2024圆锥曲线定点、定直线、定值问题.docx
2024圆锥曲线定点、定直线、定值问题定点、定直线、定值专题1、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在X轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程；(II)若直线1.y=kx+m与椭圆C相交于4,B两点(A,B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.22【标准答案】由题意设椭圆的标准方程为=l(a>b>0)a3+4/+3+4/+3+422+-'2k7/m2+16/wA+4A:2=(),解得班=-2Kw2=万，且湎足3+4公一机2>o当机=2女时，/:y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾；2k22当m二时，ly=k(x一一)，直线过定点(一,0).综上可知，直线/过定点，定点坐标为(一,0).72、已知椭圆C的离心率e=*,长轴的左右端点分别为A4-2,0),A2(2,0)o(I)求椭圆C的方程;(II)设直线x=my+l与椭圆C交于P、Q两点，直线AF与A?Q交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。b2,X2V2a+c=3,a-c=,a=2,c=yb1=3-F-=1.43(y=kx+m22得(3+4公)f+8出+4(62-3)=0,+=143二64m2k2-16(3+4公)(w2-3)>0,3+42-m2>0.Smk4(n2-3)3+4'/=3+必2yi'y2=(履1+w)(kx2+加)=Zr2X1X2+mk(xl÷x2)+m2=T3+4Zu以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kAD=-1,A¾=-1,xl-2X2-2(最好是用向量点乘来)乂+X-2(%÷x2)+4=0,3(14公)4(加-3)16"。解法一：(I)设椭圆C的方程为m+t=l(a>b>0)oab"*a=2,q=-=,：.C=事,b2=a2-c2=1<.a2椭圆C的方程为:y2=l°5分(II)取m=0,得P。,亭直线AF的方程是y=第x+等,直线A2Q的方程是y=*X-交点为0(4,6).7分,由对称性可知交点为S2(4,-6).由？y得X=my+1若点S在同一条直线上，则直线只能为，：x=4。8分以下证明对于任意的m,直线AF与直线A2Q的交点S均在直线，：x=4上。事实上,(my+1)2+4y2=4,即(m?+4)y2+2my-3=0,记P(X】，yJ，Q(x2，y2)，则y+丫2=，%丫2=。9分m+4m"+4设AF与，交于点S°(4,y°),由广、=得y0=-¾.4+2x1+2xl+2设A,Q与，交于点S.'(4,y0,),由工=*,得y0,=-104-2x9-2X,-26y_2y?=6y(my2-l)-2y2(my+3)=4myj2-6(y+y2)xl+2x2-2(x1+2)(x2-2)(x1+2)(x2-2)-12m-12m=具互乒运=0时分(x,+2)(x2-2)解法二：(11)取m=0,得Py0=y0z»即SO与S。'重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线，：x=4上。13分直线A1P的方程是y=B+B,直线A1Q的方程是63y=¥x-"交点为S"4,>).7分取m=l,得P停q(0,T),直线AF的方程是y=x+g,直线AzQ的方程是y=；XT交点为，(4,1).，若交点S在同一条直线上，则直线只能为，：x=4。8分x,._.以下证明对于任意的m,直线AF与直线A2Q的交点S均在直线/:x=4上。事实上，由1+y得X=my+1(my+1)2+4y2=4,即(11?+4)y?+2my-3=0,记P(xl,y1),Q(x2,y2),则AF的方程是y=B-(x+2),A?Q的方程是y=(x2),消去y,得(x+2)=上(x-2)Xj+2x2-2x+2x2-2以下用分析法证明x=4时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明且=趣工，即证x1+2X2-23y1(my2-l)=y2(myl+3),即证2my,y2=3(y1+y2).:2myly2-3(y1+y2)=；=0,，式恒成立。这说明，当m变化时，点S恒在定直线：x=4上。m+4m+422解法三：（三）庄I<一I得(my+I)?+4y2=4,即(n+4)y?+2my-3=0。X=my+1记P(X1，)，3。2，丫2)，则X+丫2=了m，丫2=J6分m+4m"+4AIP的方程是y=一(x+2),A2Q的方程是y="(x2),7分x÷2X2-2y=7+2),由1得-(X+2)=(x-2),9分v=-(x-2kx,+2x2212分13分即X=2半+2)+%62-2)=2j2(my+3)+y(my2T)=2my,y2÷3y2-y,*y2(x,+2)-y1(x2-2)y2(my,+3)-y1(my2-I)3y2+yl2m*3+3m+4I(IXryJ31+%=2=4.这说明，当m变化时，点S恒在定直线，：x=4上。3、已知椭圆E的中心在原点，焦点在X轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为应-1,离心率为e=立.2(I)求椭圆E的方程：(11)过点(1,0)作直线/交E于P、Q两点，试问：在X轴上是否存在一个定点M,MPMQ为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.解:设椭圆E的方程为a/,由已知得:a-c=应-1c=42OOOOO2分忘.b2=a2-c2=l.fffiaE的方程为+y:12-1OOO(11)法一:假设存在符合条件的点M(m,O),又设P(x“y)Q(X2，y2)，则:MP=(x1-m,y1),MQ=(x2-m,y2),MPMQ=(x1-m)(x2-m)+y1y2=xlx2-m(x1+x2)+m2+y1y2ooooo5分当看线1的斜率存在时，应直线1的方程为：y=k(x-l),则+y2=l得2+2k2(-l)2-2=0y=k(x-l)(2k2+l)x2-4k2x+(2k2-2)=0x1+x2=;，Xi2k2+1,X2k2-221?+1y1y2=k2(x1-l)(x2-l)=k2x1x2-(x1+x2)+l=-9V2_94k2、k2所以MPMQ=+2k2+12k2+12k2+lk22k2+I(2m?-4m+l)k2+(m2-2)2k2+1对于任意的k值，MPMQ为定值，所以2n-4m+l=2(m2-2),57所以M(,O),MPMQ=-一；11分416当直线1的斜率不存在时，直线1.x=1,X+X2=2,XX2=l,yy22S7由m=z得MPMQ=-记综上述知，符合条件的点M存在，起坐标为(9,0).13分4法二：假设存在点M(m,0),又设P(X,yJ,Q(X2,y2),则：MP=(xi-m,y,),MQ=(x2-m,y2)MPMQ=(x-m)x2-m)+yly2=xlx2-m(xl+x2)+m2+yly2.5分当直线1的斜率不6O时，设直线I的方程为x=ty+l,x2_I9由，'一得1+2)为+2»-1=0.y+y2=森g,yy2=1j7分x=ty+l×2=(t%+i)(ty2+i)=½yy2÷t(%+y2)÷1-t2-2t2+t2+2-2t2+2t2+2t2+2x1+x2=t(y1+y2)+2=-2t2+2t2+44t2+2.MPMQ=-2t2+24m；+mt2+2r+2t2+21(m2-2)t2+2m2-4m+1t2+2设MPMQ=则(m2-2)t2+2m2-4m+lt2+2.,.(m2-2)t2+2m2-4m+l=(t2+2)/.(m2-2-)t2+2m2-4m+l-2=0m2-2-=02m2-4m+l-2=05m=4r.M(-,0)11分74当直线1的斜率为。时，直线l:y=O,由M(2,0)得:4MPMQ=(>-)(-2-)=-2=-441616综上述知，符合条件的点M存在，其坐标为(,0)。13分424、已知椭圆的焦点在X轴上，它的一个顶点恰好是抛物线炉=4)，的焦点，离心率。=一广，过椭圆的右焦点尸作与坐标轴不垂直的直线/,交椭圆于A、8两点。(I)求椭圆的标准方程；(II)设点M(m,0)是线段QF上的一个动点，且(MA+M8)J,A8,求用的取值范围；(In)设点C是点A关于X轴的对称点，在X轴上是否存在一个定点N,使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。解法一：(I)设椭圆方程为J+a=l(>b>O),由题意知b=l2Y=Y=5故椭圆方程为+y2=1（三）由(D得尸(2,0),所以0n2,设/的方程为y=-工一2)(AwO)2代入弓+y2=,得(5公+1口2-2042%+2(汰2-5=0设AaPy必)，则X+20222OP-55r+1"区-5公+1，,+必=Z(Xl+x2-4),y-=A(Xl-X2).MA+MB=x-117,y1)+(¾-w,y2)=(x1+x2-2M,y1+y2)9AB=(x2-xvy2-yl)(MA+MB)±AB,:.(MA+MB)AB=0,.(1+x2-2nr)(x2一%)+(%-X)(乂+%)=。20k2,收Z0cXi2八m八八85A2+15+18-5m5Q当0<加<时，有(M4+MQ)J.AB成立。(III)在X轴上存在定点N§,0),使得C、B、N三点共线。依题意知C(X1.M),直线BC的方程为广言仙令'=°'则"*12+=暗针/的方程为y=Z*-2),A、8在直线/上，y1=女(F-2),y2=k(x2-2)x=k(x+2)-4k(x+x2)-4kkx-l)x2+k(x2-l)xl_2Ax1x2-2k(x+x2)20k22Ok5k2+-4k亚±i=*.在X轴上存在定点N(3,0),使得CBN三点共线。22解法二：（三）由(I)得注(2,0),所以0<2°设/的方程为y=Z(x-2)伏。0),尤2RAy+/=1,得(5k2+I)X2-20k2+205=0设A(xl,y)B(x2,y2则20k220/一5Xx+x2=;,XX2=勺25A:2+1,25k2+14k5F+y1-y2=(x1-x2)；(MA+MB)±AB,.MAI=IM81,(x1-w)2÷y1=y(x2-m)2+y2,.(x+x2-2根)(玉一z)+(X+%)(%一%)=°，(l+r2)(xl+x2)-2
