专题01 数与式（5大易错点分析+19个易错点+易错题通关）（江苏专用）（解析版）.docx

专题01数与式易错点1：分母有理化易错点2:分式新定义分式与二次根式易错点3:分式中的倒数易错点4:根式有理化易错点5:复合二次根式有理数专题易错点：1 .混淆有理数和无理数：学生可能难以区分有理数和无理数。例如，无法正确识别无限不循环小数(如人和J2)为无理数。2 .运算错误：在进行有理数的加、减、乘、除等运算时，学生可能会犯错误，如忽视运算顺序、运算符号错误或处理复杂表达式时出错。3 .对绝对值理解不足：学生可能对绝对值的定义和性质理解不足，例如将负数的绝对值理解为负数，或在处理涉及绝对值的复杂问题时出错。4 .对分数运算不熟悉：学生可能对分数的加、减、乘、除等运算不太熟悉，导致在处理涉及分数的问题时出错。5 .对数轴理解有误：数轴是有理数的重要表示工具，但学生可能无法正确理解和使用数轴，如无法正确标记有理数、无法理解数轴上的相对位置关系等。6 .对有理数的混合运算顺序不熟悉：在进行有理数的混合运算时，学生可能不清楚运算的优先级，导致运算顺序错误。7 .忽视未知数的取值范围：在进行有理数的函数运算时，学生可能忽视位置上的取值范围的重要性，导致答案不准确。8 .对概念理解不足：学生可能对有理数的某些概念理解不足，例如不清楚什么是整数、什么是负数等。易错点1：绝对值化简例:若有理数4、氏C在数轴上的位置如图所示，则,+4+上一4二()*A.b+cB.-b-cC.-2a-b+cD.b-c【答案】B【分析】本题考查了数轴、绝对值，根据数轴判断出式子正负是解题关键.根据数轴可知，c<a<O<bf|c|>|«|>|Z?|,进而得出+8<0,c-v,然后化简绝对值即可.【详解】解：由数轴可知，c<a<O<b,H>11>11,则。+h<0,c-<O,.11+j+c-=-(«+/?)-(c-a)故选：B变式1：如果叫人都是有理数(HW0),那么呼+看=_.【答案】0或2或-2【分析】本题考查了绝对值的定义，及分类讨论的思想，有一定的难度.根据绝对值的定义分情况讨论即可求解.【详解】解：当>0,b>0时，号+介】+1=2；当>0,bv时，if1=1=。；当<0,匕>0时，-+4=-l+l=;ab当<0,bv时，回+4；=-IT=-2,ab综上，回+g=0或±2,ab故答案为：。或2或-2.x,x>0IIII变式2：阅读下列材料：IX=0,=0,即当>o时，四='=1,当XVO时，巴=,八XXXX-,JV<O运用以上结论解决下面问题：(1)已知Wb是有理数，当血0时，则-®=；mn(2)已知?，是有理数，当加VO时，求龙的值；mnt(3)已知Wb，f是有理数，w+H+r=0,Kmnt<0,求恻-口一的值.n+tm+tn+n【答案】(1)0;(2)1或-3；(3)-1或3.【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键；(1)先判断北同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可；(2)先判断加，全负或加，/两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可；(3)先判断加，/两正一负，再结合(2)的结论即可得到答案.【详解】(1)解：”?，是有理数，当痴>0时，小同号,H-H=I-I=O,mn当n<0,<0时，H_H=_1+1=0;mn(2) *.*nmt<O:m,”，F全负或?，/两正一负当加，全负时，H-H-=(-l)-(-l)-(-l)=l当加，/两正一负时I)当w>0,11>0,fv时，-=1-1-(-1)=1mntII)当w>0,n<0ff>0时，-=1-(-1)-1=1tnntIII)当TMV0,h>0,f>0时，-=(-1)-1-1=-3mn1''综上所述，®-也的值为1或-3；(3) Vm+n+t=0n+t=-mtm+t=-ntm+n=-t.I-IIWMn+tm+tm+nH-H-Il=JH-H-HTn-n-t又*/nmt<0>m,，/两正一负由（2）可知州1.d1.1.的值为7或3.n+tm+1m+n易错点2：绝对值最值例：式子|x2+x-4+x-6|+|x8的最小值是()A.2B.4C.6D.8【答案】D【分析】根据绝对值化简计算，当4x6时，取得最小值，熟练掌握绝对值的性质和化简是解题的关键.【详解】当x<2时，x-2+x-4÷x-6+x-8=2-x+4-+6-x+8-x=20-4x>12,当2x4时，x-2+1x-4+x-6+1x-8=x-2+4-x+6-x+8-x=16-2x>8当4xW6时，x-2+x-4+x-6+x-8=x-2+x-4+6-x+8-x=8,当6-'8时，I.v21+1X41+1.V6+X81=x2+x4+x6+8x2x4>8,当x>8时，Ix-2+1x-4+x-6+-8=x-2+-4+x-6+x-8=4x-20>12,故|x-2|+|x-4|+|x-6+x-8有最小值8,故选D.变式1：当X=l,|xl+x+2+x-3+4+.+卜+100|+卜-10“的值最小,最小值为.【答案】15050【分析】本题考查绝对值的意义，化简绝对值，x-l+x+2+x-3+x+4+1+100|+1一101|表示X到1,-2,3,T-100,101各个点的距离之和，最中间的点为X=1,进而得到当X=I,-1+x+2+x-3+x+4+.+-+100|+卜TOIl的值最小,进行求解即可.掌握绝对值的意义，是解题的关键.【详解】|xl+x+2+x-3÷÷4+卜+1(刈+以一101|表大X到1,-2,3,-4-100,101的距离之和，最中间的点为x=l,当=时，|xl+x+2+x-3÷x+4÷+.+100|+卜101的值最小为:-+2+-3+4+oo÷-o=0+3+2+5+101+100(1+101)-2-=5150；故答案为：1,5050.变式2：学习“一次函数”时，我们从"数''和"形''两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法.小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数y=|九-1|-3的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整.列表：X-2-10y0-1-2I234CI-2h0则Q=，b=.(2)描点并画出该函数的图象;（3）判断：函数丁二卜-1|-3的图象（填“是”或“不是”）轴对称图形；观察函数图象，当-3<yT时，1的取值范围是.观察函数图象，试判断函数），=,-1|-3是否存在最小值？若存在,直接写出最小值.【答案】（1）-3：-1（2）图见解析（3）是；-lx3;存在最小值，最小值是-3【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，绝对值的意义，轴对称图形的识别，熟练掌握一次函数的性质是解题关键.（1）把X的值代入计算，即可求出。、的值；（2）根据（1）中的表格，描点连线即可画出图象；（3）利用轴对称图形的定义对函数图象进行分析即可判断；分情况讨论：x>l时和x<l时，分别求解不等式，即可得到答案；利用绝对值的性质，得到rT-3-3,当且仅当x=l时取等号，即可判断最小值.【详解】（1）解：y=x-l-3,当=时，y=l-l-3=-3,即a=3；当x=3时，y=3-l-3=-l,BPZ?=-1,故答案为：-3；-1；（2）解：函数图象如下:（3）解：由（2）图象可知，函数y=-l-3的图像是轴对称图形,故答案为：是：y=x-l-3,当x>l时，y=x-4,p-3x-4-l,解得：lx3;当时，y=-x-2,即一3-x-2T,解得：-lxl,综上所述：X的取值范围是-lx3;故答案为：lx3;存在，最小值为-3,证明如下：-o,.x-l-3-3,当且仅当x=l时取等号，.函数y=T-3的最小值为一3；即存在最小值，最小值为-3.易错点3：绝对值方程例：若卜H=2w+6,则>+4m的值为（）A.12B.-4C.5D.-3【答案】B【分析】本题考查了绝对值方程，求代数式的值，先求出m的值，再代入计算即可.【详解】解：当7O时，M=2"7+6,解得机=-6（不合题意，舍去）.当7<0时，一"z=2m+6,.*.nr+4rn=(-2)+4×(-2)=-4.故选B.变式1:己知：同=3,)=2,且+B<+B,则+b=【答案】1或T【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的加法运算，求解代数式的值，本题先求解=±3,b=±2,再根据0+l<Q+>分两种情况分别代入计算即可,准确得出=3,b=-2或=-3,8=2是解本题的关键.【详解】解：=3,网=2,；=±3,b=±2,Va+b<a+bfa=3,6=-2或a=-3,b=2,当a=3,b=-2时，.a+b=3+(-2)=1；当。=-3,。=2时，a+/7=-3+2=1.故答案为：1或T变式2：“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题.探究：方程x-l=2,可以用两种方法求解，将探究过程补充完整.方法一、当x1>0时，x-l=x-l=2;当-l0时，卜-1|=2.方法二、x-l=2的意义是数轴上表示X的点与表示的点之间的距离是2.-3-2-16123上述两种方法，都可以求得方程-=2的解是.应用：根据探究中的方法，求得方程k-l+x+3=9的解是.拓展：方程卜-1|-T-3=T的解是.【答案】探究：1X、1、x=3或X=1；应用：X=5.5或1=3.5；拓展：x=-44【分析】本题考查了绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离.熟练掌握绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离是解题的关键.探究：根据题意化简绝对值，利用绝对值的意义进行作答即可；应用：由kT+k+3=9的意义是数轴上表示X的点与表示1和-3两点之间的距离和为9,表示1和-3两点之间的距离为4,可知表示X的点在-3左侧，或在1右侧；分当XV-3时，当时，解绝对值方程即可：拓展：由题意知，卜一1卜卜"一3|=3,整理得x-k+3=g,分当x+3VO时，当x10时，当0x+3,X-IO时，三种情况解绝对值方程即可.【详解】探究：解：由题意知，