特色题型专练07 最值问题-圆（解析版）（江苏专用）.docx

中考特色题型专练之最值问题圆题型一、点运动路径1 .如图，在等腰RtZ48C中，AC=HC=4,点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为尸C的中点，当前P沿半圆从点A运动至点8时，点M运动的路径长是（）A.22B.11C.211D.2【答案】C【分析】取AB的中点AC的中点E,5C的中点尸,连接。C、OP.OM.OE,OREF,可得四边形CEOF是正方形，由。P=OC得OM_1.PC,则可得点M的运动路径，从而求得路径的长.【详解】解：取A8的中点。，AC的中点E,BC的中点尸，连接。C、OP.OM、OE.OF、EF,如图：则OE3C,11,0E=-BC=2,OF/ACfOF=-AC=Ii22四边形CEOF为平行四边形，VAC=BC,ZAC8=90。，四边形CEO尸为正方形，：CE=CF=2,EF=OC,由勾股定理得：EF=OC=2式，在等腰RtZABC中，AC=BC=4,.*.AB=2BC=42，OC=-AB=2>2,OP=1.AB=2正,22”为PC的中点，OMtPC,：NCMo=90。，点M在以OC为直径的圆上，当点P在点A时，Af点在E点；当尸点在点B时，M点在F点,，点M的路径为以EF为自径的半圆，点M的运动路径长=：2加血=缶.2故选：C.【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质及正方形的判定，确定点M的运动路径是关键与难点.2.如图，在平面直角坐标系M%中，点A坐标为(-8,0),点B坐标为(0,6),-Q的半径为4(。为坐标原点)，点C是二。上一动点，过点8作直线AC的垂线BP,尸为垂足，点C在C)O上运动一周，则点尸运动的路径长等于()5"D肪01120;TA.B.C.D.3333【答案】C【分析】如图，连接AB,根据NAP8=90。，得到点P在以A8为直径的圆上运动，当AC与0O相切时，得到P的运动轨迹为PP,进行求解即可.【详解】解：Y点A坐标为(-8,0),点3坐标为(0,6),0A=8,O8=6,ab=62+82=10-连接A8,:BP±AC,：.NAP8=90。，点尸在以AB为直径的；。上运动，当点C在Oo上运动周时，点尸的运动路径为以AC与QO相切时，AC与。的两个交点RP所夹的PP,如图:当AC与0。相切时，OC±AC,：.SinZOAC=-=-,OA2：.ZOAC=30°,NcAC=60。，尸P的度数为120°,a,1zijv,120"fl10万的长度为：而Xm=亍故选C.【点睛】本题考查坐标与图形，切线的性质，求弧长，解直角三角形，圆周角定理，综合性强，难度大，属于压轴题.解题的关键是确定点尸的运动轨迹.3.如图，在边长为26的菱形ABCQ中，NC=60。，点瓦厂分别是AB,AO上的动点，且AE=DEDE与BF交于点P.当点E从点A运动到点8时，则点P的运动路径长为.【分析】作ACBD的外接圆0O,连接03,。.利用全等三角形的性质证明NDPB=I20°点尸在以8。为弦的圆上，确定圆心和半径利用弧长公式计算即可.【详解】解：如图，作ACBQ的外接圆Q,连接08,8,.四边形ABCD是菱形，NA=NC=60。,AB=BC=CD=AD,.ABD,BC。都是等边三角形，.BD=AD,ZBDF=ZDAE,DF=AE,.BDFDAf(SAS),.ZDBF=ZADEyZADE+NBDE=演。:.NDBF+NBDP=60。,.NBPD=120。，点尸在以8。为弦的圆上，为的外接圆弧BCO所对的圆心角为240度，/38=120。，过点。作OG_1.8DG,aZBOD=2ZfiCD=120°根据垂径定理,得BG=GD=3BD=EZBOG=-ZBOD=60°,2,.,在RtZ8OG在,sinNBOG=,即sin60。=,OBOB:.OB=2,120-24故点尸的运动的路径的长=；8；乃.4故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹.4.如图，在扇形OAB中，NAOB=60。，OB=2,。是弧AB上一动点，过点。作C0J_Q3,交OB于点O,连接OC,OI,C/分别平分NC8、/OCD,当点C从A运动到3的过程中，点/的运动路径长为【分析】根据a、a分别平分NCO。、zocD,求出no/c=135。，连接8/,证明一Oa且a0b/,得到/0/5=135。，得到点/路径为以05为弦，所对圆心角为135。的圆弧，构造口G,求出NG=90。，r=¢，根据弧长公式计算即可.【详解】解：如图，CD1.OB,ZCOD÷ZOCD=90°,O1.a分别平分NCoD、ZOCD,:.AOlC=180o-1(ZCOD+NoCO)=I35。，连接BI>OI=OI,OC=OC,/COI=NBOI,COI&BOI,."OIB=NOIC=135。,点I的路径为以OB为弦，所对圆心角为135°的圆弧的一部分,过点0、I、3作圆G,作圆内接四边形。小尸，则/=45。，aZG=90°.QG=OB,OB=2,J9z-.,.0G=-OB=2,2当A,C重合时，NIOA=NIOB=3"则NG/O=NGO/=75。，ZGB=135o-75o=60o,则AzBG是等边三角形ZZGB=60°，点/的运动路径长为：6S11=立11.1803故答案为：立江.3【点睛】本题考查动点问题根据题意确定点E所经过的路径，角平分线的定义，三角形内角和定理，圆周角定理，圆内接四边形时角互补，求弧长，转化为定边05对定角NO/8问题是解题的关键.题型二、将军饮马1 .如图，已知C)O的直径AB=2cm,NcAB的度数为30。，它的另一边AC交C)O于点C,点。为弧BC的中点，点七为直径AB上的一个动点，则CE+DE的最小值为()A.IcmB. y2cnC. 2cmD. 4cm【答案】B【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理等知识.熟练掌握圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理是解题的关键.如图，作点C关于直径AB的对称点尸，连接瓦',OC.OD.OF,则E尸二CE,ZFOB=ZCOB=2ZCAB=o,ECE+DE=EF+DE,可知当尸、E、。三点共线时，此时CE+£>E的值最小，由点。为弧BC的中点，可求NO。8=/。=gNCOB=30。，则/">r=90。,由勾股定理求。尸，进而可得结果.【详解】解：如图，作点C关于直径AB的对称点/，连接EF,OC.OD.OF,/.EF=CE,ZFOB=ZCOB=2ZCAB=o,：,CE+DE=EF+DE,当尸、E、0三点共线时，此时CE+OE的值最小,：点£>为弧BC的中点，工8=8。，JADOB=ZDOC=-NCOB=30°,2：ADOF=Z1.DOB÷ZFOB=90°,由勾股定理得，DF=yOD2+OF2=2cm>故选：B.2 .如图，A点是半圆上一个三等分点，8点是弧AN的中点，尸点是直径MN上一动点，G）O的半径为1,则AP+8尸的最小值为（）A.1C.2D.无法计算【答案】B【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理.，对称的性质；作点B关于MN的对称点G连接4。交MN于点D,连接OGPC,当点P与。重合时，AP+BP最小，利用勾股定理即可求得最小俏.【详解】解：如图，作点8关于MN的对称点C,连接AC交MNF点。，连接OGPC,则BN=NC=1.AN,PC=PB;2TA点是半圆上个三等分点，5点是弧AN的中点，NAoN="×l80o=60o,NCON=1.NAoN=30°,32ZAOC=ZAO2V+ZCOZV=90°；：AP+BP=AP+PCAC,当点P与。重合时，"十族最小，最小值为线段AC的长；在RjAoC中，OA=OC=I,由勾股定理得：AC=SA2+0C?=&，即"+BP的最小值为0；3.如图，。的半径是8,AB是O的直径，M为AB上一动点，AC=CQ=8£，则CM+DM的最小值【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理.作点C关于AB的对称点C',连接CD与/W相交于点f,根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+ZW的最小值时的位置，根据乖径定理可得AC=AC然后求出C'。为直径，从而得解.【详解】解：如图，作点C关于A5的对称点C',连接CD与AB相交于点M,此时，点M为CW+ZW的最小值时的位置，由垂径定理，AC=AU,：,BD=AC，：AC=CD=BD,A。为直径，,C'。为直径.则UQ=AB=2x8=16(Cm).故答案为：16.4.如图，在CO中，直径AB=IOcm,位于点。两侧且垂直于直径AB的两条弦长分别为CZ)=8cm,=6cm,若点G为直径AB上任意一点，则CG+EG的最小值为cm.【答案】72【分析】根据垂径定理可得，EG=FG,根据两点之间线段最短，C尸的长度即为所求，在RhC"/中应用勾股定理，即可求解，本题考查了垂径定理，两点之间线段最短，已知弦长半径求弦心距，勾股定理，解题的关键是：找到EG的等长线段叱.【详解】解：连接CF,交AB于点、G,过点尸作8的垂线，垂足为点”，EF1.ABAB是直径,.45垂直平分弦跖,:.EG=FG,CG+EG的最小值二CF,七户弦心肝1=4(cm)»23(Cm),h2(I)2CD弦心距AB2,H277/=7(cm),CH=7(cm),:.CF=>JFH2+CH2=72+72=72(cm),故答案为：7&.题型三、两动一定1.如图，在正方形ABCZ)中，A8=4,点E是正方形ABCQ内部一动点，且ZBEC=9(P,点P是AB边上一动点，连接尸Q,PE,则PD+PE的最小值为()【答案】A【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.根据4EC=9(r,得到点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为。，作正方形ABC。关于直线AB对称的正方形A尸G8,则点。的对应点是R连接/。交ABFR交半圆。于E则线段E厂的长即为9+收的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论.【详解】解：VZBEC=90o,点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O,作正方形A8C。关于直线AB对称的正方形AFGB，则点。的对应点是E连接/。交A8于尸，交半圆。于E,则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，VZG=90o,FG=BG=AB=4,OG=6,:OF=JFG2+OG?=2而,/.EF=2/-2,故PD+PE的长度最小值为213-2,故选A.2.如图，矩形ABCz）中，AB=3fBC=S,以A为圆心，2为半径画圆，石是DA上一动点，尸是BC上的