成理工核辐射测量方法讲义07核辐射测量统计学与误差预测.docx

第7章核辐射测量统计学与误差预测核衰变是一种随机过程。因此，观测核衰变中发射的辐射的测量，必然存在某种程度的统计涨落。在测量仪器可靠的前提下，核衰变的统计涨落是测量误差的主要来源。研究核辐射测量数据的统计涨落特征与规律，至少具有两个方面的意义：I）检验核辐射测量仪器的工作状态是否正常；2）通过掌握核辐射测量数据的统计涨落规律，预测并控制测量数据的测量精度。本章将讨论核衰变的统计规律，以及核辐射测量中的误差计算问题。7.1核衰变数及其统计分布在放射性测量中，即因所有也是不同的，如图7.1所未JcPs）每次测量获得的核辐射的计数率图7.1核辐射测量中计数率的统计涨落我们发现，各次测量获得的射线计数率会围绕某个平均值做上下跳动。这种现象称为放射性计数的统计涨落。这种涨落，是原子核衰变所具有的随机性引起的。从图7.1可见，放射性计数的统计涨落会遵循一定的规律，即服从一定的统计分布。我们把一个随机变量取值的规律称为它的概率分布，简称“分布”。与放射性测量有关的统计分布主要有三种：二项式分布、泊松分布、以及正态分布。下面我们先讨论二项式分布。7.1.1二项式分布根据伯努里实验：假定有许多相同的客体，其数目为M，它们之中每一个都可以随机性地归于A类或B类。设归于A类的概率为p,归于B类的概率为4,显然P与4满足关系p+q=1.设考察试验后归于A类的客体数目可以证明，f是一个随机变量，它服从二项式分布。每一种随机变量的分布包含两个部分：取哪些值？取这些值相应的概率是多少？对于二项式分布，f取值为n的概率，即从NO个客体中观察到n个客体处于A类的概率P)(称为概率密度)为p(尸G""产”二,，一P"(1.P)S<7.1)式中，PnqNbn表示从No个客体中对魂的一J牙普体观察到归于A类的概率；CA表示从M个客体中取n个的组合数。对每种分布，都有两个最重要的数字特征：数学期望，方差。前者一般记为E(9,或反应的是随机变量取值的平均位置；而后者一般记为ZXf)或。2,反应了随机变量取值相对于平均位置的离散程度。方差的平方根称为均方根差，或标准差，用。表示。对二项式分布E()二y11P(n)=N0-p(7.2)D=M«)二工5-万)2P()=、NoPq=、n(-p)(7.3)核衰变的过程可以看作上面所讨论的伯努里实验问题。设在/=O时放射性核有No个，任何一个核在t时间内衰变的概率为P=(l-ev,),不衰变的概率为q=-p=e式中人是该核素的放射性衰变常数。将衰变概率、不衰变概率代入(7.1)式，可以得到在/时间内有个核发生衰变的概率PM=CP"q5J-("'""F(7.4)相应的数学期望值与标准差为n=E()=NqP=NO(I=11(l-p)=ne,(7.5)Oy/fT如果放射性核是长寿的，即有八fVVl,则在有限的t时间内可以不考虑源活度变化，有(7.6)当值较大时，值出现在五值附近的概率较大，即n%亓，所以上式还可以简化为H（7.7）上式是一个非常有用的公式，它表明。可以用任意一次观测的核衰变数来估算。由于二项式分布计算不方便，加之实际工作中M一般为很大的数目，这种情况下,二项式分布可以简化为泊松分布或正态分布。7.1.2泊松分布历史上，泊松分布是作为二项式分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的。在二项式分布中，当M很大而P又很小时，这时作为二项式分布的一种极限情况就是泊松分布。当满足No很大而P很小条件时，有=Nw<<No.对于在11S附近的值，得N。!¼,-京!Q_p)NOFJS)%fepn0(7.8)代入（7.1）式并注意至阮=M）p,就得到P（n）这就是泊松分布。对于M）不小于100,而不大于0.01时，泊松分布可以很好地近似于二项式分布。在泊松分布中，n的取值范围为所有的正整数（0,1,2）,并在三附近时，PS）有较大数值。当日较小时，泊松分布的分布曲线是不对称的；当万较大时，多布逐渐趋于对称，如图7.2所'O可以导出，泊松分布的标准差为7.2泊松分布的图形=NO(NO-1)(乂-2)(M-+1)n)2P(n)J"(7.10)7.1.3正态分布正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。德莫佛(DeMOiVm)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。正态分布在十九世纪前叶由高斯(GaUsS)加以推广，所以通常称为高斯分布。正态分布可以看作是泊松分布中汀有较大数值时的一种极限情况。正态分布的概率密度表达式为P（三）=1"S-R/毋(7.11)a：2上式中，7?和。分别是高斯分布的数学期望和标准差。高斯分布是对称分布。当n220时，泊松分布就可以用高斯分布来代替。与二项式分布和泊松分布不同，高斯分布是连续型分布，而前两者是离散型随机分布。对正态分布来说，其数学期望值和标准差可以按以下公式求出7；=*三,在等精度测量列中，单次测量的标准差计算的理论公式：式中N测量次数(应充分大)；=-2+2+-+N2_毕(7.13)"VN=|N(7.14)6测得值与被测量的真值(数学期望值)之差。在有限次测量情况下，可用残余误差代替真误差.而得到标准差的估计值。fl(nl-n)27巳十NT实际工作时，我们可以利用(7.11)式计算落在某个区间的概率。例如，计算落在区间5WWn2)内的概率为(7.15)P(11WW2)=Je(n>,f2<rdn277实际使用时，这一积分不宜接计算，而是利用现成的正态分布积分数值表。在这种表格中，给出了标准正态分布下，对应于f的函数值（积分值）=1ie-,2,2dt(7.16)图7.3测量值落入不同区间的概率分布为此，为利用正态分布积分数值表求出（7.15）式的积分值，需先将其标准化:人一J-TBZa令f=,dt=一，于是得ZTZT41(7.17)Pg<nn1)-Pal<n<t2)=Je,12dt=(r2)-(r1)小、2"根据（7.17）式和正态分布积分数值表，我们可以求出测量值落在不同区间内的概率（见表7.1、图7.3）o表7.1几个重要的概率值tIn-77I=t2(t)1-2(t)测量次数,N超出t的测量次数0.670.670.49720.5028211l0.68260.317431220.95440.0456221330.99730.00273701440.9999().0001156261表7.1给出的测量值落在王IQ,n±2,n±3区间内的概率意义，在工程应用中具有特殊的作用。例如，在检查放射性仪器工作正常时，我们往往在完全相同的条件下测量数百个数据，然后统计这些数据分别落±l,w±2,E±3的数据个数，并计算其占全体读书个数的百分比（频率），当其频率值与理论概率值基本相同时，我们可以认定，仪器工作正常，否则，我们可以判定仪器工作不正常，需要加以检修或加以调整。此外，当我们在相同条件下进行有限次测量时，当其中一次测量数据超出其它读数的3。时，我们有理由将其立即剔除，原因是正常读数中超出3。的概率仅仅为0.0027,在370次测量中才有可能出现一次，在有限几次测量中出现超出3。的正常数据的可能性几乎为0,所以，应该将其作为不可靠数据剔除。7.2 脉冲计数的统计分布在7.1节中我们讨论了原子核衰变数的统计分布。采用同样的思想，我们可以讨论核辐射测量计数的统计分布。设在t=0时放射性核有NO个，现考虑在时间t内它们是否衰变以及衰变后放出粒子是否引起计数的情况。这是，任一个原子核必定属于以下两类中的一类：A类是原子核衰变并引起了探测器的计数；B类是原子核并未衰变或虽然衰变，但并未引起探测器的计数。设任一核归于A类的概率为p',归于B类的概率为片，可以理解p'+q'=1,并且p,二(15"q,=e-,+(l-e"y'z)(l-)(7.18)式中，£是探测器的探测效率。由此，可以知道，在时间t内得到的计数N是个随机变数并服从二项式分布，P(N)为PglNJN壬NpV''利用(7.2)和(7.3)式，可写出计数值的数学期望M和方差。2,并假设是在入tVVl的情况下，由(7.18)式可知q'接近于1,于是得到M-Nop,=No(-e't)(7.20)2=Np,qsNop,=M(7.21)同样，作为二项式分布的极限情况，可以写出计数值所服从的泊松分布，以及当计数值较大时用来代替它的高斯分布。所以，(7.9)和(7.11)式对计数值的分布也是完全适用的，只要把其中的核衰变数n用计数N代替就可以了。所以，计数的高斯分布可以写成2"(7.22)-J211式中。2=M。在M较大时，。2也可以用某一次计数值N来近似计算。7.3 脉冲幅度的统计分布我们知道，核辐射探测器输出的脉冲幅度一般是正比于探测器入射粒子能量的。但实际上，最后我们获取的射线能谱，确有一个一定宽度的分布。这表明，探测器输出的脉冲幅度并不是完全确定的，是有涨落的。造成这种脉冲幅度涨落有很多方面的原因，并随探测器的不同而不仅完全相同，其中不少是统计性因素，需要按统计规律来处理。7.3.1电离的统计涨落n入射粒子在一定条件下在某探测介质中产生一对离子所需的平均能量，与入射粒子种类和能量关系不大，可以看作是一常数，称为“平均电离能”，用w表示。设粒子在介质中所损失的能量为反，则所产生离子对数的平均值为(7.23)实际上，即使氏相同，在探测器中所产生的离子对数n也会显示出某种统计性涨落。对此，可以采用统计涨落模型来讨论。一、泊松分布为了讨论问题方便，我们可以将介质中原子的电离，看作是由于入射带电粒子与原子轨道电子发生碰撞的结果。每次碰撞中，原子以一定的概率发生电离。假设带电粒子在介质中做了N次碰撞(N是个很大的数)，平均产生了历个离子对，则每次碰撞产生一对离子的概率是万/M不产生一对离子的概率是1一万/N。按照二项式分布，我们可以写出结果产生离子对数为n个的概率P(n)为N-n当Nf8,F/N-0,而Nw=F保持有限数值时，上述的二项式将过渡到泊松分布。PM=(7.24)离子对数n的涨落范围，可以用它的标准差。来表示。(7.25)相对涨落为OnIw,=-"J-J(7.26)nn<rrNEo(7.26)式说明，当粒子能量越大或平均电离能越小时，产生的离子对数将越多，电离的离子对数的相对涨落越小。我们在对式(7.11)的讨论时已经知道，当方220时，泊松分布就可以用高斯分布来代替。通常情况下，是个比较大的数。所以，尸()可以用正态分布来讨论P(i)=1U=，2出s2112=n(7.27)二、法诺因子事实上，带电粒子在介质中的电离过程比上述情况复杂得多，因而电离的涨落实际上也并不遵从泊松分布。法诺第一个对此做了较仔细的考虑，他导出电离涨落的方差为O2=Fn(7.28)式中F为法诺因子。按照法诺的推算，对气体，F介于1312°法诺的基本考虑是：假定入射粒子在介质中通过一系列的碰撞事件把能量传递给介质，在每次碰撞中，产