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2024圆锥曲线的焦点弦长新解圆锥曲线的焦点弦长新解关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线V=以+8代入曲线方程，化为关于X的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式J（1+M）（X+叼）24勺町求出弦长,这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。一.椭圆的焦点弦长y2-X""I5"=1（。>8>0）口/cC1/A若椭圆方程为/b2,半焦距为C>0,焦点Fl（Y,°）、F式C，0）,设过及的直线，的倾斜角为'交椭圆于A、B两点，求弦长四。图1解：连结玛A眄设图Ig,IM=J,由椭圆定义得F2=2a-xfF2B=2a-yf由余弦定理得b2X2+(2c)2-2x2ccosa=(2-x)2f整理可得一d-ccosa,同理可求得b2y=a+ccosa,则弦长IAm/20I=X+y=,=22a-ccosaa+ccosca-ccosa0AB=同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为2ab222a-Csina（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式:.（焦点在X轴上）（焦点在声由上）二.双曲线的焦点弦长22y-y=1（。>O,B>0）,?r设双曲线/,其中两焦点坐标为玛（一6°），鸟已0）,过耳的直线？的倾斜角为G,交双曲线于A、B两点，求弦长AB.bbarctan<a<11-arctan解：（1）当a以时，（如图2）直线？与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连尸左B,设国川二猫F1B=yt由双曲线定义可得眄引=2+x,F2B=2a+yt由余弦定理可得b2×2+（2c）2-2x2ccos=（2+x）2整理可得'-a+ccosa,同理b2y=以-CCOSa,则可求得弦长川/2a淤I/I=X+<y=1=22-a+ccoSaa-ccosaa-c-cosa0Oc<arctan11-arctan<a<11(2)当。或a时，如图3,直线/与双曲线交点A、B在两支上,连>4%B,设IFM=JGI尸IBl=Iy,则因牛2+x,F2S=y-2at由余弦定理可得,+(2c)2-2x2ccos=(2+x)2,y2+Re)?-2y2cCOS(n-a)=(y-2d)2b2b2X=9y=整理可得+ccosaccosa一则/2ab2I网=S=T因此焦点在X轴的焦点弦长为2ab2zbb、(arctan<a<11-arctan)a-cicosjaaa2abi-55ICcosa-abb(O<a<arctan一或乃一arctan<a<11)同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式2aba-csinafIabICsina-ay(arctanW<a<11-arctany)(O<a<arctan士或乃-arctan<a<11)bb其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，。为AB的倾斜角。三.抛物线的焦点弦长若抛物线丁=2/3>0）与过焦点以万'°）的直线？相交于A、B两点，若/的倾斜角为c，求弦长AB?（图4）解:过A、B两点分别向X轴作垂线4VBBi,4、均为垂足,设I刚=xFEl=Iy,ppFxcosa-ycosc则点A的横坐标为2,点B横坐标为2,由抛物线定义可得+xcosc+-=x；-ycosa+-=y222z2PPX-9y-即1-COSCK1+COSCK则I-COSa1+cosc1-cosasina同理J=2px的焦点弦长为第I=坐sinaAB-2切X=2即的焦点弦长为I1.gsa,所以抛物线的焦点弦长为芈（焦点在#由上）AB=<sina芈（焦点上）.cosa由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握。用构造法求数列的通项公式教学目标：1、知识与技能：理解并掌握几种常见的数列通项的求法2、过程与方法：渗透归纳、化归数学思想方法3、情感态度与价值观：培养学生积极参与、合作交流的主体意识，在知识的探索与发现的过程中培养学生学习数学的兴趣教学重点：把既非等差也非等比的数列化归成等差或等比数列教学难点：如何将既非等差也非等比的数列化归成等差或等比数列一、创设情境、引入新课在数列的学习中，我们知道通项是数列中最关键的，那么如何让求数列的通项呢？在前面的学习中，我们只学习了等差数列和等比数列，对于那些既不是等差也不是等比数列的通项该如何求出呢？比如：=2,。"|二一4一,如何求出其通项呢？二、新知探索例1、数列中，若=2,a.=,求数列“的通项公式明。1+%让学生思考并讨论，这种题型的通项该从何处入手？经过几分钟思考后，若学生还无明确的方向，老师可讲此例降低难度，改为：求。2、。3、。4、%的值；求通项明。经过改编后，大部分学生都能算出%=，。3=一，“4=»，并能猜想出明二-o2345n师指出：这种方法属于不完全归纳法，在前面推导等差数列的通项公式的时候已经用过，但缺乏严谨性，有没有方法直接求出”，而不是猜出？（此时学生有陷入一片迷茫，迫切地想寻找到好的出路，极大地调起了学生的兴趣。）老师引导学生：我们只学过等差与等比数列的通项公式的求法，但这个数列虽然既非等差也非等比数列，能否想办法将数列”适当变形，变成我们大家熟悉的等差或等比？（适时板书）an:1,-2345学生马上得出是以1为首项，以1为公差的等差数列。an师指出：根据前5项估计出成等差，同样缺乏严谨，能否证明出是等差数列?提问：如何证明一个数列是等差数列？学生：+1。=常数（到此，此题的解题思路就完全确定了）解：;an+1=-=F1即=11+4aan+ian,是以工a=1为首项，以1为公差的等差数列一=+(7?-1)J=1+(/?-1)-1=an%._1an=-n师小结：对于一些既非等差也非等比数列的通项的求法，我们可以通过构造将其转化为等差或等比数列之后再应用各自的通项公式求解，这就是化归思想在数列中的具体应用。例2、数歹U/冲,=1,+=2an+1,求通项。让学生思考、讨论并相互交流：如何将其构造成等差或等比数列？(教师在下面走动，根据学生的情况，教师适时的给出引导，如果学生还找不到方法，教师引导学生参照例1的方法)(适时板书)4：1，3,7,15,31all+.2f4,8,16,32解：,。用+1=2(an+1)%+l是以q+l=2首项，以2为公比的等比数列，Aan+l=(a1+1)m,=22rt,=2n.an=2n-师指出：对这类题型，为了避免每次都计算数列的前几项，可以设+2=2(。+4),展开后即可求出O三、巩固深化，发展思维1、数列%中，q=l,%=<2T(2且N+),求通项。1+3%2、数列%中，4=2,=24+2(N+),求通项。3、数列%中，.=1Mm=2%+2=5N+),求通项七。四、课堂小结1、请学生回顾本节课所学过的知识内容与哪些？所涉及的主要思想方法有哪些？2、在本节课的学习过程中，还有哪些不懂的地方，请向老师提出。五、教学设计反思1、本节课的教学设计中，充分发挥了学生的主动性，让学生真正做到积极思考、认真归纳、发现规律、抽象概括，最终达到理解、掌握知识及能够运用知识解决有关问题的目的2、在本节课的学习中，归纳思想的运用对理解为何以及如何将既非等差也非等比的数列化归为等差数列或等比数列的帮助很大，应该让学生充分重视，如果时间允许，可讲一周期性数列的题型，直接根据数列的前几项归纳得出数列的周期，进而求出数列中某项的值。如：(1)q=OMm=乍*,则wO=；3h+1(2)%=1,=5，an+2=ali+i-«(/?N+),则2008=3、数列/+1的首项是q+l,而学生经常会错写成片,因此，教师在书写的时候可故意写错，让学生来发现教师的错误，并用彩色粉笔更正，以达到效果。用不动点法求数列的通项定义*方程f(x)=X的根称为函数f(x)的不动点.利用递推数列/(X)的不动点，可将某些递推关系=(,)所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1*若f(x)=ax+b(a0,a1),P是f(x)的不动点，”满足递推关系)，5>1)，则4-p=a(-)，即/一p是公比为。的等比数列证明：因为是F(X)的不动点.ap+h=p./?一=-4由4“=aatl_1+b得-p=aan_+b-p=-p)所以-p是公比为。的等比数列./7T+h定理2：设f(x)=(CWOMd-AWO),”满足递推关系=/(«,_1),/?>1»cx-d初值条件4)(1)：若/(x)有两个相异的不动点p,q,则组二2=人如二K(这里女=伫匹)aqan.i-qa-qc(2)：112c若/(R)只有唯一不动点P，则=+k(这里&二)ttn-Pn-x-Pa+d证明：由/(x)=X得f(x)=竺土2=X,所以C+(4-)一力二Ocx-vdpd-b2P="(1)因为P应是不动点，所以7+3j)P"二°n"PC,所以cq+(J-a)q-Z?=O_qd-ba-qcaan_+Z?pd-bPa11I-an-PCan-1+d(a-pc)all7+b-Pda-pca-pca-pc11zl.l-p=an-q叫+b(aqc)ai+bqda-qcqd-ba-qc%-q7-qun-can,+aa-qcrtI*令人伫，则££=口口a-qcCin-qan-q(2)因为是方程c/+("一一人=0的唯一解，所以cp?+3一一人=0所以bpd=cp?-ap,P=所以2c叫_1+(")m-i+b-Pd(a-cp)an+2-ap(a-)(a,.1-P)an-p=p=can_x+dcan_x+dCanT÷dcan-+d所以1_1can-+d_1c(an-p)+d-cp_c+cp1_12c“.Pa-cpan_1-pa-cp11-1-pa-cpa-cpan,l-pan_x-pa+d令k=2,则=!+%a+dan-paw-1-p例1：设6J满足=1,。“+=41.JN”,求数列"的通项公式解：作函数/(X)=叶2,解方程/(x)=X求出不动点p=2应二一1,于是XSZ£=2+22%逐次迭代得&z2=(_2)"t.4Jz2=风