专题10 含参函数的极值、最值讨论(解析版).docx
专题10含参函数的极值、最值讨论考点一含参函数的极值【例题选讲】例1设。>0,函数4r)=x2-(+l)x+4(l+lnx).(1)若曲线)，=Kt)在(2,«2)处的切线与直线y=-+l垂直，求切线方程.(2)求函数Kr)的极值.解析(1)由已知，得了(x)=X-(+l)+“x>O),又由题意可知)，=%)在(2,A2)处切线的斜率为1,所以/(2)=1,即2-(+l)+=l,解得=0,此时区2)=22=0,故所求的切线方程为y=-2,a2-(÷l)x÷a(-l)(-)(21fW=-(+l)+-=-_Br>0).当OVaVI时，若(0,。)，则/(x)>0,函数外)单调递增；若x(mI),则/(x)V0,函数外)单调递减；若x(l,+),则/(x)>0,函数人处单调递增.此时x=是人处的极大值点，x=l是人外的极小值点，函数火x)的极大值是4a)=%+Hn,极小值是川)=一今(-I)2当。=1时，/(X)=七1.K)，所以函数兀0在定义域(0，+8)内单调递增，此时7U)没有极值点，故无极值.当时，若XW(0,1),则/()>0,函数Ar)单调递增；若XW(1,。)，则/(x)V0,函数1为单调递减；若W(m+),则/(x)>0,函数Kr)单调递增.此时X=I是«r)的极大值点，x=a是Kr)的极小值点，函数Kt)的极大值是川)=一去极小值是加)=52+ana.综上，当OVaVI时，兀0的极大值是一%+Hnq,极小值是-劣当a=1时，火外没有极值；当a>l时“X)的极大值是一*极小值是一52+Hna.例2已知函数式X)=InX一以(a£R).(1)当时，求/(%)的极值；(2)讨论函数人只在定义域内极值点的个数.11112X解析(1)当a=时，"r)=ln-中，函数的定义域为(0,+8)且/(彳)=；-2=”7，令/(x)=0,得x=2,于是当X变化时，%),加)的变化情况如下表.X(0,2)2(2,+oo)f÷0一In2-1故外)在定义域上的极大值为y(x)et大o=y(2)=ln21无极小值.I1一(2)由(1)知，函数的定义域为(O,+>),f(x)=a=当a<0时，/()>0在(0,+8)上恒成立，则函数在(0,+8)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a>0时，若x(,J,则/(x)>0,若XWG，+oc),则/()<0,故函数在X=5处有极大值.综上可知，当妙0时，函数“r)无极值点，当>O时，函数y=(x)有一个极大值点，且为x=.3I例3设於)=Xinx-2ax2+(31)x.若g(x)=(x)在1,2上单调，求的取值范围；(2)己知人r)在x=l处取得极小值，求。的取值范围.解析(1)由/(幻=12一30¥+3m即g(x)=ln-30r+30,x(0,+),g'(x)=：3,g(x)在1,2上单调递增，.-30对Wl,2恒成立，即吟对xl,2R亘成立，得好!；g(x)在1,2上单调递减，一300对xl,2恒成立，即。弓:对我七口，2讨亘成立，得“,由可得的取值范围为(一8,u,+。(2)由(1)知，当0时，/(x)在(0,+oo)上单调递增，.e(0,1)时，/(x)<0,入不单调递减，X(l,+8)时，/()>0,4幻单调递增，力外在X=I处取得极小值，符合题意；当0<<时，3>1,又/在(0,上单调递增，.W(0,1)时，/(x)<0,x(l,时，/(x)>0,"(x)在(O,I)上单调递减，在(I,5上单调递增，7U)在X=I处取得极小值，符合题意；当=g时，=1,/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，x(0,+oo)时，/(x)0,KX)单调递减，不合题意；当白>g时，0<<l,当X七念，1)时，/(x)>O,火x)单调递增，当(l,+8)时，/(x)<0,Ar)单调递减，.J(x)在x=l处取得极大值，不符合题意.综上所述，可得的取值范围为(一8,9.例4(2016山东)设/W=NnXv2+(21)4,R(1)令g(x)=),求g(x)的单调区间；(2)已知Kl)在x=l处取得极大值，求实数。的取值范围.解析(1)由/(x)=ln-20r+2,可得g()=lni-2r+2,x£(0,÷oo).所以g")=(一%=1.=产.当0,x(0,+00)时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增；当0>0,X£(0,幻时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增，XW七，+，)时，(x)<0,函数g(x)单调递减.所以当0时，g(x)的单调增区间为(O,+);当。>0时，g(x)的单调增区间为(0,/)，单调减区间碣,+8).(2)由(D知，/(l)=0当0时，/(X)单调递增，所以当X£(0,1)时，/(x)V0,人用单调递臧；当X(l,+8)时，/(x)>0,“X)单调递增.所以Rr)在X=I处取得极小值，不合题意.当OVaVT时，方>1,由(1)知/(©在(0,灯内单调递增，可得当XW(0,1)时，/。)V0，当XW(1，幻时，/(幻>0.所以儿1)在(0,1)内单调递减，在(1,期内单调递增，所以Kr)在x=l处取得极小值，不合题意.当=T时，方=1,/(x)在(0,I)内单调递增，在(1,+8)内单调递减，所以当x(0,+8)时，/(x)0,/U)单调递减，不合题意.当时，0*<h当xe(1)时，)>°,段)单调递增，当(1,+8)时，/(x)<0,J(X)单调递减.所以Kr)在x=l处取极大值，符合题意.综上可知，实数。的取值范围为(,+oo).例5已知函数y)=(-15)ex+l,其中e=2.718为自然对数的底数，常数>0.(1)求函数Ar)在区间(0,+8)上的零点个数；(2)函数尸(幻的导数尸=©。)加：)，是否存在无数个(l,4),使得Ina为函数Fa)的极大值点？请说明理由.解析(i»a)=(x岸当Oaq时，)vo,於)单调递减；当以时，)>o,y单调递增，所以当Xe(0,+8)时，")min=7(g，因为t)勺9)=一表0,4+()=1>0，所以存在we1+5使AXo)=0,且当OOyo时，A)vo,当QM)时，/)乂).故函数"r)在(0,+«>)上有1个零点，即即.(2)方法一当G>l时，InG>0.因为当x(0,Ina)时，exa<O;当x(lna,+s)时，ev->0.由(1)知，当X£(0,沏)时，於)<0;当Xea0,+8)时，贝普乂).下面证：当w(l,e)时，Inaa0,即证y(ln4)<O./(Inq)=,。-1g+l=Hna。一卷+1,记g(x)=xlnx-x-3+1,x(l,e),(x)=ln-1,x(l,e),令力(X)=g%x),则'(幻=降之>0,所以g<x)在(1,e)上单调递增，由g'(l)=-g<O,/(e)=l-1>0,所以存在唯一零点7oW(l,e),使得/(o)=O,且x(l,的)时,g'(x)<0,g(x)单调递减，XEa0,e)时，g,(x)>0tg(x)单调递增.161e*所以当Xe(1,e)时，g(x)<maxg(l),g(e).由g(l)=%<0,(e)=6<0,得当(1,e)时，g(x)<0.故y(ln0)<0,OVlnaa0.当OaVlna时，ex-a<0tx)<0,F(x)=(ex-)>0,尸(X)单调递增；当InaaaO时，d一。>0,4x)<0,F,(x)=(ex-a)<0,尸(X)单调递减.所以存在a(l,e)(l,4),使得Ina为尸(x)的极大值点.方法二因为当XW(0,Ina)时，ex-a<0;当x(lna,+s)时，er-a>0.由(1)知，当X£(0,xo)时，7(x)<0;当X£(xo,+8)时，兀0乂).所以存在无数个。£(1,4),使得Ina为函数F(X)的极大值点，即存在无数个。£(1,4),使得Ina<%o成立，由(1),问题等价于存在无数个(l,4),使得41n)<0成立，因为y11n)=(ln-1-5+I=Hna一4一点+1,记g(x)=xln-x放+1,x(l,4),(x)=ln%-,(1,4),设©x)=g<x),因为K(X)=与/，(f,2)时,A(x)>O,所以增递调上7俘在3n2=I©,g为因所以存在唯一零点fo(,2),使得gpo)=O,且当x(,fo)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当X£。0,2)时，g,(x)>0,g(x)单调递增;-31F所以当XW2,2时，g(x)min=g"o)=folno-布一之+1,由g（三）=0,可得Info=呈代入式可得g(x)min=g"o)=-o+l,当meg2)时，g()=-t+=("62)-*-*0,所以必存在(,2),使得g(x)<0,即对任意(,2),in)<0有解，1,4),函数尸(x)存在极大值点为Ina.所以对任意a(,2)c(【对点训练】1.已知函数兀t)=lnxv2+x,R.(1)当=0时，求曲线)=%)在(1,yu)处的切线方程；(2)令g(x)=兀r)(OX1),求函数g(x)的极值.1.解析(1)当。=0时，Ax)=lnx+x,则/U)=l,切点为(1,1),又/(x)=:+l,切线斜率=/(1)=2,故切线方程为丁-1=2。-1),即2-y-l=0.1,Irl1,r2÷(l-)÷1(2)g(x)=y(x)a-l)=ln-jcv+(1a)x+1,则g(x)=0x÷(1a)=,当0时，”>0,g'(x)>O,Jg(X)在(0,+8)上是增函数，函数g(x)无极值点.cQr2+(l)x+1GT)(X+1)zs1当白>0时，g'(x)=,令g'(x)=O得X=-.当x(,£)时，g'(x)>O;当X七，+时，g'(x)<O因此g(x)在(0,5)上是增函数，在Q,+上是减函数.衣=，g(x)取极大值朋=In-f×÷(l-)×+1=-lna由得，当0时，函数g(x)无极值；当4>0时，函数g(x)有极大值专一In,无极小值.2.设函数/(x)=2-(4+l)x+40+3ex.若曲线y=U)在点(1,川)处的切线与X轴平行，求。；(2)若人幻在x=2处取得极小值，求。的取值范围.2 .解析(1)因为/(x)=4x2-(4+l)x+4+3e*,所以/(幻=G?一(2"+l)+2e/(I)=(Ia)e.由题设知/(l)=0,即(1)e=O,解得=l.此时y(l)=3e0.所以a的值为1.(2)f(x)=r2-(2+l)x+2eA=(Orl)(x2)et若则当X
