15 全等与相似模型-手拉手模型（学生版）.docx

专题15全等与相似模型手拉手模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。1）双等边三角形型条件：如图1,AABC和AQCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE,4。交于点尸。结论：4ACDgZ8CE；®BE=AD；®ZFM=ZBCM=60,；Cr平分N5"Q°2）双等腰直角三角形型条件：如图2,AABC和OCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE,AO交于点M结论：®BE=ADiNANM=NBCM=90。；CN平分/BFD。3）双等腰三角形型条件：AABC和OCE均为等腰三角形，。为公共点：连接BE,AD交于点F。结论：®BE=ADiNACM=NBFM；CF平分/BFD。图3图44）双正方形形型条件：AABCH）和ACEFG都是正方形，C为公共点；连接BG,ED交于点N。结论：4Z8CGg2XZ）CE;BG=DE;NBCM=NQNM=90。；CN平分NBNE。例1.（2022北京东城九年级期末）如图，在等边三角形48C中，点P为AABC内一点，连接AP,BP,CP,将线段AP绕点A顺时针旋转60。得到AP，连接尸尸，BP.（1）用等式表示4尸与Cp的数量关系，并证明；（2）当团8PC=120。时，直接写出ZPzAP的度数为；若M为BC的中点，连接PM,请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明.例2.（2022黑龙江中考真题）-ABC和K都是等边三角形.将AADE绕点、A旋转到图的位置时,连接BD,CE并延长相交于点尸（点尸与点A重合）,有PA+PB=PC（或PA+PC=P3）成立；请证明.（2）将AAQE绕点A旋转到图的位置时，连接80,C石相交于点尸,连接布，猜想线段布、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将-4汨绕点A旋转到图的位置时，连接B。，CE相交于点P,连接雨，猜想线段布、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.例3.(2022砌北襄阳市九年级阶段练习)如图，已知;408和MON都是等腰直角三角形(也OA<OM=CW),2(3Ao8=0MON=90。.如图，连接AM,BN,求证：AoM0.8ON；(2)若将一MON绕点O顺时针旋转，如图，当点N恰好在AB边上时，求证：BN?+AN?=20储;当点A,M,N在同一条直线上时，若08=4,ON=3,请直接写出线段BN的长.例4.(2022重庆忠县九年级期末)已知等腰直角,.ABC与/叱有公共顶点AZBAC=ZDAE=90o,AB=AC=4,AD=AE=6.(1)如图，当点氏AE在同一直线上时，点尸为DE的中点,求防的长；(2)如图，将AADE绕点A旋转a(OQ<a«36O。)，点G、”分别是A3、AQ的中点，CE交GH于M,交AD于N.猜想G”与CE的数量关系和位置关系，并证明你猜想的结论；参考图，若K为AC的中点，连接KW,在一4)E旋转过程中，线段KN的最小值是多少(直接写出结果).DD例5.（2022山西大同九年级期中）综合与实践：已知一ABC是等腰三角形，AB=AC.（1）特殊情形：如图1,当。E06C时，DBEC.（填“>""V"或"="）；（2）发现结论：若将图1中的Ag绕点A顺时针旋转。（0o<a<180o）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由.（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3,点。是等腰直角三角形ABC内一点，NBAe=90。，且BP=I,AP=2,CP=3,求囱4的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将ABA尸绕点A顺时针旋转90。得到Ve4£,连接PE,构造新图形解决问题.请你根据小明的发现直接写出NHEA的度数.例6.（2022青海中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.问题发现：如图1,若一ABC和AAoK是顶角相等的等腰三角形，BC,DE分别是底边.求证：BD=CE;解决问题：如图2,若ZAC8和aDCE均为等腰直角三角形，ZACB=NDCE=90°,点、A,D,E在同一条直线上，CM为AOCE中。E边上的高，连接8E,请判断0AE8的度数及线段CM,AE,3E之间的数量关系并说明理由.例7.（2022广东广州市八年级期中）如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结AG,CE,二者相交于点H.（1）证明：AADGgaCDE:（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明；（3）连结AE和CG,请问AADE的面积和ACDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由.例8.（2023福建福州市九年级月考）如图，/.AB。和乙AEC均为等边三角形，连接BE、CD.（1）请判断：线段BE与CD的大小关系是：（2）观察图，当a4B。和二AKC分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变？（3）观察如图和4,若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是r在如图中证明你的猜想.（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明），如图,BBi与EEl的关系是；它们分别在哪两个全等三角形中J请在如图中标出较小的正六边形Ab1CiDiEiFi的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？模型2.“手拉手”模型（旋转模型）【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。1）手拉手相似模型（任意三角形）条件:如图，NBAC=NDAE=a,必=丝=攵；结论：bADESRABC,ABDACE；=kABACBD2）手拉手相似模型（直角三角形）条件:如图，ZAoB=NCoD=骄，=（即COOs2ao8）;OAOB结论：ZiAOCS处=2,A6BD,SAfirn=-ABxCD-ACbcd23）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形）条件:ABC和ADE是等腰直角三角形；结论：ABDAACE.手拉手相似证明题一般思路方法:由线段乘积相等转化成线段比例式相等;分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；第步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；第步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第步。例1.（2022山西长治九年级期末）问题情境：如图1,在财BC中，AB=6,AC=5,点D,E分别在边45,AC上，且。七BC.数学思考：在图1中，丝的值为；（2）图1中IMBC保持不动，将（MoE绕CE点A按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接BQ,CE,则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；（3）拓展探究：在图2中，延长8£>,分别交AC,CE于点F,P,连接AP,得到图3,探究MPE与0ABC之间有何数量关系，并说明理由；若将SADE绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接8D,CE,延长8。交CE的延长线于点P,BP交AC于点八则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出IMPE与0A8C之间的数量关系.例2.（2022山东济南八年级期末）某校数学活动小组探究了如下数学问题：问题发现：如图1,二ABC中，NWC=90。，AB=AC.点P是底边BC上一点，连接AP,以AP为腰作等腰RtZXAPQ,且NPAQ=90。，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是；变式探究：如图2,-ABC中，ZBAC=90o,AB=AC.点尸是腰AB上一点，连接CP,以Cp为底边作等腰RIZkCQQ,连接AQ,判断8P和AQ的数量关系，并说明理由；问题解决：如图3,在正方形ABC。中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF,点。是正方形。PE产两条对角线的交点，连接CQ.若正方形。PEb的边长为M，CQ=屈,求正方形48Co的边长.例3.(2022四川达州中考真题)某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CQE,按如图1的方式摆放，ZACB=ZECD=9(r,随后保持不动，将CDE绕点C按逆时针方向旋转。(0o<a<90o),连接AE,BD,延长60交AE于点F,连接CF.该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：【初步探究】如图2,当时，则。=；【初步探究】如图3,当点E,F重合时，请直接写出AF,BF,C/之间的数量关系：;(3)【深入探究】如图4,当点£,F不重合时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由.【拓展延伸】如图5,在.ABC与(?£>£：中，NACB=NDCE=90。，若BC=mAC,C£>=CE(m为常数).保持一ABe不动，将ACDE绕点C按逆时针方向旋转。(0o<6z<90o),连接AE,BD,延长8。交AE于点F,连接Cf,如图6.试探究AF,BF,C尸之间的数量关系，并说明理由.图1图2图3例4.（2021四川乐山中考真题）在等腰一ABC中，AB=AC,点。是8C边上一点（不与点6、C重合）,连结40.（1）如图1,若NC=60°,点。关于直线AA的对称点为点E,结AE,DE,则NBOE=;（2）若NC=60°,将线段AO绕点A顺时针旋转60。得到线段AE,连结3E.在图2中补全图形；探究CO与跖的数量关系，并证明；ADA）（3）如图3,-=-=kt且NAoE=NC,试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明.BCDE例5.（2022山东烟台中考真题）（1）【问题呈现】如图1,0ABC和0AOE都是等边三角形，连接BQ,CE.求证：BD=CE.【类比探究】如图2,SABC和0AOE都是等腰直角三角形，0ABC=ADE=9Oo.连接8。，CE请直接写出丝的值.【拓展提升】如图3,0A8C和财。E都是直角三角形，0C=0DE=9Oo,且罢=组CEBCDE=1.连接8，CE.求券的值；延长CE交8。于点凡交AB于点G.求Sin团8户C的值.4CE例6.（2023四川成都九年级期中）如图1,己知点G在正方形ABCQ的对角线AC上，G瓦8C,垂足为点E,GFCD,垂足为点尸.（1）证明：四边形CEG尸是正方形；（2）探究与证明：将正方形CEG尸绕点C顺时针方向旋转角（0。VaV45。），如图2所示，试探究线段AG与8E之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEG尸绕点C顺时针方向旋转角（0。<01<45。），如图3所示，当B,EfF三点在一条直线上时，延长CG交AD于点“，若AG=9,GH=3y2,求BC的长.图1图2图3课后专项训练1. （2022浙江温州模）