【√】春季概率统计B期未试卷A卷答案（2014[1].6）.docx
名就厦门上学钵在祺桌t耳级主考教师：概率统计教学组试卷类型：（）专业1、（10分）设随机变量X的概率密度为人(X)TU,xOx<0求随机变量丫=，的概率密度（y）解：y=ex9xO,反函数X=Iny,y加y)=,"。叫(Iny)I=0,y其它2、（15分）设2维随机变量（X,Y）的分布律为-101-1a00.200.1b0.2100.1C且EX=-0.2,Pyqx=.5°1）求。,求C的值;2）判断X,Y是否独立;3）判断X,Y是否相关。解：1)+Z?+C=I-0.1x2-0.2x2=0.4,EX=-l×(t+0.2)+l×(0.1+c)=-0.2prox<=pxo,yPX0。+6+0.1C。5,+h+0.5n。=0.2,Z?=0.l,c=0.12) oo.4×o.2,即Px=,y=owPx=-iPy=o,X,Y不独立.3) EX=-0.2,Ey=-IXO.3+l0.5=0.2,E(XY)=xyi×0.2+xylo×O.2+副)0.1=0.2-0.2+0.1=0.1Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)0X,Y相关。3、（20分）设二维随机变量（X,Y）的概率密度为/Uy)=，；'U9O<x<y其它1)求FX(X)；2)求Px+yi;3)判断X,Y的独立性;4)求/(xy)。解：1)x>0,fx(x)=/(x,y)dy=eydy=exif(x)=<x>0x0A(y)=<ye-y>0O,x0显然/(,y)w人(>4(y),.X,丫不独立;4)y>0,当O<x<y时,/(Xly)=/CmO-ef(y)WFaly)=/(,y)f(y)e-y1“=f(y)=i/y，o,OVXCy其他IVY4、(15分)设XN(1,32),yN(O,42),且PXy=-3,设Z=T+万。D求E(Z),D(Z);2)求pxz；3)问X,Z是否相互独立，为什么？解：1)E(Z)=-E(X)+E(Y)=-,323Co-X,y)=夕XyJf>(x)Jr>(y)=-g34=-6,D(Z)=DX+-Dr+ic6>v(X,y)=9+16+(-6)=3VY1111112) CoV(X,+-)=-G(X,X)+-COWX,Y)=-O(X)+-COWX,Y)=-9+-(-6)=O32323232_cov(X,Z)P义7/,一U回距团3)若二维随机向量(X,Y)服从二维正态分布，由多维正态分布的性质，二维随机向量(X,Z)也服从二维正态分布，从而有：QXZ=OoX,Z相互独立。若二维随机向量(X,Y)不服从二维正态分布，二维随机向量(X,Z)也不服从二维正态分布,从而"XZ=O与X,Z相互独立不能等价。/W=x>0x06、(12分)设随机变量,X2,X3相互独立，服从同一分布，且有密度函数(2>0)记X=max(X1,X2),Y2=Yx+X3,求1)X的密度函数；2)八的密度函数。钮八q/、k/、J(>e的Yy,>0解：1)4(y。=尸x(y)尸x,(y)=jn,八，0y10,、2(l-e-)le“*y1>0NyAlOy10O2)x0时+00XAW=J-(xf)dy产j2(lT"eT"e"f>dy-coO二2；Ie-Zt(4x+""-1),、12；IeTX(4x+ed1),x>0f(x)=OXO,x07、(8分)某人有把钥匙和个箱子，一把钥匙对应一个箱子，他将把钥匙随机地放在个箱子上，每个箱子上放一把钥匙，设有y把钥匙被放在正确的箱子上，求y的数学期望。钮v_1,第i把钥匙放在正确的箱云解：K,第i把钥匙放在错误的箱箕''7,'E(y.)=×p(y.=i)=i,i=,2,ny=y+1.+工，E(Y)=n×E(Yi)=I8、(8分)在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。在1年内每人的死亡率为0.1%,参加保险的人在1年的第一天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元。试用中心极限定理求保险公司亏本的概率。(5)=l)o解：设死亡人数为X,XB(3(XX),0.001),保险公司亏本当且仅当2000X>10x3000,即X>15。于是，由棣莫弗一拉普拉斯定理，公司亏本的概率为P(X>=/x7np>、ynp(l-p)ynp(l-p)J=Pp'(3x0.9991.73)1-(6.93)=O2(l-z),Ozlz(z)=9、（8分）在区间0川上随机地投掷两点，试证明这两点间的距离Z的密度函数为:其它证明：设这两个随机点分别为X,Y,则X,Y均服从0上的均匀分布。密度函数为fl0<x<l>/U)=n-O因为Z=IX-YI，所以0具匕zx+z1-zx+zII当0<z5时，B(Z)=/(x,y)=(dy)dx+()+(dy)dx=2z-z1乙x->z00ZX-Z1-zX-ZOzOFz(z)=2z-z2O<z<11zl2(l-z)OOzl其它10、(4分)利用概率论的思想证明：b-2bf(x)dx(Z?-)(x)2dx其中f(x)½a，b上连续。解：设XU,0，则其密度函数为17axbP(X)=yb-a、0其它因为D(X)=f(X)2)-E(X)20所以E(X)2E(X)2)1b因为EfX)=-fx)dxaE(f(X)=-f(xdxb-aa-b-2b所以(x)Jx(b-)(x)丁公2)P(X+rl)=/(x,y)dxdy='23'=-2e+1；x+yl3)y>0,f(y)=JIf(毛y粒=J；e1dx=ye'y
