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2024圆锥曲线中存在点关于直线对称问题圆锥曲线中存在点关于直线对称问题对于此类问题有第一种通法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直(斜率之积为一1)和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的产生，下面举例说明：例1：已知椭圆C：3x?+4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线/：y=4x÷m,椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.解：设存在两点A(x,y)、B(x2,y2)关于/对称，中点为C(XoJy则AB所在直线为y=-1x÷b.与椭圆联立得：彳x2-2bx+4b2-12=0,x÷×24bXO=3，y.+y24x'÷b-4x2÷b12byo=-=2=TT.*/C在y=4x÷m上，.12b4b-1.13m.-y=B×4+m,b=XV=4b2-4×彳(4b2-12)=4b2-52b2+13×12>0,切u213bi1169m213故b-<T，即6VT.付2灰2灰解得：一甘-<m<13,由此解题过程不难归纳出步骤如下：1 .假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程.2 .联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标.3 .把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式.4 .利用联立后方程的求出其中需求参数的范围.利用此通法、步骤可解决以下类似问题：已知双曲线2-=1,双曲线存在关于直线/：y=kx+4的对称点，求k的取值范围.注：对于此类求斜率k范围要考虑k=0和k#0,因为要用到一：.K2.k为何值时，抛物线y2=x上总存在两点关于直线/：y=k(-1)+1对称.在此通法体现的解题思路上总结得到下面的第二种通法，不过首先说明以下两个问题:1°弦中点位置问题椭圆双曲线抛物线弦中点在内部弦中点在I(交点在同一支上)弦中点在抛物线“内部”或11(交点不在同一支上)2。范围问题22椭圆+l=1双曲线抛物线为<1O)rb2y+xo»X2?M(xo,yo)为中点，则2，22Xz.TXyz八君一狂>1或京一点<0dUdU(焦点在X轴上)/一6>1或W<0M(xo，yo)为中点，则y2-2px<0(p>0)y2+2px<0(p>0)x2-2py<0(p>0)(焦点在y轴上)x2+2py<0(Px)在此基础上用第二种通法来解例1：已知椭圆C：32+4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线1：y=4x÷m,椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.解：设存在两点A(x,yi)、B(x2,y2)关于/对称，中点为C(x,y),则r3x2+4y2=12,a2.4v2-12得yf_3(X+X2)_3x_113X2+4y2-12,得X1.X2-4(y1÷y2)-4y4'：y=3x.联立y=4x+m,解的X=m,y=-3m,TM在椭圆内部，.(-m)2(Tm)?U213-4一十-3<1，即一%<m这种通法的步骤是：1°设出两点和中点坐标(x,y)；2。用“点差法”根据垂直关系求出X,y满足的关系式；3。联立直线方程，求出交点，即中点；4。由中点位置及对应范围求出参数取值范围.另外，由于抛物线方程形式的特殊性，对于抛物线此类问题，还有一种简洁解法:例2：在抛物线y=a2-l上存在两点关于直线+y=0对称，求a的范围.解：显然a0.设存在两点为A(x,y)>B(x2,y2),2c2yfaxr-ax22/1日U1=a(X1-X2)=1，即X1÷X2=二，Xl-X2Xi-X2ay1+y2,x1+x2_hii1-a9÷-5-二°'即2=p-，因为存在这样的两点，故方程X?J+=O的>(),ddhm11-a3即U-47-a>4这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之中央教科所全国课件大赛一等奖，2007年由教育部主管清华大学主办中国多媒体教学学报电子版连载6期发表,现已完善至(21-46)共135个案例.次所周知圆雒曲线来源于圆锥，其定义简洁而明快，然而却有非常丰富的几何、代教性质，更让世人折服的是还有这么多统一的性质，本人通过几何画板的探索与归纳初步整理了135条性质，归类为四十六个统一性质，并附上相应的动画课件，列举如下：邮编：310005联系电话：13067788898E-Mail:wenj一、儿个统一定义1 .椭圆、双曲线、抛物线的统一定义一2 .椭圆、双曲线、抛物线的统一定义二二、与焦半径相关的问题5 .椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质6 .椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质7 .椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质三、与焦点弦相关的问题8 .椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）9 .椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）10 .椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3）11 .椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1（中点共线）12 .椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）13 .椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直张角）14 .椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系15 .椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）16 .椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广17 .椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值18 .椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值四、相交弦的蝴蝶特征19 .椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一五、切点弦的相关问题21 .椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质1（等比中项）22 .椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质2（倒数和2倍）23 .椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质3（外项积定值）24 .椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质4（平行线族）25 .椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质5（切点弦过定点）六、等角问题26 .椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一27 .椭圆、双曲线、抛物线的等角定理二28 .椭圆、双曲线、抛物线的对称点共线29 .椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质30 .椭圆、双曲线、抛物线的共鞭弦性质七、与动弦中点相关的问题31 .圆、椭圆、双曲线中点弦与中心性质32 .圆、椭圆、双曲线切线与半径的斜率积为定值（中点弦的极限状态）33 .椭圆、双曲线、抛物线的动弦中垂线性质34 .椭圆、双曲线、抛物线的定向弦中点轨迹35 .椭圆、双曲线、抛物线的定点弦中点轨迹八、数量积定值问题37 .椭圆、双曲线、抛物线的定点弦张角向量点积为定值九、其他重要性质38 .圆锥曲面光线反射路径的性质39 .椭圆、双曲线、抛物线的切线与割线性质40 .椭圆、双曲线、抛物线的直周角性质41 .椭圆、双曲线的90度的中心角性质42 .圆、椭圆、双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值43 .椭圆、双曲线、抛物线的顶点对垂直弦连线交点轨迹对偶44 .椭圆、双曲线、抛物线准线上点对焦点弦端点及焦点斜率成等差45 .椭圆、双曲线、抛物线的焦点与切线的距离性质46 .椭圆、双曲线、抛物线的中心与共轨点距离等积实验成果动态课件定圆上一动点与圆内一定点的垂直分线与其半径的交点的轨迹是椭圆备用课件定圆上i动点与圆外一定点的垂直3分线与其半径所在直线的交点的轨是双曲线备用课件定直线（无穷大定圆）上一动点与圆4一定点的垂直平分线与其半径所在J线的交点的轨迹是抛物线备用课件无穷大。I的QDJUP7IK心在无可近处的举竹问题探究1动点在圆力：(x+X)2+y2=4上运动，定点B(ZO),则(1)线段QB的垂直平分线与直线0A的交点尸的轨迹是什么？(2)若BM=/MQ,直线/过点M,与直线QA的交于点P,则点尸轨迹又是什么?2. 椭圆、双曲线、抛物线的统一定义二二沱实验成果动态课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于1的常数，则动点的轨迹是抛物线备用课件问题探究2已知定点A(1,0),定直线:x=-3,动点N在直线乙上，过点N且与4垂直的直线4上有一动点只满足f=X,请讨论点P的轨迹类型.IPNl3. 椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作准线实验成果切线与华半径的性质备用课件备用课件动态课件概圆上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为楸圆相应之准线逐曲线上一点处的切线与该点的焦半那的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为双曲线相应之准线抛物线上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为抛物线之准线备用课件H切线与焦问题探究3已知两定点A(To),8(1,0),动点P满足条件IRAl+|冏=8,另一动点Q满足pPRQBPB=0,QP(-.-+1-1)=0,求动点。的轨迹方程.MIM4. 椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质焦点在切线匕射影的性质实验成果动态皆焦点在椭圆切线上的射影轨迹长轴为直径的圆备用课件焦点在双曲线切线上的射影轨以实轴为直径的圆备用课件焦点在切线上射影的性质焦点在抛物线切线上的射影轨切抛物线于顶点处的直线(无圆)备用课件问题探究4已知两定点A(-2,0),8(2,0),动点尸满足条件IPAITP邳=2,动点Q满足八八zPAPBQ8(j+j-I.网网)=0,QP+(PAPRI1+|)=0,求动点Q的轨迹方程.网网焦半径阅的性质5.椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质实验成果动态课件椭圆中以焦半径为直径的圆必与怅轴为直径的圆相切（此圆与椭圆日切）备用课件双曲线中以焦半径为直径的圆必上实轴为直径的圆相切（此圆与双曲纣外切）备用课件抛物线中以焦半径为直径的圆必与切于抛物线顶点处的直线相切（此限无穷大与曲线外切）备用课件焦半径圈的性质问题探究5221 .已知动点尸在椭圆?+1=1上/为椭圆之焦点，PM+FM=O,探究2。/+卜尸|是否为定值X2V22 .己知点尸在双曲线一一±=1上，尸为双曲线之焦点，PM+FM=0,探究4320MH明是否为定值6. 椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦宜径圆性质双曲线的焦点杉/1件Ml件叽/咦验成果动态课件备用课件备用课件甬17-A-1RWrMal*nsc椭园的焦点弦“彳那件质,椭圆中以焦点弦为直径的圆必与准线相离段？*句号!EHR聊以焦点弦为直径的圆必与准线相交A问题探究6过抛物线=4y上不同两点4、B分别作抛物线