微专题2-1 导数在研究函数中的应用（四大核心考点）解析版.docx
做专题2-1导数在研究函数中的应用(四大核心考点)【考点目录】考点一：利用导数研究函数的最值和极值考点二，利用导数研究曲线上某点切线方程考点三：利用导数研究函数的单调性考点四：函数在某点取得极值的条件题型解密考点一：利用导数研究函数的最值和极值一.选择题(共1小题)1. (2022秋黄浦区校级月考)若/(X)在区间SM内有定义,且x°g,b),则"八Xo)=0”是乜是函数/(X)的极值点”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件【分析】根据极值的概念，导数的几何意义即可求解.【解答】解：由/(x0)=0不一定能得到%是函数/(X)的极值点，反例/(x)=3,/,(O)=O,但X=O并不是/(x)的极值点，反过来：X0是函数/(x)的极值点也不一定能得到f,(x0)=0,反例/()=,x=0为f(x)的极小值点，但f(x0)不存在,./(%)=0”是是函数/(x)的极值点”的既非充分条件也非必要条件，故选：D.【点评】本题考查值的概念，导数的几何意义，属基础题.二.填空题(共10小题)2. (2023秋徐汇区校级期中)己知函数/(x)=-f+3+,若存在三个互不相等的实数小，p,使得/(m)=/()=/(P)=2024,则实数。的取值范围是_(2022,2026)【分析】由题意，对函数/(x)进行求导，利用导数求出函数的单调区间及极值，再根据题意列出不等式，即可得解.【解答】解:已知/a)=-/+?+。，函数定义域为H,可得/'(x)=-3/+3，当XCT时，,(x)<0f/(x)单调递减；当T<x<l时，(x)>O,/(x)单调递增：当x>l时,(x)<0,f(x)单调递减，所以当X=-I时，函数“X)取得极小值，极小值/(T)=-2,当X=I时，函数/(x)取得极大值，极大值/(1)=2+,若存在三个互不相等的实数小，p,使得/(M=(")=/(p)=2024,此时"2<2024,a+2>2024解得2022vV2026,则实数。的取值范围为(2022,2026).故答案为：(2022,2026).【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和运算能力.3. (2022秋奉贤区期末)已知某商品的成本C和产量4满足关系C=50000+200夕，该商品的销售单价P和产量g满足关系式P=24200-1g2,则当产量。等于200时,利润最大.【分析】将利润表示出来，利用导数求出函数最值即可.【解答】解：每月生产g吨时的利润为/(夕)=(24200-(q2)q-(50000+200g)=-"+2400(50000(0.0).由/'(，)=-/+24000=0，解得夕=200或一200(舍去)，在0，+8)内只有一个点q=200使f,(q)=0,.它就是最大值点，且最大值为/(200)=XZOO,+24000X20050000=3150000(元).每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.故答案为：200.【点评】本题考查导数的应用，属于基础题.4. (2023秋松江区校级期中)函数/(x)=2f-l的极值点为Q.【分析】求出函数的导数，通过导数为0,即可求解函数的极值点.【解答】解：Vf(x)=2x2-lfff(x)=4x>0=>x>0./(x)在(-,0)上是减函数，在(0,+8)上是增函数,.当x=0时，函数取得极小值，无极大值.故答案为：0.【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值点，属于中档题.5. (2023春徐汇区校级期末)已知X,y(0,+8),满足2x+y=2,则x+Jx'+/的最小值为【分析】利用不，歹的关系将)，换成关于X的表达式，然后利用导数判断函数/(x)的单调性，进而求得式子最小值.【解答】解：由x>0,y=2-2x>0t解得0<x<l,则X÷yx2+y2=x+yx2+(2-2x)2=x+y5x2-8x+4=/(x),则/(x)=l+r,I=令/a)=。，解得=3,5x2-8x+45则可得Xw(0,)时，,(x)<0,XeeI)时，(x)>0,所以x=(,y时，函数/(x)取得极小值，也是最小值(+5×()2-8×+4=I.故答案为：5【点评】本题考查函数最值求法，属中档题.6. (2023春金山区校级期末)函数/(x)=史在(0,2上的最小值为_e_.X【分析】函数/(X)=交，(0,2,利用导数的运算法则可得广(X),研究函数/(X)的单调性即可得出X结论.【解答】解：函数/(x)=C,(0,2,XT(X)=华辿，f(1)=0,XX(0,1)时，f,(x)<O,函数“X)单调递减；x(l,2时，f,(x)>Ot函数/(X)单调递增.x=1时函数/(X)取得极小值即最小值，f(1)=e.故答案为：e.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7. (2023春杨浦区校级期中)已知/(x)=F,a>0,对于数列%,有q=0,+1=),若存在常数M>0使得对于任意的N*,都有册、M,则的取值范围是_(0占一e【分析】由题意，存在常数材>0使得对于任意的cN*,都有*.可得到的，解出册，/竺，a从而得到分离参数。，然后用导数研究函数的最值，从而求出。的取值范围.【解答】解：.存在常数M>0使得对于任意的N*,都有勺,4+卜，又1=ae°a(«>0)».aea°.,M,即akIn-.:.M=In-,.”WM>0).ae令f()="(x>0)，f,(x)=J».,.f(x)在(0,1)上单调递增,在(l,+)上单调递减，(xU=-0<,-!-.ee故答案为：(0,-.e【点评】本题考查数列的递推式和利用导数研究函数的最值，考查了转化思想和计算能力，属中档题.8. .(2022秋长宁区校级期末)己知产为直线x+2y-l=0上的一个动点，0为曲线42/N-X3+2/+=o上的一个动点，则线段尸。长度的最小值为_布一【分析】先把曲线转化为y=2-g+止+1,判断出线段的最小值即为与y=+；平行的直线与4J2y-3+2+l=0相切时，两平行线间的距离.利用导数求出切点坐标，利用点到直线的距离公式求解.,"+2/+1=0,【解答】解：直线x+2y-l=0可化为：y=x+1.t对于曲线4d2*当x=0时，代入得1=0不成立，所以X=O,寿+1'k-3+：平行的直线与所以4父一2ry-3+2/+1=0可化为y=2-X+导数为yt=4-l-,所以线段尸。的2X4-2。-+2/+1=0相切时,两平行线间的距离.设切点0(m)，由题意可得:4/n-2n=2m1m'2I1,m+r+122m14m=Im-2I1n=2mm+r+122m1解得：,22或.3.立42m=2aHw=3+4综上所述：线段尸。长度的最小值为?.故答案为：5.【点评】本题考查曲线的切线，考查点到直线的距离公式，考查线段长度最值转化为切点到直线的距离最值的思想方法，属于中档题.9. (2023春松江区校级期末)已知X=Xl和X=w分别是函数/(x)=2优-夕2(4>0且。口)的极小值点和极大值点.若凡吃，则4的取值范围是e【分析】由已知分析函数/'(x)=2("z-ex)至少应该两个变号零点，对其再求导f,x)=2ax(lna)i-2et分类讨论0<“<1和。>1时两种情况即可得出结果.【解答】解：对原函数求导/(力=2("7白-夕)，分析可知：/(x)在定义域内至少有两个变号零点,对其再求导可得：f,(x)=2/(EZ)2-Ie,当时，易知/(X)在R上单调递增，此时若存在/使得/(仆)=0,则r(x)在(-OO,小)单调递减，(/，+8)单调递增，此时若函数/(X)在X=%和X=W分别取极小值点和极大值点，应满足不满足题意;当0<<l时，易知/“(X)在R上单调递减，此时若存在/使得/(见)=0,则<x)在(Yo,%)单调递增，(,+8)单调递减，且XO=/空“一J,(Ina)此时若函数/(X)在X=再和X=W分别取极小值点和极大值点，且再，故仅需满足T(Xo)>O,ee-e-eBP：->elog,-=alna<=Inalna<In=>Ina<1-In(Ina)2>Inaa(Ina)2(Ina)2(Ina)2Ina解得：-<a<ef又因为OVaV1,<t?<1ee综上所述：。的取值范围是d,i).【点评】本题主要考查利用函数的导数研究函数极值点问题，考查运算求解能力，属于中档题.10. (2023春浦东新区校级月考)已知/(x)=阮a/+。，若对任意工，都有/(0,则实数。的取值范围是_2_+00)_.【分析】/(X)=加X-Or2+”,xl,+<»),可得,(x)=1._2qx,对4分类讨论，研究函数/(x)的单调X性，结合已知条件：对任意X.，都有/(戏,0,即可得出实数的取值范围.【解答】解：f(x)=Inx-ax1+,xl»+),af,(x)=-2ax,X当4.0时，f,(x)>0,函数/(x)在xl,+8)上单调递增，f(1)=0,.x>0时，/(x)>0,不满足题意，舍去.当>0时，ff(x)=必"丝，X>1,即0<<1时，f,(x),.O,函数/(X)在xel,+«>)上单调递增，同上，舍去.2a20<.1,a.；时，可得函数/(X)在1，总)上单调递增,在电,+8)上单调递减,”=旧时,函数/a)取得极大值即最大值，.,.XF,O>化为：ln1d)+2a1.0>函数g（八）=加(2)+2-1在a.；时单调递增，g(；)=0，因此对任意都有/(x)0,则实数的取值范围是g,+oo).故答案为：g,+8).【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及其最值、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11. (2023春宝山区校级期中)已知正实数X,y满足加r=y/+/砂，则歹-"'的最大值为bt1.【分析】由正实数X,j,JSInx=yex+Iny,变形为二加二=Xe",eyIn-=xex>令/(x)=Xex(0,+oo),yyy利用导数研究函数的单调性可得加j=x,y=卞,可得y-e-=子，令g()=?,(0,+),利用导数研窕函数的单调性与极值即可得出结论.【解答】解：由正实数X,歹满足/“X=泗”,变形为三加色=xe"yyIn-.eyln-=xex.y令/(x)=X«r,x(0,+oo),ff()=(+)ex>0f.函数/(x)在XW(0,+oo)上单调递增.y令g(x)='1.x(0,+),e,/、2Xg(x)=h'.
