3.1-导数的概念及运算.docx
第三章导数及其应用J§3.1导数的概念及运算基础知识自主学习知识回顾理清教材I要点梳理1 .函数.V=/5)从内到2的平均改变率函数尸兀0从XI到回的平均改变率为凡二若X=X2m，y=2)-y(),则平X2Xl均改变率可表示脸.2 .函数.V=U)在X=XO处的导数(1)定义称函数y=©在x=xo处的瞬时改变率蚂J氏=蚂J"°+黑火”°)为函数y=W在X=Xo处的导数，记作F(Xo)或y'x=Xo,即/(Xo)=蛔),=如?)於()+然加)(2)几何意义函数yw在点XO处的导数/(Xo)的几何意义是在曲线尸仙)上点(的，外出)处的切线的斜率.相应地，切线方程为Xo)=v(XO)(X即).3 .函数Ar)的导函数称函数/(X)=妈於+黑©为於)的导函数,导函数有时也记作.4 .基本初等函数的导数公式原函数导函数J(X)=C(C为常数)f(X)=-Q-M=a(«eQ*)f(x)=x-夯实拮础突破疑睢1.推断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)(1»'3)与(m)'表示的意义相同.(X)(2)求/(的)时，可先求Kro)再求/().(X)(3)曲线的切线不肯定与曲线只有一个公共点.()(4)与曲线只有一个公共点的直线肯定是曲线的切线.(X)(5)若Ar)=/+.-/,则/(x)=3a2÷2x.(X)(6)函数"v)=2lnx的导函数为，(K)=25=2.(X)AX)=SinXf(X)=COSJ段)=COSXf'()=sin_x=3>0)f(x)=Tw?二Ff=乏y(x)=log«x(>0,且al)fw-xI11/W=Inx/(%)=:5 .导数的运算法则(1)伏X)+g()'=尸(X)±婷(x)；(2)(x)g(x)'=f(X)Ha)+/(x)e'(x)；teCv)O).I夯基释疑A.-1B.+1C.1D.±3答案B解析由y=x3知y'=3舄，切线斜率女=)，'x=302.又切线与直线x+3y+l=0垂直，32.(一=-l,；即°2=,6r=+,故选B.4.如图所示为函数y=r),y=g(x)的导函数的图象，那么y=(x),y=g(x)的图象可能是mIl利用导数的定义求函数兀O=X3在K=XO处的导数，并求曲线Kr)=/在X=KO处的切线与曲线兀O=X3的交点.答案D解析由y=/(X)的图象知y=/(x)在(0,+8)上单调递减，说明函数y=x)的切线的斜率在(0,+8)上也单调递减，故可解除A,C.又由图象知y=/(x)与y=g'(X)的图象在X=M)处相交，说明=%)与y=g(x)的图象在X=X。处的切线的斜率相同，故可解除B.故选D.5.己知点P在曲线y=晟*上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是答案氤11)4解析Yy=+,-4er-4er-47=C+1)2=e2t+2e'+=2+2'CA"X),ex÷2,.y'-1,0),tan1,0).又a0,11),.,11).题型分类深度剖析题型一利用定义求函数的导数思维启迪驾驭导数的定义，理解导数的几何意义是解决本题的关键.取一,、/)一/(Xo)r/一舅解f(0)=1.Xo=K=vlip(x2+xx<)+)=3.曲线段)=/在X=沏处的切线方程为y焉=3(x-必)，即y=3私一2篇,"y=P由,94y=3x()X-2xi9得(x-xo)2(x+2XO)=0,解得X=XO,x=-2xo.若的#0,则交点坐标为(配，焉)，(-2x0,-84);若4o=O,则交点坐标为(0,0).思维升华求函数Kr)的导数步骤：(1)求函数值的增量y=J(x2)-J(x);(2)计算平均改变率卷=逊二&&X及一KI计算导数Jf(X)=妈雇跟踪训练1(1)函数y=x+;在x,x+x上的平均改变率%=；该函数在X=处的导数是.(2)若函数)，=危)在区间(小6)内可导，且M(,6),则曲吗曲二父的值为()A./(X0)B.2f(XO)C.2f(Xo)D.O答案1.R°R*解析(i).)，=+x)+Tk-X,11,x=x4Va-=x+z.x÷xXx(x÷x)=1z2.vv/It=I=Iim=0.xx(x+x)A1.OxcHXo+)/(刈一人)国h=2×lJ(XO+，?)一J(Xoh)2/2=2f(xo).题型二导数的运算【例2】求下列函数的导数：(l)j=erlnx;QW=G+!+);思维启迪求函数的导数，首先要摘清函数的结构：若式子能化简，可先化简再求导.解(Dy'=(exlnx)z=etlnx+eA=er(ln÷)12(2)Vy=÷l+,yz=32-j.思维升华(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以削减运算量，提高运算速度，削减差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避开运用商的求导法则，削减运算量；跟踪训练2求下列函数的导数.y=(x+l)(x+2)+3);IT(2)j=sinE(I2COS方)；解(1)方法一Vy=(÷3x+2)(x+3)=3+62÷llx÷6,.y,=3x2+12x+11.方法二V=(x+l)+2)'(x+3)+(+l)(x+2)+3)'=(x+l)z(x+2)+(x+l)(x+2)z(x+3)÷(x+l)(x+2)=(X+2+x+1)(X+3)+(x+l)(x+2)=(2x+3)(x+3)+l)(x+2)=32+12x+11.c£人1.(2) .y=sm5(cos5)=SInx, y,=(一；SinXy=(sinx)f=_2c0sx,题型三导数的几何意义【例3】已知函数y(x)=x3-4x2+5-4.(1)求曲线7U)在点(2,区2)处的切线方程；(2)求经过点A(2,-2)的曲线7U)的切线方程.思维启迪由导数的几何意义先求斜率，再求方程，留意点是否在曲线上，是否为切点.解(I)V/(x)=3x2-8x+5,:f(2)=1,又42)=-2, ,曲线段)在点(2,犬2)处的切线方程为y(2)=x2,即Xy4=0.(2)设切点坐标为(刈，44+5xo-4),，:f(次)=3后一8项+5, 切线方程为y(2)=(3需一8项)+5)。一2),又切线过点(M),A-4+5xo-4),-4a÷5xo-2=(3xq-8xo÷5)(xo-2),整理得(M)2)2(向-1)=0,解得向=2或向=1,；经过4(2,-2)的曲线y(x)的切线方程为x-y4=0,或y+2=0.思维升华导数几何意义的应用，需留意以下两点：(1)当曲线)，=於)在点(Xo,内玻)处的切线垂直于X轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是X=X0；(2)留意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y=/&)在点P(xo,m)处的切线方程是y-(xo)=/(Xo)(X-M);求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.跟踪训练3已知抛物线y=a+bx+c通过点P(i,1),且在点(2,一1)处与直线y=-3相切，求实数。、b、C的值.解Yy'=2ax+bt 抛物线在点。(2,1)处的切线斜率为k=y,=2=4+力.4+力=1.又点P(1,1)、0(2,一1)在抛物线上,+b+c=l,4+2Hc=T.=3,联立解方程组，得卜=一11,C=9. 实数。、b、C的值分别为3、-I1.9.审题路线图系列1一审条件找隐含典例：（12分）设函数y=x2-2x+2的图象为G，函数y=-2+v+b的图象为。2，已知过G与C2的一个交点的两切线相互垂直.（1）求小力之间的关系；（2）求岫的最大值.审题路途图G与C2有交点I（可设G与。2的交点为（X0,泗）过交点的两切线相互垂直I（切线垂直隐含着斜率间的关系）两切线的斜率互为负倒数11（导数的几何至药利用导数求两切线的斜率：k=2xo2,k?=2xo+11（等价转换乂（2ro2）（一九+a）=1I（交点（X0，泗）适合解析式）fyo=xi-2xo+29.I,，即2-（fl÷2）xo÷2-IM）=一元十的十。11（留意隐含条件方程同解）5-2三If当a=时，ab最大且最大值为行规范解答解（1）对于G：y=x2-2x+2,有y'=2x2,1分对于。2：y=-x2+r+b,有y'=-2x+,2分设G与C2的一个交点为（Myo）,由题意知过交点（Mh泗）的两切线相互垂直.（2xo-2）（2xo+a）=-1,即4j-2（o+2）xo+21=0又点(Xo,泗)在G与Q上，>'o=.-2,o+2故有Iyo=一焉+幽+b=>2a(+2)xo+2一8=0由消去汨)，可得+力=均6分(2)由(1)知：b=2a.b=(-)=一(-j2+,9分S75：.当时，(加大值=启12分温馨提示审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P(X0,州)，交点处的切线相互垂直，通过审题路途可以清楚看到审题的思维过程.思想方法感悟提高方法与技巧1 .f(XO)代表函数Kr)在X=XO处的导数值；(f(xo)Y是函数值回)的导数，而函数值贝XO)是一个常量，其导数肯定为0,即(mO)'=0.2 .对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特殊留意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必需留意变换的等价性，避开不必要的运算失误.失误与防范1 .利用公式求导时要特殊留意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.2 .求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区分，前者只有一条，而后者包括了前者.3 .曲线的切线与曲线的交点个数不肯定只有一个，这和探讨直线与二次曲线相切时有差别.练出高分A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1 .设y(x)=xlnx,若/(XO)=2,则即的值为()A.e2B.eCriD.In2答案B解析由火X)=JdnX得，(X)=InX+1.依据题意知InXo+1=2,所以InXO=1,因此XO=e.2 .若函数/)=f+加+c满意/(1)=2,则/(1)等于()A.-1B.-2C.2D.0答案B解析f(X)
