微专题34 函数中重要思想方法的应用（解析版）.docx

微专题34函数中重要思想方法的应用【题型归纳目录】题型一：利用函数的定义和性质题型二：换元、消元和主元思想题型三：数形结合思想题型四：分类讨论思想【典型例题】题型一：利用函数的定义和性质例1.存在函数f(x)满足，对任意XeR都有()A./(cos2x)=sinxB.f(x2-2x)=x-lC./(x2+l)=x+lID.f(cos2x)=x2+x【解析】解：对于A,令X=；得/(0)=孝；令X=-?得/(0)=一1，错误；对于B，X2-2x=/(.1),则X=1±Jl+/.故/=771.1).所以f(x)=Jl+X。-1)符合题意,故正确；对于C,令A"=1,得/(2)=2；令X=T,Wf(2)=0»错误；对于。，令彳=军，得/(0)=二+工：令X=-X,得/(0)二三匹，错误.41644164故选：B.例2.已知函数/(幻=卜一:°,不等式/2)+/(1-0r)<0对任意的xR都成立，则实数。的取值范围-X,>0()A.(0,4)B.(To)C.0,4)D.0,4【解析】解：作出/(X)的图象如图则函数/(x)为奇函数，且为减函数，则不等式f(ax2)÷(l-r)<0等价为f(ax2)<-f(-ax)=f(ax-1),即ax2>ax-,即OV2-or+1>0恒成立，若=0,则不等式等价为1>0,不等式成立，若0,若or?-r+>o恒成立，则满足a>0=cr-4«<0a>0，即0<<4,0<<4练上Q,<4,例3.存在函数/(x)满足:对任意的xR都有(A./(sinx)=Sin2xB./(sinjc)=x+1C./(cosx)=cos2x+lD./(cosX|)=2sx+1【解析】解:对于A选项:当X=X或X=纭时，sinx=-而sin2x=±且，不符合函数定义;3322对于B选项:当X=O或工=4时，sinx=0,而x+l=l或不+1,不符合函数定义;对于D选项:当尤=工或X=主时，Icos%I=,而2cosx+l=2或0,不符合函数定义;332对于C选项：÷r=cosx,则/")=+,显然正确,故选：C.变式1.设函数/(幻=加(1+|曰)+/，则使得不等式/(x)>/(2x-1)成立的取值范围是()B.+00)C娟)d.(F,-g)u4÷o°)【解析】解：函数/(X)=加+x)+d”的定义域为关于原点对称,又f(-x)=/«(1+1-XI)+elxl=(1+x)+e1a1=f(x),所以函数X)为偶函数,当X.0时，/(x)=(1+x)+ex,则r(x)=+>oSo,-)上恒成立，x+l所以函数/(X)在0,+00)上单调递增，故不等式/(x)>/(2x-l)等价于/(Ix)>/O2x-l),所以IXl>2x-l,即V>(2-1)?,化简可得(3x-l)(X-I)V0,解得J<x<l,3所以使得不等式/(x)>(2x-l)成立的4取值范围是(g,l).故选：C.变式2.已知y=(x)是定义在R上的奇函数，且满足/(x+3)=(x-3),当x(0,3)时，/(x)=2v-l,则/(2020)=()3 3A.-B.-C.-3D.34 4【解析】解：由题意可知f()=-V),因为/(x+3)=/(x-3)BPf(x+6)=/(x),故函数的周期丁=6,又当XG(0,3)时，/(x)=2v-l,贝J)(2020)=/(-2)=-/(2)=-3.故选：C变式3.(多选题)已知函数则下列X的范围满足不等式/(2+3)>“32-3)的是x,x.l()333A.(-2,1)B.(-J)C.(-不2)D.(-1.-)222【解析】解：因为函数)=<p1."<l画出函数图象如图所示：lx,x.J所以函数f(X)在(Yo,g0)上为增函数，由f(x+X+3)>f(3x3)>x2÷X+3>3x23,即2-x-6<0解得_3<xv2,2故选：BCD.变式4.已知函数的最小正周期为2,当tO,2时,/(x)=-x2+2x+3.若-2018,2020,则满足/(X).4的所有X取值的和为2019.【解析】解：在函数/(%)的一个周期内,即x0,2时,f(x)=-X2+2x+3=-(x-l)2+44,又因为/(x).4,所以/(»=4,且当且仅当x=l时取得/(1)=4.在1-2018,2020内共有2019个周期，且每个周期内的X取奇数时的函数值为4,故所有的X值之和为：(2017)+(-2015)+(T)+l+3+2017+2019=2019.故答案为：2019.变式5.已知正实数二,满足e=i,以勿+1)=(e是自然对数的底数)，则S=【解析】解：由题可知=d,Qn+l)=e2=>elne=/,又/()=xe'在(0,E)单增，则/()=jlne3),则=lne，故a-lne-e2.故答案为：题型二：换元、消元和主元思想例4.对任意xwR,不等式21SinXl+1SinX-。恒成立，则实数的取值范围是(A.&i1B.T融1C.T釉2D.一2釉2【解析】解法1:(化为锅底函数)设f=sinX,则原不等式可化为+.令/十l+l"+l”,则(O)=IaI，从而解不等式.M可得一掇31.故选B解法2:(特殊值法)当=2时，因为2SinXl+1SinX-2=2-SinX+2SinXl朦+1SinXl2,当且仅当SinX=O时，等号成立.此时21SinXl+1SinX-2|.4不恒成立，所以=2不合题意，可以排除C、D.当。二一1时，因为2SinXl+1SinX+l=l+sinx+2sinx鹿+1SinXl1,当且仅当SinX=O时，等号成立.此时21sinXI+1sinX÷11.1恒成立,所以=T符合题意，可以排除综上所述，B正确.故选：B.例5.设不等式对所有的X由1,2均成立，则实数的取值范围是(A.av-15或>47B.a<-l5C.>47或OVaVlD.a<-150<<-64【解析】解：当x=2,不等式显然要成立，即42-0>31,解得<-15或>47,当xl,2时，令E=2'e2,4,则4'=e4,16,2x+3=8rl6,32,所以|4"一。|>|12川|等价于|一。|>&一1,当0>47时，即一产>切-1在e2,4恒成立，即>/+&_1=h(t),即求力(F)=/+81的最大值，h(t)ma=h(4)=47,所以>47；当vT5时，r2-a>8-l2,4恒成立，即V/一8/+1=/(r),即求/(r)="-8f+l的最小值，/(r)rt,rt=f(4)=-15：综上：4v-15或>47,故选：A.例6.函数f(x)=G3+J12-3x的值域为()A.1,小B.1,3C.I,D.1,2【解析】解：对于/(x),有3融4,则成IjC一31,令工-3=si仇朦出£,2则/(X)=JX-3+,3(4-x)=sin+3(1-sin2)=Sin6+并cos=2sin(6+).-»+-2，336a-三in(<9+-)1,1域sin(6+匹)2.233函数f(x)=d=+J12-3x的值域为1,2故选：D.变式6.函数y=COSx-sin?1-cos2刀+1的值域为_-,2_；函数/(x)=阴二的值域为.442+sinX【解析】解：函数y=Cosx-Sin2-s2x+=cosx-sin2x-cos2x+sin2x+=cos2x+cosx+=-(cosx-)2+2，当8S4=g时，)嬴=2,当8SX=T时，ymin=-故函数的值域为-4,2.4函数fx=-曰”,整理得y=-空二>转换为2y+ysinX=3-sinx，2+sinx2+sinx整理得SinX=2型，+y由于一掇Mnx1,7，解不等式组得：；轰力4,32)整理得3-2)，_+y7故函数的值域为号,4.故答案为:一,2.,4.变式7.已知函数“幻=SinA：8SX-SinX-CoSX,x-y,6>,若f(x)的值域为-1,1,则。的取值范围是_。_【解析】解：设SinX+cosx=-,则sinxcosX=,2f2_1则y=r=-(r-l2)-l.-l.22当y=l时，则/=一1,x-2k11-x=2k11-11：2当y=-l时，则f=l,得x=2r-或x=2Zr;又若/(x)的值域为-1,1,则。的取值范围是O,11.故答案为：0,11.变式8.对于满足0殁S4的一切实数，不等式Y+p>4x+p-3恒成立，试求X的取值范围.【解析】解：X2+px>4x+p-3,即为P(X-I)+f一4x+3>0,可设/(P)=P(XT)+12-4x+3,0三W4,由题意可得/(0)>0,且/(4)>0,即f-4x+3>0,且x2-l>0,-r411fx>3!cv<l可得Jx>ltx<-l则X的取值范围是(70,-I)D(3,+oo).故答案为：(-00,-I)U(3,+).变式9设不等式|2'-。|<|5-2、|对所有不1,2成立，求实数"的取值范围.【解析】解：设1=2，,则，2,4,故IfilV5-”对所有f2,4成立,t-a<5-tf(t-a)2<(5-r)2,W(2t-a-5)(5-a)<0,对给定实数，(r)=(2r-a-5)(5-a),则/Q)是关于，的一次函数或常值函数，f2,4,故加)<0等价于僚W解得3<v5,l(4)=(3-)(5-)<0故实数的取值范围为(3,5).题型三：数形结合思想例7.若不等式(x-Z?)Sin(Zrx+马,0对x-l,1恒成立，则+Z?的值等于(62 5A.-B.-C.1D.23 6【解析】解：当一啜W-1时，Sin(g+马,0,666-3时，sin(+-).0,666"j啜Ik或一强k1时，Ix4I5.0,当翘Jc时,xa|,0,6666设*)=x-6,则f(x)在(7),4)上单调递减，在(,÷<x>)上单调递增，且/(x)的图象关于在线=对称，RG)=吟=O，乂/(：)=1：-：1一人=0，故6=.O632,a+b=-6故选：B.例8.已知实数”,b满足等式2019"=2020fc,下列五个关系式：OV力va；®a<h<0；OVaV