06第三章复变函数的积分.docx
第三章复变函数的积分§1.复积分的概念一.复积分的定义与计算设。为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线，假如选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向)，那么我们就把C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线.假如A到区作为曲线。的正向，那么B到A就是曲线C的负向,记为。一.定义：设C为Z平面上一条以A为起点，以B为终点的简洁光滑曲线，复变函数/(Z)=,j)+iv(,Iy)在C上有定义.在曲线C上任取A=%。,Z,乙=5将C分为n个小弧段，(zk=Xk+iykfMk=Zk-Zk.=M+iN)在每个小弧段上任取一点Q=媒+，/，作和式S”A=I设；l=maNzJ若当40时，该式的极限存在，且与小弧段的分法及外的取法无关，则称此极限值为复变函数/(Z)="a，j)+iy(,了)在C上从A到6的复积分，记作JJ(ZVZ;若曲线方向改为由3到A,则积分记作c-(z¼.当C为简洁闭曲线时，则此积分记作£/6娅.(规定逆时针方向为C的正向)定理1设/(Z)=MX,J+y)在光滑曲线C上连续，则积分Jj(Z)数存在，且为(z)jz=J"(x,y)dx-v(x,y)dy+1v(x9y)dx+u(x9y)dy.(注：上式在形式上可看做函数/&)=+)与微分改=%+U相乘后得到的，这样便于记忆)特殊地，若C的参数方程为：z()=(z)+iX)(z(t)=z(b)=B9则有JjQMz=JN/y)dx一期(/y)dy+iv(x,y)dx+(巧y)dy=ux(t则)dx«)7(x(A州卜州+iCv(ty(r)M%(r)+(%"),M)My(r)Ja=J：MX,j(0)+MM。j(0),(0+iy'")k%=>(孙(M例1计算,其中C是如图所示:(1)从点1到点，的直线段G；(2)从点1到点O的直线段。2,再从点O到点的直线段i的直线段。3所连接成的折线段C=。2+。3.rdz例2计算!g三ij,其中为任何整数，c为以ZO为中心，r为半径的圆周.例3计算其中C为从原点到点3+4/的直线C段二.复积分的基本性质(1)c()±g(z)kz=Jj(ZVZ±(g(zVz.kf(dz=kcf(dz.ct>=-c.t¼(4)(z¼=c(z¼+c(z¼j其中C=C+JIJCJ(Z)d*Jc"(z)s<M1.(积分估值)例4设C为从原点到点3+4的直线段，试求积分!等模的一个上界。例5试证：IhIzz=°.§ 2 柯西积分定理定理2(柯西定理)设函数/(Z)在单连通域D内解析,则/(N)在D内任一简洁闭曲线C上的积分肯定为零，即(z)tZz=Oe注：当积分曲线C为一般闭曲线时结论依旧成立.定理3设函数/(Z)在单连通域。内解析,ZO与Zl为。内随意两点，G与G为连接z。与曷的且完全含于Z）内的两条简洁曲线，则Jj（ZMZ=JCJ（Z/.例6计算积分人加.其中C是圆周k-1|二1C的上半圆周从O到2.例7计算积分f:dz.4严+1）定理4（闭路变形原理）设G与。2是两条简洁闭曲线，。2含于Cl的内部./（Z）在G与。2所围成的二连通域内解析，且在闭域万=o+G+Cf上连续，则J/GVz=J/（z¼.其中均按逆时针方向取向.推论（复合闭路定理）设C为多连通域。内的一条简洁闭曲线，G«2,C“是在C内部的简洁闭曲线，它们互不包含也互不相交，且以GG,。2,C”为边界的区域全部含于D.假如f(Z)在。内解析，则有JCf(Z)dz=力£_f(z)dz9k=l其中C,G,C2,Q均按左手法则取正向.例8计算,tz其中C为包含O与1的简洁闭曲线.定义：若函数/(Z)在单连通域O内解析，z。为D内随意定点，Z为O内随意动点，C为以NO为起点，以2为终点，且全部含于D内的简洁曲线，由积分/(z)dz所确定的复变函数WZ)称为f(z)在单连通域D内以为起点的变上限积分(或不定积分),即咐=J：/(GMG定理5若函数/(z)在单连通域。内解析，那么,变上限积分所确定的函数MN)=J也在。内解析，且P(Z)=/(z).定义：设在单连通域Z)内，若函数尸恒满意'(z)=(z),则称尸(Z)是f(Z)的一个不定积分或原函数.定理6(复积分的牛顿莱布尼兹公式)设函数/(Z)在单连通域。内解析，GG)是/(Z)的一个原函数，则Jy(z)dz=GoG(ZO),其中。，石为。内的点.b例8计算积分卜成,=0,1,2,."/均为有限复a一数.例9计算JMI+外成其中C是从工到，的直线段.C§ 3 柯西积分公式问题：设3为一单连通域Z。为3中一点如果/(N)在B内解析,那末3在No不解析Z-Zq所以£"少的一般不为零Z“0。为3内围绕&)的闭曲线依据闭路变形原理知，该积分值不随闭曲线C的变更而变更，求这个值.定理7(柯西积分公式)设函数/(Z)在简洁闭曲线C所围成的区域内解析，在万=。+。上连续，Z为O内随意一点，则W=-211jc-z关于柯西积分公式的说明：(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.(这是解析函数的又一特征)(2)公式不但供应了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法，而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是探讨解析函数的有力工具)1f/(G)G(3)在复积分中，称赤上三立为柯西积分.推论1(平均值公式)设函数/(Z)在圆域Z-ZolVA内解析，在圆周IZ-Zol=R上连续，则/)=(小Re.即/(Z)在圆心的值等于它在圆周上的算术平均值.推论2设函数/(Z)在简洁闭曲线GG所围成的二连域。内解析,并在G，G上连续，。2在Cl的内部，2为。内随意一点，则/(Z)=白£的一2J211JGG-Z211jc2-z其中,G均取逆时针方向.例10求下列积分的值：CsinzjZ,出丁成("IE由成例U计算积分+!立力成其中C为不经过0及1点的简洁闭曲线.例12求积分，幺也并证明/丁左G加仍皿=;:.IZI=IZ°定理8(最大模原理)设函数/Q)在区域。内解析，又/(Z)在区域0内不为常数，则在。内/(N)I没有最大值.推论1在区域。内解析的函数，若其模在。的内点达到最大值，则此函数必为常数.推论2若函数/(Z)在区域。内解析,在万上连续，则"(z)必在D的边界上达到最大值.最大模原理说明白解析函数在区域边界上的最大模可以限制区域内的最大模.这也是解析函数所特有的性质.例13设函数AZ)在全平面解析，又对随意r>0,令M(r)=三x(z).求证:M(r)是r的单调上升函数.§4.解析函数的高阶导数定理9设函数/(Z)在简洁闭曲线C所围成的区域。内解析，在万=。+。上连续，则/(Z)的各阶导函数均在。内解析，且对为。内随意一点N,有)=fcz2r211jc(-z)说明：定理9的作用通常不在于通过积分来求导,而在于通过求导来计算某种类型的积分.例14求下列积分的值：fCOSZ.ezj&臼y，上既可N例15求积分,二出,(为整数IZl=IZ定理10(柯西不等式)设函数/(Z)在圆域此一之。IVR内解析，又(z)M(IZ-NJV£),则有不等式鬻()恒成立.在整个复平面解析的函数称为整函数，依据柯西不等式可以得到一个关于整函数的结论.刘维尔定理有界整函数必为常数.例16(代数学基本原理)在Z平面上，次多项式p(z)=a0zn+1z,i1+”至少有一个零点.
