微专题18 函数的应用（解析版）.docx

微专题18函数的应用【方法技巧与总结】知识点一、几种常见的函数模型1>一次函数模型：y=kx+b（k,b为常数，4WO）2、二次函数模型：y=a2+bx+c（4,b,c为常数，0）3、指数函数模型：yba+c（4,b,c为常，数，。工0,。>0且。工1）4、对数函数模型：y=/JilogrtX+n（?,为常数，m0,a>0且l）5、哥函数模型：y=ax"+b为常数，工0）6、分段函数模型：y=v+了<阳cx+a,xm知识点二、解答应用问题的基本思想和步骤1、解应用题的基本思想2、解答函数应用题的基本步骤求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际共口TT乐上述四步可概括为以下流程：实际问题（文字语言）=数学问题（数量关系与函数模型）=建模（数学语言）=求模（求解数学问题）=反馈（还原成实际问题的解答）.【题型归纳目录】题型一：几类不同增长的函数模型题型二：二次函数模型题型三：分段函数模型题型四：分式型函数模型题型五：对数函数模型题型六：舞函数模型题型七：利用给定函数模型解决实际问题【典型例题】题型一：几类不同增长的函数模型例1.某地西红柿从2月I日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本。（单位：元/10Okg）与上市时间，（单位：天）的数据如下表：时间，50120150种植成本026005002600由表知，体现。与Z数据关系的最佳函数模型是（）A.Q=at+bB.Q=at2+ht+cC.Q=atD.Q=HOgV【答案】B【解析】由提供的数据知，描述西红柿种植成本。与上市时间/的变化关系函数不可能是常数函数,也不是单调函数；而A,C,D对应的函数，在q0时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，所以，选取B,故选：B.例2.已知三个变量,力，为随变量X的变化数据如下表：X12468241664256>214163664%O122.5853则反映y,%，y3随X变化情况拟合较好的一组函数模型是（)A.yi=x2,%=2*,y3=Iog2xB.=2x,y2=x2fy3=Iog2xC.y=Iog2x,y2=x2fy3=2xD.y=2',y2=Iog2x,y3x2【答案】B【解析】从题表可以看出，三个变量%，%，必都随X的增大而增大，但是增长速度不同，其中变量凶的增长呈指数函数型变化，变量力的增长呈辕函数型变化，变量力的增长呈对数函数型变化.此外，也可以使用第五组数据代入检验得到答案.故选：B.例3.下列函数中，当X很大时，y随X的增大而增大速度最快的是()A.y=-exB.y=1001nxC.y=100xD.y=1002jf【答案】A【解析】由题意，当“很大时，指数函数增长速度大于一次函数的增长速度，一次函数的增长速度大于对数函数的增K速度，又e>2,所以当X很大时，)'随汇的增大而增大速度最快的是y二+e'故选：A变式1.下面对函数*)=°g/,go)=(；)与心)=/在区间(。，田)上的衰减情况的叙述正确的是A. /(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，MX)的衰减速度逐渐变慢B. /(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，Mx)的衰减速度逐渐变快C. /(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，MX)的衰减速度逐渐变慢D. /(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，MX)的衰减速度逐渐变快【答案】C【解析】由函数)=°g;",g()=(;)与心)=；3在区间(o,y)上的图象以及性质知函数/(X),g(x),MX)的衰减速度均逐渐变慢，故选:CX-2-10123y0.240.5112.023.988.02则X,y的函数关系与下列各类函数最接近的是（其中*b为待定系数）（）A.y=a+bxB.y=bxC.y=ax2+bD.y=-X【答案】B【解析】根据题表中的数据描点如图所示.yo对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，JA不成立；C是偶函数，x=±l的函数值应该相等，,C不成立；*/X=OUt,2无意义，.d不成立；X对B,当x=0时，y=l,当x=l时，y=b=2O2,经验证它与各数据比较接近.故选：B.题型二：二次函数模型例4.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离'在某种路面上'某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速Mkmzh)满足下列关系：S=+急6<5.<8(为常数，且N),做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中仁,14<52<17S一二S210SO4070求的值；6<+4<85749F14<+<17IO4(2)要使刹车距离不超过12.6m,则行驶的最大速度是多少？2In496<5.<8【解析】(1)观察图象知，*=?+4,多=<+:，而M'y510414<s2<17c955<<，14因"N,于是得=6,所以及的值为6.(2)由(1)知，5=+-,当s126时，+12.6,整理得：(v+84)(v-60)0,5040050400解得-84酎60,显然y>0,因此0vu60,即v=60,所以行驶的最大速度是60k11Vh例5.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收40()X-r20<X<400益(单位：元)函数为R(X)=2'-一，其中”是仪器的产量(单位：台)80000,X>400(1)将利润/()(单位：元)表示为产量X的函数(利润=总收益一总成本);(2)当产量X为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？【解析】(1)依题意，总成本为20000+100x,当0400时，/(x)=400x-x2-I00x-20000=-x2+300x-20000,当X>400时，/(x)=8(XXX)-100x-2(XXX)=600Oo-100X,八一/+300x-20000,0400-综上所述2,其中xN:60000-100x,%>400(2)当0x400时，/(x)=-1X2+300x-20000=-(x-300)2÷25000,当x=300时，/(x)m=25000；当x>400时，f(x)=600700X是单调递减函数，.(x)=60000-100x<(400)=20000<25000,当=300时，/(x)mu=25000.答：当产量X为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元.例6.某景区要建一个游乐场(如图所示)，其中A。、CD分别靠现有墙DM、DN(墙。M长为27米，墙。N足够长)，其余用篱笆围成.篱笆。石将游乐场隔成等腰直角ACEO和长方形ADKe两部分，并在三处各留2米宽的大门，已知篱笆总长为54米，设AB长为X米，面积为>平方米.(1)求y与X的函数关系式及X的取值范围；(2)当AB多长时，游乐场的面积为320平方米？【解析】(1)SaE=TX2,因为48长为X米，所以DE=CK=X米，因为篱笆总长为54米，三处各留2米宽的大门，所以应：=54-工-2(工-2)+2=54-3工+4+2=(60-3力米，fx>O由ZW氏为27米，墙ON足够长，可知kS解得：llxv20,0<60-327所以长方形ADEB的面积为BEAB=(60-3x)x=-3+60x,所以y=,2-3f+60x=-22+50,11X<20；22(2)令y=320平方米，即-MY+60x=320,解得：x=16或8,2因为llx20,所以X=I6,所以当48长为16米时，游乐场的面积为320平方米.变式3.为节约能源，倡导绿色环保，某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用，管理这些电动观光车的费用是每日120元.根据经验，若每辆电动观光车的日租金不超过5元，则电动观光车可以全部租出；若超过5元，则每超过1元，租不出的电动观光车就增加2辆.为了便于结算，每辆电动观光车的日租金X（元）只取整数，并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用），（元）表示出租电动观光车的日净收入（即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得）.求函数N=/（幻；（2）试问当每辆电动观光车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解析】（1）当x5时，y=60x-120,令60x-120>0,解得x>2,xN*,.3,.3x5,xN',当%>5时，y=60-2（x-5）x-120=-2x2+70x-120,令-2f+70x-120>0,其整数解为：2x33,eN",所以5vx33,XGN",所以60.I20,3x5,xeN"-2x2+70x-120,5<x33,xN*（2）对于y=60x-120,3x5,xwN*,显然当x=5时，ymax=I8O7,对于y=-2x2+70x-120,5<x33,xN*,因为y=-2（x-17.5）2+492.5,所以当x=17或18时，ynw=492元，492>180,考每辆电动观光车的日租金定在17或18元时，才能使日的净收入最多.题型三：分段函数模型例7.第二十二届世界杯足球赛将于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔举行，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行.本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西、。罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱.即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起.世界杯，是球员们圆梦的舞台，是球迷们情怀的归宿，也是商人们角逐的竞技场.某足球运动装备生产企业，2022年的固定成本为100o万元，每生产X千件装备，需另投入资金R（X）（万元）.经计算与市场X2+0v,0x<80评估得Ra）=<3052一27504+10000，调查发现，当生产10千件装备时需另投入的资金,x80XR（Io）=2100万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2022年最多能售出150千件.（1）写出2022年利润W（万元）关于年产量X（千件）的函数；（利润=销售总额-总成本）（2）求当2022年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？【解析】（I）由题意知，当X=IO时，R（IO）=IO2+1