微专题14 幂函数与对勾函数（解析版）.docx

微专题14塞函数与对勾函数【方法技巧与总结】知识点一、塞函数概念形如尸犬的函数，叫做幕函数，其中为常数.知识点诠释：幕函数必须是形如卢Xa的函数，累函数底数为单一的自变量X,系数为1,指数为常数.例如:y=3xy=W+I,=(-2)2等都不是累函数.知识点二、嘉函数的图象及性质1、作出下列函数的图象：£(1) y=x；(2)y=x；(3)y=x2；(4)y=xi；(5)y=X3.知识点诠释：箱函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的事函数在(0,”)都有定义，并且图象都过点(1/)；(2) >O时，哥函数的图象通过原点，并且在区间0,+)上是增函数.特别地，当>l时，幕函数的图象下凸；当OVaVl时，幕函数的图象上凸；(3) <0时，易函数的图象在区间(O,E)上是减函数.在第一象限内，当.I从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近)，轴正半轴，当X趋于+8时，图象在工轴上方无限地逼近X轴正半轴.知识点三、对勾函数的图象及性质U)=wx+*(a>O>O)当%X),2人*)5+卜2而(当且仅当OX=身当“<0,eA)I"+J)W2Z所以得到顶点坐标A©2而XB增,-漏)(1)定义域：(-O,0)D(O,+00);(2)值域：(-00,-2«D2+8)；(3)奇偶性：奇函数，函数图象整体呈两个“对勾”的形状，且函数图象关于原点呈中心对称，即f(x)+f(-x)=O;(4)图象在一、三象限，当x>0时，丁=奴+2.25/拓，(当且仅当工=/2取等号)，即/()在XNaX=仁时,取最小值2J拓；由奇函数性质知：当x<0时，/3在X=-Qg时,取最大值一2疑；当v,v时,类同.【题型归纳目录】题型一：器函数的定义、性质与图像题型二：对勾函数的图象及性质【典型例题】题型一：骞函数的定义、性质与图像例1.已知函数八4)=卜产°后")，若函数/O)的值域为R,则实数。的取值范围为()x(x<tz)A.(-1,0)B.(-l,0C.-l,0)D.(-1,0【答案】D【解析】函数丁=-正在3,+8)上单调递减，其函数值集合为(-叫-诟,当。>0时，y=?的取值集合为o,+oo),/()的值域(-ool30,÷)hR,不符合题意,当w时，函数y=V在(-8M)上单调递减，其函数值集介为(/,+8),因函数"X)的值域为R,则有-蚯/,解得To0,所以实数。的取值范围为-l,0故选：D例2.已知wR,则函数K）=告的图像不可能是（）【答案】A【解析】根据/"）二一二可知x2+l>0,所以当x>0时，xtt>O,即八外>0,故选项A错误，而X2+1当为其他值时，B,C,D均有可能出现.故选：A例3.已知辕函数y=（）的图象经过点尸（4,；则>二力的大致图象是（）【答案】A【解析】设四函数为Fa）=X",因为幕函数y=()的图象经过点Pd5)所以4二；,即220=2，解得a=-,2所以/()=XJ故y=()=2=-r,定义域为(0,+8),故D错误；x3定义域不关于原点对称，y=(x)为非奇非偶函数，A,B错误；f则函数的定义域为(0,+),所以排除CD,因为=-g<O,所以f()=/在(0,a)上为减函数，所以排除B,故选：A例4.已知黑函数y=(x)的图象过点(2,当1,则下列关于/5)说法正确的是()A.奇函数B.偶函数C.在(O,+)单调递减D.定义域为Oa)【答案】C【解析】设幕函数y=f()=,wR,由题意得：2。=立,。=一3，42(X1+22_X1+x2+2yxx2I2JJ=4X1+X22-x1-x224当x4时，/()/(4)=4=2,故C正确,当心“>0时，fM1>2(好用<。,4又f(x)O,所以/叫当斗D正确.故选：ACD.例6.基函数/(x)=(>-3m+3)EfH$在(o,+g上单调递减，则机的值为【答案】2【解析】因为函数/(%)=(>-36+3)/"6是事函数，则有加2-3wh3=1，解得TM=I或w=2,当帆=1时，函数/O)=X在(0,y。)上单调递增，不符合题意，当帆=2时，函数/(%)=N”在(0,供)上单调递减，符合题意.所以小的值为6=2故答案为：2例7.已知幕函数/(x)=-2"-3(PeAr)的图像关于),轴对称，且在(0,+8)上是减函数，实数满足(/-1户<(3+3)匕则。的取值范围是.【答案】1<«<4【解析】丁某函数f(x)=x*22(ptN)在(0,+8)上是减函数,p2-2p-3<0,解得7<p<3,.pwN”,p=l或2.当P=I时，/(x)=为偶函数满足条件，当p=2时，/(力=元3为奇函数不满足条件，则不等式等价为(/_卢<(34+3)?，即(/一1尸<(3«+3)3>“力=，在R上为增函数，."<3+3,解得：l<a<4.故答案为：IVaV4.例8.已知函数/(力=(疗-7-1)/*'是凝函数，对任意的,，x2e(0,+),且X产电，满足，(：)；(/)>0,若mbR,且f()+f(3<0,则+bO(填“>”"=”或"V").【答案】<【解析】因为函数/(x)为事函数，所以MT-1=1,即/7-2=0,解得川=-1或?=2.当旭=1时，/(x)=p-；当m=2时，/(x)=x3.因为函数/()对任意的4，2(,÷),且mw,满足/(“)""*)>0,X1X2所以函数/(刈在(0,+8)上单调递增，所以f(力二丁，(-x)=(-x)3=-,所以函数"二/是奇函数，且为增函数，因为“)+S)<O,所以"G<-（八）=(询，所以4V-/?,即+b<O.故答案为：<.例9.已知累函数f=(2>一5加+3)犬的定义域为全体实数R.(1)求/(力的解析式；(2)若/(x)>3x+"l在卜1上恒成立，求实数&的取值范围.2【解析】(1)./(")是哥函数，24-5加+3=1,."5或2.当阳=5时，/()=R,此时不满足/(x)的定义域为全体实数R，:/72=2,:f(X)=X*.(2) ”x)>3x+ZT即/_3彳+1_&>0,要使此不等式在上恒成立，令g(x)=Y-3+l-仙只需使函数g()=2-3x+l-4在上的最小值大于0.g(x)=V-3+ld图象的对称轴为X=K故g(x)在-1,1上单调递减，'g(x)min=g(l)=一左一1.由一"1>0,得&<-1,实数k的取值范围是(f-1).例10.已知黑函数f(x)=V/"2(mez)是偶函数，且在(0,+8)上是减函数，求函数/(x)的解析式.【解析】因为幕函数/(X)在区间(0,+)上单调递减，则相2-机-2v0,得利C(T,2),又TmwZ,/=0或1.因为函数"%)是偶函数，将m=0,l分别代入，当帆=0时，w2-,m-2=-2,函数为/(X)=X”是偶函数，满足条件.当/W=I时，m2-m-2=-2,函数为/(x)=x=是偶函数，满足条件.J(x)的解析式为了(力=/.例11.已知事函数/*)=(m+l)2+4"f+2在(0,+oo)上单调递增，函数g()=2T+h(1)求实数?的值；(2)当xe-1,2)时，设/(x),g(x)的值域分别为4,B,若AB=B,求实数k的取值范围.【解析】()./(外=(”+内-为幕函数，.(阳+|),解得/W=O或帆=-2,当m=0时，/*)=/在(0,+)上单调递增；当m=-2时，f(x)=x2f在(0,内)上单调递减，：.WJ=O;(2)由(1)得f(x)=,.d-l,2)时，A=0,4),飞(幻=2-=(；)+%为R上的减函数，.当Xw1,2)时，B=+k,2+k,B=B,BA,一十。解得-Av2,2+k<44实数k的取值范围是卜?2).例12.已知基函数"力=Xa的图象经过点(3,6)，则=,若f(-a)>(+l),则实数。的取值范围是.【答案】【解析】由题意可得，3=3,所以=g,所以基函数Fa)二4.可知函数/(X)=正在0,+8)上单调递增，-a0由一)>M+l),得5+l0,-a>a+解得：1.2故答案为：3；Tl£|题型二：对勾函数的图象及性质例13.因函数y=+=(>O)的图象形状像对勾，我们称形如“y=x+；(，>0)”的函数为“对勾函数”，该函数具有性质：在倒，上是减函数，在(，芹)上是增函数.若函数?(X)=X+;xl,2,求(司的最值；(2)已知/(x)=2x+J-r-5,x1,3,利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；(3)对于(2)中的函数f(力和函数g(x)=d-皿+4,若对任意NwI,3,总存在x2w1,3,使得g(9)=)成立，求实数机的取值范围.【解析】由题意知，函数""="十在IN单调递减，(=(2)=2+2=4,M/X=MI)=5；4(2)/(x)=2x-l+4,令21一1二%，2x-14Vlx3,lm5,W1Jf(x)=k(fn)=m+4,由对勾函数的性质，可得Mm)在1,2上单调递减，在(2,5上单调递墙"(x)在上是减函数，在声上是增函数，/=1，/(1)=。，"3)g'3'综上可得，/()的单调递减区间为Iq,单调递增区间为93,值域为04；9"|(3)rtl(2)11(1)0,-时，若存在再叩，3,使得g(w)=(5)成立，只需g")=fTnr+4在xl,3上值域包含o则分成以卜四种情况：-1Y32g(3)0;,m_I<<32,mC1<<32Zg()0;,g()*,<g4g(3)*g居g(foX?)'0解集均为空集，所以，不存在.例14.因函数y=x+(f>0)的图象形状象对勾，我们称形如"y=+'(6)”的函数为“对勾函数''该函XX数具有性质：在(0,上是减函数，在(,+8)上是增函数.(1)已知/(x)=2x+-5,xel,3,利用上述性质，求函数外”的单调区间和值域；2x1(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)=x2Tm+4,若对任意N1,3,总存在£1,3,使得成立，求实数机的取值范围.4【解析】(1)/(x)=2x-l+-42x-142r-l=w,VIx3,/.1w5.z4则f(x)=h(m)=n+4由对勾函数的性质，可得Mm)在1,2上单调递减，在(2,5上单调递增，/(力在1,上是减函数，在(弓，3上是增函数./O)”/$430综上