第5章_一次函数专题_一次函数与几何图形的综合问题（含解析）.docx
专题一次函数与几何图形的综合问题类型一、面积问题例.如图，一次函数K会与反比例函数)，N的图象相交于A(2,8),B(8,n)两点,连接AO,B0,延长AO交反比例函数图象于点C.(1)求一次函数V1的表达式与反比例函数y2的表达式:(2)当XVy2时，直接写出自变量X的取值范围为4(3)点P是X轴上一点，当SaPAC=MSMOB时，求出点P的坐标.【变式训练1】平面宜角坐标系XOy中，经过点(1,2)的直线y=kx+b,与X轴交于点A,与y轴交于点B.(1)当b=3时，求k的值以及点A的坐标；(2)若k=b,P是该直线上一点，当OPA的面积等于AOAB面积的2倍时，求点P的坐标.【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线m经过点(-1,2),交X轴于点A(-2,0),交y轴于点B,直线n与直线m交于点P,与X轴、y轴分别交于点C、D(0,-2),连接BC,已知点P的横坐标为-4.(1)求宜线m的函数表达式和点P的坐标；(2)求证：ABOC是等腰直角三角形；(3)直线m上是否存在点E,使得S.ACE=SABoC?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由.【变式训练3】如图，已知一次函数y=-；x+3与X轴交于点A,与y轴交于点B,点C与点A关于y轴对称.(1)求直线BC的函数关系式；(2)若点M在线段AC上，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P,交直线BC于点Q.如图，当点M(a,0)在线段OA上时，ABPQ的面积为S,求S与a之间的函数关系式;连接BM,若4BMP=4BAC,求点P的坐标.【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，函数V=2x+12的图象分别交X轴、y轴于A、B两点.过点A的直线交y轴正半轴于点C,且点C为线段OB的中点.(1)求直线AC的表达式.(2)平面内是否存在点P,使得四边形ACPB是平行四边形?若存在，请求出点P的坐标.(3)若点Q为直线AC上的一点，且满足AABQ的面积为30,求点Q的坐标.类型二、几何图形存在问题例1.如图，在平面直角坐标系中，0A=0B=6,OD=I,点C为线段AB的中点.(1)直接写出点C的坐标为；(2)点P是X轴上的动点，当PB+PC的值最小时，求此时点P的坐标；(3)在平面内是否存在点F,使得以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.例2.已知ABC中，NBAC=90。，AB=AC=6,D是AC中点，作直线BD.分别以AC,BC所在直线为X轴，y轴建立直角坐标系(如图).(1)求直线BD的表达式.(2)在直线BD上找出一点E,使四边形ABCE为平行四边形.(3)直线BD上是否存在点F,使aAPC为以AC为腰的等腰三角形?若存在，直接写出点F的坐标;若不存在，说明理由.例3.如图，正方形ABCD的顶点A(0,3),WlQ),点P在直线产工上.(1)直接写出点C和点D的坐标：C,D.(2)Q为坐标平面内一点，当以0、B、Q、P为顶点的四边形为菱形，直接写出点P和对应的点Q的坐标.【变式训练1】如图，直线AB交X轴于点B,交y轴于点A,过点A另一条的直线交X轴于点C,且AB=BC,线段0C、Be的长是方程2-6x+5=0的两个根.(1)求A点坐标;(2)若过点0(2,0),E(OJ)的直线DE交直线AC于点F,求经过点F的正比例函数解析式;(3)在(2)的条件下，点P在直线AB上，点Q在直线AC上，使以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标.【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线4h=-x+5与V轴交于点A,直线4与X轴、轴分别交于点6(-4,0)和点C,且与直线4交于点。(2M).(1)求宜线4的解析式;(2)若点E为线段BC上一个动点，过点E作轴，垂足为F,且与直线4交于点G,当EG=6时,求点G的坐标；(3)若在平面上存在点“，使得以点A,C,D,H为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点”的坐标.类型三、最值问题例.如图，在平面直角坐标系中，A(-1,4),B(-3,3),C(-2,1).(1)已知AAiBiCi-ABC关于X轴对称，画出ABC;(2)在y轴上找一点P,使得APBC的周长最小，点P的坐标为(I)W.ABC向左平移3个单位后的图形MB1C1；(2)作点P,使P到A、B的距离相等，"B=PC;(3)点Q在y轴上，当QA+QB最小时，点Q的坐标为.【变式训练2】如图，直线AB与反比例函数y=K(x>0)的图象交于A,B两点，已知点A的坐X标为(2,4),4AOB的面积为6.(1)反比例函数的表达式；(2)求直线AB的函数表达式；(3)若动点P在y轴上运动，当IPA-PBl最大时，求P点坐标.课后训练1 .如图，一次函数y=mx+l的图象与反比例函数y=&的图象相交于A、B两点，点C在X轴正半X轴上，点D(l,-2),连接OA、OD、DC、AC,四边形OACD为菱形.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，X的取值范围；(3)设点P是宜线AB上一动点，且SAoAP=TS芟形OACD,求点P的坐标.2 .如图，在平面直角坐标系中，已知AABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为(-5,-1)3>-4)、(-1,-3).(1)SABC=；(2)画出ZkABC关于y轴对称的AAiBiCi;(3)已知点P在X轴上，且PA=PC,则点P的坐标是.(4)若y轴上存在点Q,使AQAC的周长最小，则点Q的坐标是3 .如图，直线AB：y=-x+n分别与X,y轴交于A(6,0)、B两点，过点B的直线交X轴负半轴于C,且OB：0C=3：1.(2)求直线BC的函数表达式；y=-x-(Z:0)(3)直线叱：2'交直线AB于E,交直线BC于点F,交X轴于D,是否存在这样的直线EF,使得S即=S"9?若存在，求出女的值；若不存在，说明理由.专题一次函数与几何图形的综合问题类型一、面积问题例.如图，一次函数VRb与反比例函数的图象相交于A(2,8),B(8,n)两点,连接AO,B0,延长AO交反比例函数图象于点C.(1)求一次函数X的表达式与反比例函数y2的表达式:(2)当为时，直接写出自变量X的取值范围为4(3)点P是X轴上一点，当SaPAC=,SaAOB时，求出点P的坐标.【答案】一次函数y=r+10,反比例函数y=T；(2)x>8或O<X<2;P(3,)或P(TO)k1.16【解析】(1)解：将A(2,8)代入y=与得8=：,解得k=16,反比例函数的解析式为产NX2X把B(8,n)代入得，n=2,，B(8,2),a=-b=10一次函数为y=-x+10；O2a+b=S符A(2,8),B(8,2)代入y=ax+b得1.解得f8+b=2(2)解：由图象可知，当yVy2时，自变量X的取值范围为：x>8或0VV2,故答案为x>8或0VV2;(3)解：由题意可知AC关于原点成中心对称，MOA=OC,.SAPC=2SA0P,如图，记AB与X轴的交点为D,把y=0代入y=-x+10得，O=-X+10,解得X=I0,D(10,0),:SfOB=S-=；x10x8-gIOx2=30,44,SMAC=-SMO8=mX30=24,.2SA0P=24,.2x；OPX)，a=24,即2xgPx8=24,.0P=3,.P(3,0)或P(3,0).【变式训练1】平面宜角坐标系XOy中，经过点(1,2)的直线y=kx+b,与X轴交于点A,与y轴交于点B.(1)当b=3时，求k的值以及点A的坐标；(2)若k=b,P是该直线上一点，当OPA的面积等于AOAB面积的2倍时，求点P的坐标.【答案】(IM=-1,A(3,0)；(2)点P的坐标为P(l,2)或(一3,-2).【解析】(1)解：当b=3时，y=kx+3,将点(1,2)代入可得：2=八3,解得：Z=T,一次函数解析式为：y=-x+3,当y=0时，x=3,.(3,0);(2)解：,k=bt.y=kx+k,将点(1,2)代入可得：2=k+k,解得：k=l,y=x+l,当x=。时，y=l,点B(0,1),BO=I,当y=0时，X=T,点A(T,0),04=1,%Sg.=;OAO8=g,设P(XM,且y=+i,如图所示，连接OP,M=2,.y=±2,当y=2时，2=x+l,解得：x=l,.P(1,2):当y=-2时，2=x+l»解得：X=3,P(-3,-2)；综上可得：点P的坐标为P(l,2)m(-3-2).【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线m经过点(-1,2),交X轴于点A(-2,0),交y轴于点B,直线n与直线m交于点P,与X轴、y轴分别交于点C、D(0,-2),连接BC,已知点P的横坐标为-4.(1)求宜线m的函数表达式和点P的坐标；(2)求证：ABOC是等腰直角三角形；(3)直线m上是否存在点E,使得S.ACE=SABoC?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)直线m的解析式为y=2x+4,点P的坐标为(-4,-4)9Q1AQ-k+b=2解得(2)见解析；(3)(-,或(一一?)【解析】(1)解：设直线m的解析式为y=6+"由题意得:.自线m的解析式为y=2x+4,点P在直线m匕且点P的横坐标为-4,点P的纵坐标为-4x2+4=T,点P的坐标为（-4,-4）；（2）解：设直线n的解析式为y=k+4,.-4k,+b.=-4,二，解得A=-2b、=-2,直线n的解析式为y=gx-2,B是直线m与y轴的交点，C是直线n与X轴的交点，.点B的坐标为（0,4）,点C的坐标为（4,0）,.OB=OC=4,X.zB0C=90o,.BOC是等腰直角三角形；（3）解:设点E的坐标为（m,2m+4）A点坐标为（20）,C点坐标为（4,0）,.AC=6,SaceAC-yE=32m+4,'Sce=Szs8oc=:08OC=8,.32m+4=8,解得加=一!或m=一号，上1.AAH1.”/28r108点E的坐标为（一；，；）或（一Z-»-）.3333【变式训练3】如图，已知一次函数y=-；x+3与X轴交于点A,与y轴交于点B,点C与点A关于y轴对称.（1）求宜线BC的函数关系式；（2）若点M在线段AC上，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P,交直线BC于点Q.如图，当点M（a,0）在线段OA上时，ABPQ的面积为S,求S与a之间的函数关系式;连接BM,若NBMP=4BAC,求点P的坐标.【答案】（1）直线BC的函数解析式为y=gx+3;29aIS（2）S=/（OVaV6）：点尸的坐标为（-羡彳）或g，）.【解析】由y=-g+3,令X=O得：y=3,B(0,3)由y=0得：-IX+3=0,解得x=6,二.A
