傅里叶变换在传染病模型参数估计中的应用.docx

大学本科毕业论文（设计）诚信承诺书学生姓名年级所学专业学号所在学院数学与信息科学学院学生承诺本人慎重承诺和声明：我承诺在毕业论文（设计）过程中严格遵守学校有关规定，在指导教师的安排与指导下独立完成所规定的毕业论文（设计）工作，决不弄虚作假，不请别人代做毕业论文（设计）或抄袭别人的成果。所撰写的毕业论文（设计）是在指导老师的指导下自主完成，文中所有引文或引用数据、图表均注解并说明来源，本人愿意为由此引起的后果承担责任。学生（签名）：2023年05月10日教务处制傅里叶变换在传染病模型参数估计中的应用摘要本文基于SIR模型对湖北C0VID-19疫情的发展过程进行了研究。首先，通过对SlR模型的公式进行简化，将研究的人群减少到两个，即感染的人/和恢复的人Ra),这样可以简化计算。其次，通过傅里叶级数去估计出模型中的重要参数夕，计算出基本再生数，通过再生数可以看出COVlDT9是否存在消亡的趋势。最后，通过拟合模型并预测了新冠疫情的发展，这给疫情防控给出了一定的建议。结果表明模型预测结果与实际结果存在一定的差异，是因为存在很多因素，但是通过一种新的估计传播病模型参数方法，这可以让傅里叶变换在传染病模型参数估计中有更深的发展。因此通过对疫情数据建立适当的传染病动力学模型，可以显示疫情的变化趋势并预测疫情的发展，可以为未来的疫情提供相应的理论支持。这可以使我们早日解决疫情带来的威胁并回到以前生活有一定程度的实际意义。关键谓1：SIR模型；COVID-19；傅里叶级数，傅里叶变换；基本再生数ApplicationofFouriertransforminparameterestimationofinfectiousdiseasemodelsAbstractThispaperstudiedthedevelopmentprocessofCOVID-19inHubeiProvincebasedonSIRModel.First,bysimplifyingtheformulaoftheSIRModel,thestudypopulationisreducedtotwopeople,namelyinfectedpeopleandrecoveredpeople,soastosimplifythecalculation.Secondly,Fourierseriesisusedtoestimateimportantparametersinthemodelandcalculatethebasicregenerationnumber,throughwhichwecanseewhetherCOVID-19hasatrendofextinction.Finally,thedevelopmentofthenovelcoronavirusepidemicwaspredictedbyfittingthemodel,whichgavesomesuggestionsforepidemicpreventionandcontrol.Theresultsshowthattherearesomedifferencesbetweenthemodelpredictionresultsandtheactualresults,becausetherearemanyfactors,butthroughanewmethodtoestimatetheparametersofthetransmissiondiseasemodel,thiscanallowtheFouriertransformintheinfectiousdiseasemodelparameterestimationfurtherdevelopment.Therefore,byestablishinganappropriateinfectiousdiseasedynamicsmodelonepidemicdata,thechangingtrendoftheepidemiccanbeshownandthedevelopmentoftheepidemiccanbepredicted,whichcanprovidecorrespondingtheoreticalsupportforfutureepidemics.Thiscouldgiveusadegreeofpracticalsignificanceinaddressingthethreatposedbythepandemicandreturningtoourformerlives.Keywords：SIRmodel;COVID-19;Fourierseries;Fouriertransform;fundamentalregenerativenumber目录1 .绪论11.1 研究背景11.2 研究目的与意义11.3 研究内容22 .傅里叶变换的基本原理及应用32.1傅里叶变换在国内外的发展历史32.2傅里叶变换的基本原理32.2.1傅里叶变换的定义42.2.2傅里叶变换的性质42.2.3离散傅里叶变换和傅里叶级数92.3傅里叶变换的应用102. 3.1傅里叶变换在处理信号方面中的应用103. 3.2傅里叶变换在其他方面中的应用113.传染病模型及其参数估计123.1 传染病模型123. 2传染病模型的发展历史和研究现状123. 2.1初期发展阶段123. 2.2中期发展阶段123. 2.3迅速发展阶段133. 3传染病几种常见的模型134. 4传染病模型参数估计154.傅里叶变换在传染病模型参数估计中的应用164.1 模型假设与建立164.1.1模型的假设164.1.2模型的建立164.2基本再生数204.3结果204.3.1感染率估计204.3.2数据拟合224.3.3实验结论235.总结24参考文献25致谢261 .绪论1. 1研究背景2020年3月20日，驻卡拉奇李碧建总领事在巴基斯坦商业纪事报发表题为COVID-19将对中国经济产生什么影响的署名文章，对新冠肺炎疫情爆发以来中国抗击疫情的总体情况、疫情发展趋势、相关经济指标变动情况以及未来中国经济走向进行了介绍和分析。通过查看国家统计局在3月16号发布的数据，2020年1-2月份，疫情对中国各类经济指标产生各不相同的强度的影响，工业生产、服务业生产下滑，市场消费和投资减少，采购经理指数(PMI)有所下降。尽管现在人类依靠着高度发达的文明和医疗水平，以及日益完善的卫生设施，有效地遏制住了一部分给世界人民带来威胁的传染病，不过，随着人口的快速增长和经济的迅速发展，一些新的传染性疾病，比如在2019年感染并致死了许多人的HlNl病毒和目前仍然让人闻风丧胆的艾滋病毒，又比如2019年12月低刚爆发的COVID-19让世界陷入了一片恐慌当中，这些都依然在侵害每一个人的生命健康安全。可见，了解和预防传染病对于每个国家都是至关重要的堡垒。当然，要想观察分析传染病的第一步就是通过建立一个恰当的数学模型，然后实现对传染病的有效建模，并计算出模型中的参数，这样可以了解传染病的变化规律。所以说参数估计问题在多个科学领域和学科中有着重要的作用。目前主流的参数估计方法有最小二乘法、蒙特卡洛方法、贝叶斯方法和伪极大似然估计方法等等。近几年来，傅里叶变换被广泛应用于傅里叶分析、微分方程理论和其他数学领域。由于传染病是一种动态现象，且其传播过程具有时变性和变异性，因此对传染病进行研究必须考虑其传播的复杂性和动态性。根据各省卫生健康委员会公布的有效数据并加以统计，通过运用模型并进行参数估计得到参数值，有助于研究传染病。本文将利用傅里叶级数去估计传染病模型参数并进行数值模拟。1.2 研究目的与意义传染病的流行不仅严重损害了世界各行各业的经济发展，而且会威胁每一个人的生命健康安全和影响人民的日常生活。尽管政府和有关部门发布并实施相关政策，但是还是很难完全使传染病消失。国内外的很多学者因此对传染病模型进行了详细的研究，也得到了很多对控制疾病的方法和建议，这对于早日恢复到以往生活具有重要的意义。传染病一直都是人类社会要攻克的一大重要挑战，在现代社会中，传染病的爆发和流行问题日益严重。传染病模型参数估计是研究传染病流行问题的重要方法之一，对于有效的遏制传染病的流行和预测传染病的趋势具有非常重要的影响。傅立叶变换是一种非常重要的数学工具，在许多领域中表现出了普遍的适用性。在传染病模型中，采用傅立叶变换进行参数估计是一种新思路和方法。本文旨在探讨傅立叶变换在传染病模型参数估计中的应用，并通过实验验证其有效性，为传染病的管制和预测提供不一样的思路和办法。1.3 研究内容本文主要研究的内容就是通过对2019年在湖北爆发的新型冠状病毒肺炎进行建模,然后根据湖北疫情收集到相关的数据，运用傅里叶级数去估计出模型的参数，计算出基本再生数，判断COVlDT9是否将在湖北继续流行。最后，对模型进行数据模拟，并针对COVID-19给出了实质性的分析和建议。第一章：绪论。一开始介绍了新冠对中国的负面影响，包括经济方面和人民生活方面的影响，然后介绍了傅里叶变换在传染病模型参数估计中的具体应用，这就是本文的研究背景；其次介绍了本文研究目的与意义；最后描述了本文的研究内容。第二章：傅里叶变换的相关内容描述。首先介绍了傅里叶变换在国内外的发展历史,然后介绍了傅里叶变换的基本原理，包括定义、性质和其衍生的定义和公式，最后讲述了傅里叶变换在信号和其他领域中的应用。第三章：传染病模型及其参数估计的介绍。首先介绍了传染病和传染病模型的定义;其次介绍了传染病模型的历史发展和现状研究，包括初期发展、蓬勃发展和迅速发展；最后介绍了传染病四种基本模型的定义和公式，即SI、SIR、SIRS、SEIR模型，还有传染病参数估计的理论。第四章：通过模型和实证分析去说明傅里叶变换在传染病模型参数估计中的具体应用，收集湖北疫情的相关数据结合模型，然后用傅里叶级数去估计模型的参数，最后计算出基本再生数，并拟合了COVID-19的病例数，在结果中给出模型的缺陷和理论建议。第五章：总结。通过总结全文的内容和实证分析结果，给出控制疫情发展的相关建议，并指出实证分析中的不足之处及在后面要改进的方向。2.傅里叶变换的基本原理及应用1 .1傅里叶变换在国内外的发展历史JeanBaPtiSteJOSePhFoUrier(1768T830)最早提出了傅里叶变换，他是法国的一名数学家和物理学家，所以我们就用他的名字去命名这个变换。他热衷于热传递的研究，并发表了一篇论文在1807年的法国科学学会上，使用正弦曲线去描绘温度的分布，然而他的文章里在当时拥有一个争议性的理论：任何连续周期信号可以由一组对应的正弦曲线组合而成。傅里叶的分析向当时的数学家所信奉的数学理论提出了挑战。十九世纪初期，许多出色的法国数学家，包括拉格朗日、拉普拉斯等都不能接受傅里叶的这一说法。尽管有人反对傅里叶的方法，但许多学者(包括数学家SophieGermain和工程师ClaudeNavier等)开始把傅里叶的方法推广应用到热分析以外的领域上。第一次使用“函数”一词来表示一个包含多种参数的表达式的科学家是欧拉，例如:y=(x)o所以，我们将他誉为微积分应用在物理领域的开创者之一。接着，他提出了用一个实变量函数去表达傅立叶级数系数的方程；用三角级数来描述在弹性媒介中离散声音的传播，发现了某些函数可以用余弦函数之和去表达。不过，这个方法并没有引起太多科学家的重视，主要是这个方法的计算机实在是太大了。直到1965年，库利和图基在计算机科学上发表著了机器计算傅