立体几何多选题-含解析.docx

立体几何多选题解析一、多选题1.（23-24高二上重庆阶段练习）如图所示几何体，是由正方形ABCZ）沿直线48旋转90。得到，G是圆弧CE的中点，”是圆弧OQ上的动点（含端点），则（）A.存在点H,使得四比）C.存在点，使得仍7/平面BDGB.存在点，使得E_1.8GD.存在点，使得EH_1.平面BDG【答案】BC【分析】对于A,由题意可将图形补全为一个正方体，从而可得BD/EM,推出矛盾；对于B,由瓦平面BCNE可判断；对于CD,建立空间直角坐标系，设出坐标即可计算判断.由题意可将图形补全为一个正方体4）MF-BCNE,如图所示：对于A,因为BD/EM,若EH/BD,则以/EM,又EHCEM=E,则E”,EM重合，因为H是圆弧Z）尸上的动点，E",EM不可能重合，所以以/8。不成立，故A错误；对于B,因为E产工平面BCNE,BGU平面BCNE,所以EF_1.8G,所以当重合时,有EH工BG,故B正确；对于C,以A为原点建立空间直角坐标系，设BC=2,则8(0,0,2),52,0,0),G(2,2,2),E(0,2,2),设H(见心0),必有“+rt2=4,故4G=(II),BD=(2,0,-2),EH=(m,n-2-2)f设面BDG的法向量为n=(x,y,z),贝j2x-2z=0,y2x+42y=0,解得X=1,y=-1,z=l,A=(1,-1,1),若EA/平面,则£/.=?-=0，解得/"="=V,即H是/)尸的中点，故C正确;对于D,由选项C可知，当EH=bi时，EH上平面BDG,m=m=-2则2=-/1,解得n=0,又7%0,"0,所以E"=而不成立，-2=2所以不存在点，使得四_1.平面&X；,故D错误.故选：BC2. (2324高二上重庆.阶段练习)如图，在棱长为2的正方体ABC力-AqGR中，点P满AP=AB+AD,其中40,l,(),l,则()A,存在点儿使得API平面3CCMB.存在点p,使得1P1.平面8。GC.当AP=6时，CP的最小值为2近一1D.当AP="时，C尸的最大值为2+1【答案】BC【分析】以点A为坐标原点，AB.AD.AA所在直线分别为X、Z轴建立空间直角坐标系，求出点尸的坐标，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项.【详解】在正方体48C。-AMGA中，以点A为坐标原点，AB.AD.AA所在直线分别为x、y、Z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0)8(2,0,0)、C(2,2,0)O(0,2,0)、4(。，。，2)、4(2,0,2)、G(2,2,2)、D1(0,2,2),因为AP=ZAB+"AD=4(2,0,0)+(0,2,0)=(2%,2,0),其中4、,l,UUUIlUU对于A选项，AP=(242,2),CC1=(0,0,2),贝J=工。，所以，AP与CG不垂直，故不存在点P,使得AP1.平面5CG与，A错;对于B选项，而=(-2,0),BC=(0,2,2),若存在点P,使得API平面8Z)G，则q,P=4-4=0BDP=-4+4=0即当点P与点C重合时，AP1.平面BoC1,B对；对于CD选项，k4=j4P+41+4=召,可得尤+?=；,又因为40,l,l,设2=TCOS9,=；Sin6,其中Oeg,则P(CoSaSina0),则d(2-coseY+(2-SiM*=j9-4(sin6+8s6)=j9-4sin(<9+(),因为oe,则巴j+f孚，所以，也sin(e+9,2444214；所以，CPn,n=9-42=22-l,当且仅当6+：=5时，即当6=：时，闭取最小值，cp=J9g*=5当且仅当。+十个或1时，即当6=o或5时，ICPl取最大值，C对D错.故选：BC.3. (23-24高三下.重庆.阶段练习)平面解析几何的结论很多可以推广到空间中，Q:(1)平面上，过点Q(Xo,%),且以桃=(4。)(而#0)为方向向量的平面直线/的方程为与殳=上请；在空间中，过点Q(AO,%,4)，且以m=(,4c)("c0)为方向向量的空间直线/的方程为上当=&二三.(2)平面上，过点QA,%)，且以=(/,)(加，0)abc为法向量的直线/的方程为"Z(x-通)+('-NO)=。；空间中，过点Q(XO,%,Z0),且以=(m,0)为法向量的平面的方程为"7(工一事)+(丁一%)+(Z-ZO)=O.现己2-y=10知平面a：2x+3y+4z=5,平面/?:-x-2y+2z=0,l:<,I2:6x=4y+l=3z-l,y+z=-则()A.1B.allC.Z11/7D.Z21?【答案】AC【分析】求出平面。、夕的法向量，以及直线4、4所过定点坐标及其方向向量，利用空间中线面、面面位置关系与空间向量的关系可得出结论.【详解】由题可知：平面。的法向量z=(234),平面夕的法向量=(T,-2,2),直线“亘过(5,0,-1),方向向量为=(Tj-)x-5yz-(-l)直线4的方程可化为=T=T'2直线4的方程可化为x_y+a_z-W，直线4恒过(0,_或，方向向量y=(2,3,4),2=T"=I43J对于A选项，因为m=l+3-4=0，则_1,m，且25+30+4x(-1)。5,故,则J,A正确；对于B选项，?.=26+8=0,则/-1.，所以，a工,B错:对于C选项，因为=-2，则4,尸，C对;对于D选项，由234-1-22可知】，与不平行，则右与夕不垂直，D错.故选：AC.4. (23-24高二下.重庆.开学考试)在正四棱台A4GA中，AB=2Bx=2AA,t则()A.直线AAI与CR所成的角为60B.平面AAA。与平面GC的夹角为60C. AA平面C/OD. A41l平面A8。【答案】ACD【分析】分别取正方形A8C。、正方形A4GQ的中心0、a，连接。«，由正四棱台的几何性质可知OQ1.平面ABCO,以点。为坐标原点，DA、B.Oq的方向分别为X、y、Z的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项.【详解】分别取正方形ABCO、正方形的中心0、。一连接0«,由正四棱台的几何性质可知OQ，平面A8C。，以点。为坐标原点，DA、A6、Oa的方向分别为X、八Z的正方向建立如下图所示的空设A5=2A4=2e=4,设Oa=h,则A(ZTO)'A(H，则IAAII=J(21)2+(2+1)2+/H=J2+好=2,可得=拒，所以，8(220)、0(-220)、0(-2,-2,0)、BQ,1网、C,(-1,1.2),D1(-l,-l,2),对于A选项，M=(-I,l,2),C1D1=(0,-2,0),八AAeQ-21所以,8必*=时同=忘=一5'所以，直线AA与GA所成的角为60,A对；对于B选项，设平面从4以。的法向量为町=(X,y,zj,DA=(4,0,0),则?/OA=4=0,取y=,可得g二(,J,-l),m,A41=-内+y=O')设平面3耳CC的法向量为生=(2,%Z2),C8=(4,0,0),CC1=(l,-l,2),则r取为=&，可得W=(O,应,1),m2CC1=X2-y2+2z2=0/M1tn11所以'故平面AARD与平面BqCC的夹角不是60,B错；对于C选项，因为OG=(TJ应)=AA,且。G、AA不共线，所以，OG/AA，因为AAIa平面GB。，OGU平面GB。，所以，AAl平面GBO,C对；对于D选项，O8=(4,4,0),OA=GI,0)，贝JMAO=T+4=0,A411.M1=-3+1+2=0,所以，AAyIBDtAAI_1.A1O,又因为AIoC8。=。，A,。、BOu平面A/O,所以，AAIJ_平面A/。，D对.故选：ACD.5.(2024.重庆模拟预N£>4B=NAAB=NAA。=60,测)在平行六面体ABCD-AiBlClDl中，己知A. /+y?+z?的最小值为3C.x+y+z的最大值为理2B. y+z的最大值为空3D.孙Z的最大值为亚6AG=I,AB=X,AD=y,AA1=z,则（）【答案】AC【分析】先根据空间向量AG=AB+AD+AA1转化得X=2+y2+z2+xy+xz+yz=+y2+z2+xy+xz+yz=,再结合基本不等式判断即可.【详解】又j,±xz,Xyz,U1.i、t.222,2->2-2+y2X2+22V2+Z所以1=尸+y+zi+xy+xz+yzx+y+z+-+-+=2(x2+z2)>得V+y2+z2g,当且仅当.工+v+sz=1即邛时等号成立，故如图：ACx=AB+AD+AAx,x>0,y>O,z>0,则由题意A8AO二网小。际60=T盯，同理A8At=；xz,AOA4,=（yz,AB+AD+AAi=x2+y2+z2+xy+xz+yz=ItA正确,2+y2I2+z2+Z+xy+xz+yz2(xy+xz+yz)»故x)>+xz+yz-t23(x+y+z)=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yx=+xy+xz+yz<-t故x+y+z亚，当且仅当X=），=Z=亚时等号成立，故C正确,2J63因x,y,z>0,=x1+y2+z2+xy+xz+yz>y2+z2+yz=(y+z)2-yz-(y+z)2,最后等号4成立条件为y=z,所以3,+z手，故B错误,l=x2+y2+z2+xy+xz+yx3x2y2z2+3xyxzyz=6炳所以6次丙'1,得*z雪，当且仅当x=y=z=器时等号成立，故D错误,故选：AC6.（23-24高二下重庆阶段练习）如图,在正方体48C。-4CQ中，点P满足BP=4及；,>o,则下列结论正确的是（）A.对于任意的4,都有AP/平面ACAB.对于任意的；I,都有APC.若AlP_1.8C,则见=0D.存在义，使AP与平面5CG片所成的角为30。【答案】ABC【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明及线面角的向量求法求解判断即可.【详解】在正方体A8CO-A4GR中，建立如图所示的空间直角坐标系，令AB=1,则0(0,0,0),A。,。,0),8。,1.0),C(O,1,O),AO,O,1),与(IjI)C(OJl),4(0,0,1),由8P=%8G=(-Z0,l),得P(1-U,4),AP=(41,21),对于A,DB1=(1,1,1),AC=(-1,1,OXADi=(-1,0,1),DB1AC=0,DBADi=Of即"1.AC,O81_1.AO,而ACAA=A,AC,AOu平面ACR,则。片