压轴题03不等式压轴题13题型汇总 （教师版）.docx

压轴题03不等式压轴题十三大题型汇总压轴题解读命题预测本专题考查类型主要涉及点等式与基本不等式的内容，其中涉及了基本不等式与三角函数，正余弦定理，解析几何，集合，函数等内容的结合。预计2024年后命题会在上述几个方面进行，尤其是多圆不等式的考查。高频考法题型01多元不等式最值、取值范围问题题型02基本不等式提升题型03基本不等式与三角函数结合题型04基本不等式与解析几何结合题型05基本不等式与向量结合题型06基本不等式新考点题型07基本不等式与正余弦定理结合题型08指对函数与不等式题型09基本不等式与立体几何结合题型10基本不等式与集合、函数新定义题型11不等式与数列结合题型12基本不等式与函数结合题型13不等式新考点高分必抢题型01多元不等式最值、取值范围问题利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及"1"的代换等应用技巧.1.（2024贵州三模）以maxM（minM）表示数集M中最大（小粕数设>0,>0,c>0,已知a?。+b2c=lt则minmax焉且=-【答案】V2【分析】由a?。+Z,2c=1,得M+=设max,3,R=M,则M,再结合基本不等式求解即clCJabc可.【详解】由2c+b2c=,得小+川二工，设max化1.4=M,则M>MJ,M2=。2+产2必，labCjabc由3M=2MM+M2+2b=+=+2N3,焉得2ab=3短,当且仅当=b=c=专时，取等号，所以m110；,就=V2.故答案为：V2.【点睛】关键点点睛：设max星=M,由已知得出M1=a2+b22ab,进而得出3M2*.盍+2泌是解决本题的关键.2.（2022浙江嘉兴模拟预测）已知正数Q,b满足Q+b=llceRl则。+-+3c2的最小值bc+babc+ab为.【答案】623/-3+62【分析】把给定条件两边平方，代入结论构造基本不等式，再分析计算，并求出最小值作答.【详解】由Q+b=1,得a?+2ab+b2=l,a>0,b>0l则赢+3=&空+=）+犷=六弓+>2）+3c"岛+3（c2+1）-362-3,当且仅当b=2a4=3（c2+1）时取"="，所以当Q=：,6=,。2=或一1时，3：+；+3c2的最小值为6-3.33bc£+babc£+ab故答案为：623【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数,以及"1"的代换等应用技巧.3.（多选）（2024浙江二模）已知正实数Qlb,c,且>b>c,x,y,z为自然数，则满足7+-+>0恒成立的,y,z可以是（）A.x=l,y=lfz=4B.x=l,y=2fz=5C.x=2,y=2,z=7D.x=lly=3,z=9【答案】BC【分析】利用基本不等式T的妙用得到W+£空鲜，进而得到只需（百+y）2>Z即可，再依次判断四个选项即可.【详解】要满足-÷+->O,只需满足白；÷>Ia-bb-cc-a-bb-ca-c其中正实数Q,b,c,且Q>b>c,%,y,Z为正数，X+y=(-b)+S-c)(X+y)abbcac×abbc'=,+S-C)X+(。b)y+ya-c(b)(a-C)(ac)(c)a-c>Xy(b-C)X(a-b)yaca-cJ(a-b)(a-c)(a-c)(b-c)=lyl2后_(4+2a-ca-ca-ca-c,当且仅当房藕=(三S，即(b一c)2'=3一b)2y时，等号成立，观察各选项，故只需咛鸟>三,故只需（4+5D2>Z即可，A选项，X=1,y=l,z=4时，(I+T)2=4,A错误;B选项,x=lly=2,z=5时f(1+2)2=3+22>5,B正确；C选项,x=2,y=2,z=7时r(2+2)=8>7,C正确；D选项，=1,旷=3,2=9时，(71+3)2=4+23<9,D错误.故选：BC.4. （2024河北邯郸三模）记min",z表示×ly,z中最小的数.设a>0,b>0,则mina,强+3耳的最大值为.【答案】2【分析】分a是否大于:进行讨论，由此即可简化表达式，若Q£,则可以得到mina（+3b2,并且存在=2,b=1使得min,+3b=2,同理>加，我们可以证明min,强+3bV2,由此即可得解.【详解】若£,贝!JQb<1,此时min,；+3b=min*+3b,因为QQ+3b)=1÷3ab4,所以和，+3/j中至少有一ZM于等于2,所以mina,；+3bJ2,又当=2,b=,=+3b=2,所以mina*,；+3"的最大值为2.若Q>：,贝Uab>1,此时min,/3+3b=min(÷38,因为：G+3b)=吃+3V4,所以争F+3b中至少有一个小于2,所以min,+3b<2.综上，min+3b的最大值为2.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：关键是分Q是否大于:进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解.5. (2024EJ11德阳模拟预测)已知正实数X,y,z满足M+移+yz+初+%+z=6,则3x+2y+z的最小值是.【答案】43-2【分析】因式分解得到X+Z=G,变形后得到3x+2y÷z=2(x+y)+G,利用基本不等式求出最小值.【详解】因为y,z为正实数，故/+xy+yz+xz+x÷z=6=>(x2+xz)+(xy+yz)+(x+z)=6,RPx(%+z)+y(x+z)+(x+z)=6=>(x+y+l)(x+z)=6=>x+z=JG,63x+2y÷z=2(x÷y)+(x+z)=2(X÷y)+旷+j=2(x+y+D+f-22j2(%+y+l)E-2=46-2,当且仅当2(%÷y+1)=热M,即+y=百-1,此时+z=23,所以3x÷2y+Z的最小值为45-2.故答案为：4百-2题型02基本不等式提升在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是"一正一各项均为正;二定积或和为定值；三相等一等号能否取得"，若忽略了某个条件，就会出现错误.6. (2024全国模拟预测)若实数a,bzc满足条件：e+c+e÷fc-c=2e2(-1),则前上的最大值是一【答案】f【分析】由基本不等式可得d-2Q-1.利用导数证明不等式e'x+l,进而e>2>-l,Jjyefl-2=a-lt解出a、b=c,得=言，再次利用基本不等式计算即可求解.【详解】由基本不等式，得2e2(-1)=ea-b+c+ea+b-c2ed+cea+b-c=2ea,即所-2<a-当且仅当Q-b+c=+b-c,即b=C时等号成立.设f(%)=e*%l,f,(y)=ex1,令/'()VonXV0J'()>0=>X>0,所以函数f(x)在(-8,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增，所以f(x)min=/(0)=0/则/(x)0,BPeXx+l,令X=Q-2,得e。-2-2+l=-1,所以e。-2=Q1,解得Q=2,由Qb+c=a-b-C1得b=c.所以/*=总=心工*=¥，当且仅当b=底时，取得等号故贵的最大喑故答案为：弓7. (2024全国模拟预测)已知>0,y>0a%+y=l,则+七的最小值为()1R-r1n-M,50-5U*5U-5【答案】B【分析】由基本不等式和X+y=1可得0V盯；,化简可得/7+72=管»令*=3-2xy,利用换元法，结合对勾函数的性质计算即可求解.【详解】因为第+y=l,所以X+y=l2后,当且仅当=y=胡寸等号成立，所以0<xyW；.因为+_(l+2)+(+y2)_2+y2_2+(Xly)2-2Xy_3-2秒jl+x2l+y2-(l+x2)(l+y2)l+x2+y2+x2y2l+(x+y)2-2xy+x2y22-2xy+x2y2*令t=3-2xy,则t!,3),xy=,所以二一+=4t=,111hi+x2l+y22-(3-t)t(30t2-2t+5t-2+三由对勾函数y=%+诳串3)上单调递增，则当=I时函数取到最小值，所以当V时，+枭忘=£2所以7+T=聆+锌=2一岛+)2鸿.故选：B.8. (2024江苏苏州模拟预测)已知">0,b>0"与"+b=1"互为充要条件，则?+黄和?+H号”的最小值之和为.【答案】23【分析】根据+b=1配凑原式，使得相乘可得一个常数，再利用基本不等式即可求解.【详解】1+=+=i+i+2=5,ababab7ab当且仅当2=F,即Q=时取等号；ab33118+48_(+b)(+b)8(+些a+b+a2+b2ab+2+b2ab+a2+b2=2+<+8+聋=10+呼+等10+2畔书=8,aba2+b2aba2+b2jaba2+b2当且仅当M=黑,22=aba+b=1Q+b1解得b=2时取等号，所以十+骸+/舟=誓+/的最小值之和为5+18=23.故答案为：23.9. (2023全国模拟预测)已知4,+),y(0,5,z(0,l,则千詈+节的最小值为【答案】2+2222+2【分析】将殁等+等变形为；+翳+?/2,然后用基本不等式求解得+翳+C+2x>zyX>>z/y/yX十/Z,y4y2+2,再根据取等号的条件可得；夸=7判断出油范围进而判断得三的范围,可得g2f/yyX+zz+xy/y可得所求最小值.【详解】3+2三2+(x÷)÷3x三+x12z+.x+2>2/I+1.x+2=V2+|+2,x+2zyx+2z2yx+2z2y2y22y2y当且仅当号=詈，即2y2=(+2z)2时取"=",此时;=x+2z=i,*e4,+),z(0,1,-W(O,%.V乌=警，.产,X4Jy+32y.JC2÷22,此时X=4fy=32,z=1.故答案为：2+22【点睛】求解本题的关键是将原式变形为氏+詈+H+2,根据基本不等式求最值氏+詈+表：+22+2f由取等号的条件，化简得=,从而求解的范围.ZyyXaVzz+y10. (2023天津武清模拟预测)已知>O,b>O,c>0,blog42+4clog162=q,则竺J+TT最小4C*A值为【答案】6【分析】利用对数运算找出b,c的关系，利用导数求出誉的最小值，再利用基本不等式即可求出最值.【详解】由blog42+4clog162=9，log42=；,log162=g,/O胡力+4cx1=4,所以b+c=6,即b=-c,因为b>0,c>0,所以0<c<6；所以詈=/+2_C2+2