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2024球内接几何体的计算专题：球内接几何体的计算【例1】（2016福建漳州5月质检）三棱锥S-ABC中，SBJ平面ABC,SB=邪,ABC是边长为G的正三角形，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为（）A.311B.511C.9万D.12兀【例2】（2008年富考浙江卷理科14）已知球O的面上四点A、B、C、DD4_1.平面ABC,AB±BC,DA=AB=BC=y3,则球O的体积为./Z）【变式】（1）（2016年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三联考）三棱柱ABCA1BG各顶点都在一,个球面上，侧棱与底面垂直，NACB=I20°,CA=CB=26,M=4,则这个球的表面积为.【变式】（2）在三棱柱A4C-A4G中，侧棱AAl垂直底面，ZC4=90°,NBAC=30°,4C=l,且三棱柱A8C-A4G的体积为3,则三棱柱A8C-A4G的外接球表面积为.【变式】（3）个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A.211B.4&C.3兀D.123【变式】（4）（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学理科10）已知三棱柱ABC-A旦G的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB±AC,A41=12,则球O的半径为（）A.型B.210C.D.31022【例】在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且4V"1.MV,若侧棱SA=20,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是.【变式】（1）已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=书,BC=",AC=2,则此三棱锥的外接球的体积为（）a8R8艮r16n32A.-7D.TCC.7tD,1,J3333【变式】（2）（莆田市2017届高三3月教学质量检查）如右上图，网格纸上小正方形的边长为1.粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在球O的球面上,A.257B.50万C.754D.100万【例】在三棱锥A-ACD中，AB=CD=2,AD=BC=EAC=BD=6,则三棱锥A88外接球的表面积为.【变式】（1）在四面体ABCD中，AB=8=6,AC=E）=4,AD=BC=5,则四面体ABCD的外接球表面积为.5行【变式】（2）（2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊）AB,G。四点在半径为；一的球面上,且AC=B£>=5,AD=BC=a,AB=CD,则三棱锥。一AeC的体积是,【例】在正三棱锥P-ABC中，PA=P8=PC=5,侧棱BA与底面ABC所出的隹头“n。川；玄二捺锥外接球的体积为（.1111B.3C.4乃44D.3【变式】（1）已知正三棱锥P.C,点RA,8,C都在半径为外的球面上，若PAP氏PC两两互相垂直，则球心到截面.C的距离为（）A.立B.也C.立D.亚2332【变式】（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径K=2的球面上，其中底面的三个顶点在半径为r=退的一个球的小圆上，则该正三棱锥的体积是（）3r339Gn33-v93A.B.C.I）.或44444【例】（2014年高考全国大纲卷理科8）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为（）8U4B. 164C. 9兀D.27;T4【变式】四棱锥尸-488的底面是边长为4忘的正方形，侧棱长都等于4正，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为.求数列极限的十五种方法1 .定义法£-N定义：设为为数列，为定数，若对任给的正数£,总存在正数N,使得当>N时，有|4-4<£,则称数列jr收敛于记作：IimqJ=%否则称“为发散数列.11c¢£例1.求证：Iima"=1,其中>O.证：当。=1时，结论显然成立.当白>l时，记="-l,则>0,由=(l+)"l+a=l+(a"-1),得"-l,n任给£>0,贝!)当I=N时，就有a"-l<g,即"一1<£,即Iima"=1.rt*1111当OVaVI时，令b=±,则b>l,由上易知：lim6=l,limn=-ranIim"综上，Iimarl=1,其中>0.例2.求：Iim-.in777789f>0,TN=6!6!77<77_J/7-1w7!6!n7I117"则当>N时，有！-一0-<f；Iim-=O.n6!nn2 .利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列可收敛的充要条件是：6>O,m正整数N,使得当小桃>N时，总有：IlVe成立.例3.证明：数列Z=S畔A=I25=1,2,3,）为收敛数列.证:xn-xnsinn+2"f>0,取N=Jj,当>m>N时，有Iz-XjV£,由柯西收敛准则，数列x,J收敛.例4.（有界变差数列收敛定理）若数列伉满足条件：氏一%|+|%-XM+上一3区"，（=1,2,），则称%为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛.证：令=o,ynn-n-l+-n-2+-2-l那么单调递增，由已知可知：有界，故收敛，从而W£>0,m正整数N,使得当">11>N时，有卜）一丁<£；此即kSk-'J+*1.*2+-&1.<G由柯西收敛准则，数列工收敛.注：柯西收敛准则把£-N定义中的可与的关系换成了。“与4的关系，其优点在于无需借用数列以外的数。，只需根据数列本身的特征就可塞别其致散性.3 .运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.例5.证明：数列£=J+j+&("个根式，a>0,=1,2,)极限存在，并求证：由假设知工="匚；用数学归纳法可证：xdwN；此即证£是单调递增的.事实上，OVxeUVJ+11<ya+>fa+<(+1)2=Ja+1；由可知：X,J单调递增有上界，从而存在，对式两边取极限得：/=而7,解得：/=1+后而和/J-后丽(舍负)；.Hm=上述运.22“24 .利用迫敛性准则(即两边夹法)迫效性：设数列,、也都以。为极限，数列q满足：存在正数N,当>N时，有：ancnb11t则数列cr收敛，且Iimq=.例6.求：Iim(-r-!+-r+).1+2+/l+2+n；X；n2+n+n"w2+/7+1i+1n+n+2n+n+n解：记：怎=一一+一一+，贝J:-+1+2n+7>；x<2(+2n)2(+11+l)从而im-l1.=1.=Iim中+D*x2(÷2n)222(-+w+l)由迫敛性，得：1加(一一+一一+)=-.IX+1n+?+2"+2注：迫致性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用.5 .利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为/(制定义在,句上的一个函数，J为一个确定的数，若对任给的正数£>0,总存在某一正数6,使得对3的任意分割T,在其上任意选取的点集&,ixi.l,xi,只要TV就有X(<)r,-J<,则称函数/(X)在,可上(黎曼)可积，数J为/(%)在口，句上的定积分，记作=f)(x)d.例7.求：Iim(!)'"(2"!)".解：原式=Iim1户巫-Iim1.+1)色+2)二刨=lim(l+-)(l+-)(l+-)T-*zVnnn-*xVnnE1.nJ=explim-ln(l+-)J=exp(*ln(I+x)dx=exp(2In2-1).例8.求:IimIt-W.11.211sinsmn,n,1-r+/7+1J+一.n11sinnn÷l解：因为:.11.211sin-+sn+nn/1+1.n11+sin.11.211,n11sinFsinF+sinnnn1n+-n又:.11.211.n11sin-+sn+sn.Iimj1.=Iim-+1IR/7+11111t.11.211.)、(sin+sin+sn)nnnn.11.211.n11sin+snF+sn.0.lim_»21.=l.fsinzZr=-:w+111j°11.11.211.n11Sin+sin+sn同理：Iim2J1.ff-0n+-n由迫敛性，得：Hm.11.211.乃、sin-sinSIn+-+/1+1,1,12n7注：数列极限为''有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫效性准则等方法进行讨论.6.利用（海涅）妇结原则求数列极限归结原则：Iimf（X）=Ao对任何工0（八8）,有Iim/区）=4.例9.求：Iimg-.n>n例10.计算：Iimfi+-QN_Ip*/解：Iim-=Iim-=(ex)1=1.n->IxI-Onn-M-解：一方面，(1+-y)<(1+-)e(11)；nnn另一方面，d+-=(i+-)d+A2；nnnnn2由归结原则：(取=，=2,3,)，w-11"21”111lim(l+-5-)n-1=lim(l+-)n-1lim(l+-)2=lim(l+-)rt-'=lim(l+-)v=e；nxnnx由迫敛性，得：lim(l+-!7)n=enn'注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决.7.利用施托尔茨（Stolz）定理求数列极限StoIZ定理1:（当）型：若5）是严格递增的正无穷大数列，它与数列xzt一起满足：COlim"%=/,则有lim±=/,其中/为有限数，或+00,或-00.»-*»VV*VJjHlJnStolZ定理2：C）型：若”是严格递
