k-焉r=-.令r=0得.r+5.v+4=0.解得：i=-1.X2=-4,二点8的坐标为(-I.0).<2)V<-4,O),C(0.4).：.OA=OC=A.：.OCA=ZOAC.VZ4fX-9().OB=.()C-()AA.C5A2*OC2r4V2.BO08=4S3.:点”在F轴仇半轴I.：.ZA1)C<ZAOC.1PZAX<9<).XVZAfiOZflOC.即NA5C>90",ZBC>ZADC.由条件“以A、C,。为顶点的三角形与ZkASC相似”可得4C3BC【例2.如图，微物战=/+加+r与X轴交于八（1,O）.B两点,与、轴交于点C（O,3>.<1>求该他物税的友达式：<2>过点8作X轴的垂线，在该垂规上取点R使料尸BC与ZUHC相似,请求出点P的坐标.解：（I）把C<0,3>代入，=+W+c,得¢=3,.,.y=x2+-+3.把A（1.0）代入）,=+加c+3,得l+3=0.解得=-4,二该衲物线的表达式为y=x2-4+3.<2>当点?在点8上方时,如图I,PB=AB.:P8，x轴.：.ZABP=90".抛物线V=Jt2-4,v+3.当y=（）时.则W-4x*3=0.解海Xl=1.*2=3.IB（3,0）.工OB=OC=3,PB=A8=3-1=2,；/80C=90”.：.，OBC=ZoCB=45°.ZPBC=ZBC45'.-ABBC",C.此时点尸的坐标为<3.2>i如图2,MBCS&CB&,且NGJP=NA8C=45',NBCP=NBAC.BPBC,BCBA,.BC2=OB2OC2=32+32=18,B=2,.80=学9.BA2此时点P的型标为<3,9>：当点。在点8F方时.ZPflC=I35o，ZRAC=ZAOC+ZACO=tM）1+ZACO<135t此时APBC与ZXA8<?不相似.踪上所述.点夕的坐标为（3.2）或（3.9）.1图2图1A变武训练【变27.如图,抛物线y=<2+Z>x+c与X轴交于点A（-1,D<2,-3）.点尸、Q是岫物线y=rt2+Z>+c上的动点.<1>求搬物戏的解析式：2当点尸在直&OD下方时，求APOC面枳的最大值.0）,点8（3,0）,与）1轴交于点C旦过点vA<3>直规OQ'j线段RC相交于点E>'¥当（）BE与Aabc相似时，求点Q的坐标.%¥图2图«$：<1)函数的发达式为：y="(r+l)<x-3),珞点/)生标代入上式并解汨：«=1.故抛物投的发达式为：y=/-2x-3:<2)设点P(Mnr-2w-3),当点P在第三纵限时，设出战PO与F轮交干点G,设点PC”,-2h-3>.图1相点儿”的坐标代入一次函数表达式：、二.”，井解得：直线P/)的表达代为：V=Mir-3-2m.则OG=3+2，”.，1小×(Ki/“>-”)=2<3+2m)(2-in)=m*+-r÷3222当点P在第四象限时.设P。交粕于点W.同理可得:S/"”=，XOAf(、”-“)=-ntt4-m端上，SPoD=-，/，/3,.IVO.故S>w½,ll:'."，"一时，m为冬：416(3)VO=OC=3.：.Noai=WOBC=AS',VZABCZOBE.故408E与AABC相似时，分为两种情况:当NAC8=NBOQ时，八8:4,flC-32.C=y11Q.过点A作AH8。于点H.SH<×H×BC-4-B×0C.,(!f:A=22.22则SinNA(Trl<lan.4(72.AC5则出线()Q的表达式为：F=-2r.联立:并解得：=3vX-3.故点Q(i,S或4-瓜出3/8AC-NBoQ时.lan4C-mH()Q.OA1则点Q(3)，则直线OQ的衣达式为：=3,联立并解得：Xlt故点。1zku.或综1.*4CWEV八BC相似时,Q的坐标为:(-2«；或(-323)-14.3-)或-1-133÷313.22实战演练1 .微物戏F=平移后的位函如图所示，点A,8坐标分别为7,0>、<3,0>,设平移后的楸物设马F轴文于点C其顶点为。.< I>求平移后的帼物线的解析式和点D的坐标：< 2>NACB和NAB。是否相等？谕证明你的站出：< 3点P在平移后的搬物设的时称轴上，JIAC。HAABC相似，求点P的坐标.解：(I)Y判地物线y=-平移,平移后的抛物线与X轴交于点A<-h0)和点8(3,OX，平移后的抛初我的表达式为.T=-(*l)<x-3)=-*2t+3,UPy=-+2x*3,Vy=-2+2x+3=-(X-I)'+4.二顶点。的坐标为<1,4)；< 2>/ACB与/ABO相等，理由如下：如图，Vy=-+2r+3.二点x=0时,F=3.即C点坐标为(0,3).又YB<3.0>.ZBOC=W.IOB=OC,NoBC=NOCB=45'.ffifiCD.,Cl=32+32=l8.CD2=I2+I2=2.flD1=22+42=20.BC2+CD1=BD2.:/8CO=90”.UmNaW)=罂=J=-,BCV183；在ZUOC中.NACC=W.lanACOh理=工OC3tanZACO-IanZCHl).ZACO=ZCBD.：.NAaHNoCB-NCBIHZOBC.BliZACB=ZABDi(3)；点P在平移后的抛物线的对称轴J：.而)=-/+2t+3的对称粕为x=.二可设P点的坐标为(1.”).：八BC是神角三角形，CDP1.j&4故?相似时.ACDP也是锐角三用形.n<4,即点P只能在点。的下方.又ncdp=nabc=4F.：.DAB是对应羔,分两种忸况：l果zx(7)尸SAABC.那么烂=,.吁反=舁.432解汨n=-.点的坐标为(1.->,如枭ZSCQPsZXC8A,那么黑二器.畤T牛解得”=.j点的坐标为“)3综上可知P点的坐标为<.)SK<.-I).232 .如图，已知448C中，NAC8=90',以A8所在直战为X轴，过C点的口找为y箱建立平面宜角坐标系.此时，A点坐标为-I,0）,/?点坐标为（4.0）1试求点C的坐标：2若她物税产加+配+c过4A8C的三个凰点，求他物线的解析式：3点。（1.m）在他物戏上，过点八的直级y=1交（2）中的枪物纹于点£,那么在X轴上点8的左侧是否存在点儿使以P、8、。为顶点的三角形与AABE相似？着存在，求Hl尸点坐标：若不存在，说明理由.耨：(I)(I.RtA(?'P./AC890".()C1.AH.由射彬定理，得：OC：=QVO8=4,即。C=2.(O.2):<2>Y微物找经过A(-1.0),B(4,0).C(O.2).可设衲物城的解析式为y=(x+l)(-4>(O),Wf;2=«<O+I)(O-4).a=.2.'.V=-i->：+I)1.t-4)=-r+-+2;；'.ll/»-y.0）或（-y.0）.根据跄物线的解析式易知：D（I.3）.联立直设AE和抛物线的解析式行：.E(6.-7).tanZDO即/08。45.tanZE4=I.即/以445.4-16-(-1)；./1)8A=NEAB.若以巴从。为J更点的三角形与ZXABEXIft!.则行两种情况：<DPD4E:APBDs&EAB.易如8"=3,M=72l-5.由汨：*嘤，即即。8=与OP=Off-PB=.山&：-WP'8=W，OP'=OB-BP'=AEAB72555：.P<-y,0)或(等.0),3 .如图己知口戏.v=