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2024经验之中有规律的教学涵义1“经验之中有规律”的教学涵义经验之中有规律，是我们认识问题的一般过程和方法，也阐明了一个简单但很深刻的教学原理。“经验”是具体的，“规律”则是抽象的。“规律”不是从天而降的，而是从具体经验中经过不断归纳、概括才能得到的。如何才能培养学生“从经验中发现规律”的能力呢？我想，如下两点很要紧：首先，要培养学生“从一般规律的高度考察具体事例”的意识，逐步养成“透过现象看本质”的习惯。这是观念问题，是思维习惯问题，也是思想方法问题，需要一个长期的、潜移默化的过程，需要有意识地培养。其次，要让学生掌握观察事例、从经验中归纳规律、把具体事例中得到的东西概括到全体中去的基本方法，使他们逐步学会归纳、学会抽象、学会概括，进而形成“从经验中发现规律”的能力。众所周知，“具体”中蕴含的信息具有丰富性、多样性,观察也可以有不同角度，因而从同一事例中可发现不同规律；同时，表面的东西大家都能看到，“藏”在背后的才有“含金量”。所以，面对具体事例，关键是“你怎么看？”这是看问题的角度、高度以及切入点，需要知识的支撑，还需要历练。学生经常出现“不是做不到，而是想不到”的尴尬，主要是他们的阅历还不足以使自己“想得到”。这似乎是一层“窗户纸”，但捅破它却并不容易，需要有数学知识、思想方法的灵活运用能力。例如对于公式1+2+=如则，2能将右边看成个等相加的结果，进而想到空是数列1,222,，的“等差中项”，是这个数的“平均数”，并最终形成对等差数列求和具有一般意义的“利用平均数，将求等差数列的前项和转化为个相同数的求和”，这就体现了看问题的高度，需要很好的把握等差数列的性质(特别是“当m+n-p+q时,am+an=的+QJ)O把简单的事情搞清楚,并能从中发现规律，这是需要高层次思维和高水平能力的。再看“二项式定理”的例子。从乘法公式的角度，通过整式运算，学生在初中就知道(a+b)2=a2+2ab+b2和(+与3=。3+3。2"3加+。如何升华这些经验,使之能用于“归纳规律，获得猜想”呢？这里需要一个新的观察角度，要用排列组合的观点分析原始运算过程：对于(a+b)2=a2+2ab+b2,还原至!j(a+b)(a+b)=a2-2ab+b2,分析展开式(从什么角度？)，看项数、每一项的次数和系数。因为目标是要得到3+为的展开式，因此要有“从特殊性中寻找一般性”的思想：=2时,项数3,次数2,每一项的形式是/A=o,1,2)(这是“一般化”的观点，需要归纳，需要教师引导)。接下来的关键是要用组合知识对“如何获得展开式的某一项”作出解释。当k=0时，产0=/,是由2个（a+b）都不选b得到的,相当于从2个（+Z）中取O个b（即都取）的组合数或；当=1时，a2-kbk=ab9是由一个（+方）选，另一个（+8）选方得到的，由于b选定后，Q的选法就唯一确定，因此，M出现的次数相当于从2个（+8）中取1个方的组合数，即共有G个;当k=2时,a2-kbk=b29是由2个（+b）都选力得到的，相当于从2个（0+b）中取2个b的组合数量。最终有：（a+b）2=Ca2+Cab+C-b2。显然，学生具备上述分析过程中用到的所有知识，但他们缺“看问题的高度”，不会“从新角度看旧问题”。因此，为了有利于学生找到“规律”，需要进一步提供经验支持，即让学生仿照上述过程独立完成对的展开式的探究。顺便提及，代数中的公式和定理，绝大部分都是用归纳法由低次到高次，由一元、二元到多元逐步归纳而发现，然后再用归纳论证去确立其正确性。因此，代数教学中，一定要强调让学生积累“归纳地去探索、发现，再归纳地定义、归纳地论证”的经验。1.已知当l,3,不等式2"-M"l恒成立，则的取值范围是.解法一：结合/（x）=2的图象分类讨论：当2al,即。二时，a-ll-2a,解得会223当23,即",时，a-l2a-3,解得“2Ia.d一1当1v2<7v3,即<白<1时，a10,解得；<al222综上可知：al或a2解法二：当al时显然成立当a>1时，有2a-Ma-I=K-2aa-1或x-2a-a进而有：a(W或a(x-l)VD×11n所以a2或a23综上：al或a之22.设实数。使得不等式2x-a+3x-2a2"对任意实数.,恒成立，则满足条件。组成的集合是O解法一：S/(%)=2x-«|+3x-2a1.r,a5X+3a,x一2当a0时，/(x)=-x+ai<x-Ur2a5x-3a,X>所以加(X)=华制所以?,解得()a!335x+3a,X3当av时，/(x)=*x-a-<xcaj-3a,x>-2所以几G)=/停H所以-g解得-2"033_.11综上，a一33解法二：由齐次化思想，令X=皿rR）,则原不等式为同2-l+d3-2/转化为同2f-1+3r-2|对任意tR恒成立B(2r-l+3z-2)m,n=所以同g,解得Tg2015年浙江第18题3.设函数/(x)=X2+ax+b(a,bR),记M(,b)为y=(x)在一1,1上的最大值(1)设2,求证：M(a,b)2(2)若M(峭2,请求出同+网的最值。证明：(D因为对称轴=-l或A)=-$1Va)1.=max(F,f=maxl+q,+矶证法一：规划视角|a+/?+l|1-+|<>(?+1)2+2t7(/?+l)+a2(?+1)2-2t(/?+1)+<=>«(/?+)0故V(X)1.X=max|1+。+4，|1。+4=，Z7+l+«,4a(b+l)>0.,又结合“2,M+l-,4a(b+l)011可以从规划视角来解题，以。为横坐标，为横坐标建系,目标函数"l+4=拒也全"视为可行域内的点（。力）到直线x+y+l=O的距离的6倍,显然当（。力）取点（一2,-1）时M+1+M"hl=企=2画出可行域；4(b+l)>0MN2如图1所示,目标函数卜4+b=0上“营”视为可行域内的点(到直线r+y+l=O的距离2的拒倍,显然当()取点(2,-1)时I"1-".=2综上，M(a9b)2证法二：绝对值不等式V(X)1.=max(-1)中(1)=max1+4+研l+闿+|一+方|。+1)-(+)|=i2-2l'解法三：M(o,/?)=maxl+项1-4+矶令。+1=/,则M(a=g(f)=max,+4Jf-在同一个坐标系中画出=+4和%=一。|的图象，两者取其大，则显然当，=0时，g(%T42故历(,0)2(2)解法一：规划视角(1)=+z.+12(-l)=-6+l2O一2。+匕+12-2-a+b+i2<><一8-488-a-3b-a-a-3ba+22J"J44显然又是一个规划问题了。以。为横坐标，为横坐标建系，画出可行域如图中ABC的蓝色部分。这里画图时注意到上下两条抛物线恰与两条直线相切(这里命题人命题时可能又是两边夹的应用)M()2<=><=-42（当然这个目标函数也可以理解为一个正方形逐渐变大）显然当（。力）在第一象限（含坐标轴）时，目标函数"+力0,l当（。,与在第二象限时，目标函数一.+b0,3当（a,b）在第三象限时，目标函数一。-b0,3当（）在第四象限时，目标函数4-b0,l综上，同+网的最大值为3,最小值为0。解法二：显然时+网0,而=b=O时，f（x）=x2,M（三）=M（0,0）=l2,所以4=b=O可以取到，所以（k+MDmin=O"l)=l+i2U(T)I=I-+b2又由的逆否命题可知当M（。2时，必有时2,=>4l+6+Z7+l-tz+2+2=>-3Z7l(i)若O<bl,则14+网2+l=3Gi)若一3b0,则弋-l,l,f-=+b-Ma.b)-222（Il'2所以06-2+%,从而同+M同+2-三=一四一1+334412,当且仅当=2,=一1时，/（x）=x2+2x-l,（a,b）=2,同+网=3综上，同+网的最大值为3,最小值为0。解法三：显然向+M0,而"=0时，/(x)=x2,M(o,Z?)=M(0,0)=l<2,所以=0=0可以取到，所以(回+例1.n=。/(I)=l+Z?”苴/-/)由=>6一1)=+",=1(1)÷(-1)÷2故同+例=3|/(1)一/(一1)|+；|/(1)+一1)+2区3|1)一/(一1)|+；|川)+/(-1)|+1故4+Wv+/I或同+同+(T)I又(土)归2,故问+M34.(2015重庆理科第16题)若函数Fa)=IX+l+2x-的最小值为5,则=.解法一：按照VTmT两类分类讨论，画出力=卜+1|+2k-4的折线图，图象最低点的纵坐标为5,求得=-6或=4解法二：由题意得x+l+2x-5,从而r-g-设X(X)=K-(X)=I-g（x）=-的图象是以（,0）为顶点的开口向上的“图。MX）=3一曲!1的图象是以（"为顶点的开口向下（开口比g（x）=k-a的图象开口大）222）的“V”形图，且与,、轴交点的坐标为（<0卜（4,0）。当=-6或=4时，,一闻之与工，所以若函数力=x+l+2x-的最小值为5,则=-6或=45已知"Z?eR,对任意满足0x<1的实数I,都有ax+Z?|1成立，则IIoa+7母+|10”74的最大值是.解法一：显然IlOa+7力|+|10。-74=max20,14于是问题转化为求同,Ml的最大值当X=O时，容易得到Ml1,由图可知直线）=O¥+在0x1上的值域为卜1,1的子集，于是斜率必然在-2,2内，故2从而当"=2力=T时，原式取到最大值为40解法二：绝对值不等式因为/(O)=例1J=4+Wl故Id=Ka+b)-b4+b+W2，同解法一练习：若对任意满足Txl的实数一都有“+7+c1成立，则的取值范围是如图，易得-22点评：本题就是将一次函数转变为二次函数，异曲同工。6.(2012杭州一模)设对任意实数x>0,y>().若不等式x+历(x+2y)恒成立,则实数Q的最小值为，1+世X+解法一：a令E=''则g(')=l÷r1+2x+2y令1+f=相，则g(r)=1+/l+2r2m_11+2(/77-1)22w+-41_26+46+226-484故”的最小值为竽解法二：待定系数法解得k=#22'故(+2y