设计性试验和综合性试验.ppt

实验一实验一 复利问题复利问题q 实验目的实验目的1.加深对函数极限概念的理解2.讨论极限在实际问题中的应用3.会用Matlab命令求函数极限掌握极限概念，Matlab软件求函数极限的命令limitq 实验要求实验要求基础实验一基础实验一 函数极限函数极限(设计性实验设计性实验)q 实验内容实验内容 复利，即利滚利。不仅是一个经济问题，而且是一个古老又现代的经济社会问题。随着商品经济的发展，复利计算将日益普遍，同时复利的期限将日益变短，即不仅用年息、月息，而且用旬息、日息、半日息表示利息率。现在我们已进入电子商务时代，允许储户随时存款或取款，如果一个储户连续不断存款和取款，结算本息的频率趋于无穷大，每次结算后将本息全部存入银行，这意味着银行不断地向储户支付利息，称为连续复利问题。若银行一年活期年利率为0.06，那么储户存10万元的人民币，如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，由于复利，显然这比一年结算一次要多，因为多次结算增加了复利。结算越频繁，获利越大。连续复利会造成总结算额无限增大吗？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为百万富翁？基础实验一基础实验一 函数极限函数极限(设计性实验设计性实验)q 实验方案实验方案设本金为设本金为p，年利率为，年利率为r，若一年分为，若一年分为n期期(即储户结算频率即储户结算频率为为n)，每期利率为，每期利率为r/n,存期为存期为t年，依题意，第一期到期年，依题意，第一期到期后利息为后利息为 本金本金*利率利率=p*r/n第一期到期后的本利和是第一期到期后的本利和是本金本金+利息利息=p+p*r/n=p(1+r/n)基础实验一基础实验一 函数极限函数极限(设计性实验设计性实验)因规定按复利计息，故第二期开始时的本金为第二期到期后的利息应为p(1+r/n)本金*利率=p(1+r/n)*r/n第二期到期后的本利和是本金+利息=p(1+r/n)+p(1+r/n)*r/n=p(1+r/n)2 ，第n期到期后的本利和是 p(1+r/n)n存期为t年(事实上是有tn期)，到期后的本利和为 p(1+r/n)tn随着结算次数的无限增加，即在上式中n,t=1年后本息共计nnnr)/1(100000lim 10.6184(万元)基础实验一基础实验一 函数极限函数极限(设计性实验设计性实验)随着结算次数的无限增加，一年后本息总和将稳定于10.6184万元，储户并不能通过该方法成为百万富翁。实际上，若年利率为r，一年结算无限次，总结算额有一个上限，即100000*exp(r)元。它表明在n时，结果将稳定于这个值。而且用复利计息时，只要年利率不大，按季、月、天连续计算所得结果相差不大。基础实验一基础实验一 函数极限函数极限(设计性实验设计性实验)q 实验过程实验过程a=100000*exp(3/50)一年结算无限次，总结算额有上限为 syms n ra=limit(100000*(1+r/n)n,n,inf)a=100000*exp(r)nnnr)/1(100000lim syms na=limit(100000*(1+0.06/n)n,n,inf)基础实验一基础实验一 函数极限函数极限(设计性实验设计性实验)实验二实验二 最优价格问题最优价格问题q 实验目的实验目的1.加深对微分求导，函数极值等基本概念的理解2.讨论微分学中的实际应用问题3.会用Matlab命令求函数极值q 实验要求实验要求掌握函数极值概念，Matlab软件中有关求导命令diff基础实验二基础实验二 函数的导数函数的导数(设计性实验设计性实验)q 实验内容实验内容 某房地产公司拥有100套公寓当每套公寓的月租金为1000元时，公寓全部租出。当月租金每增加25元时，公寓就会少租出一套。1.请你为公司的月租金定价，使得公司的收益最大，并检验结论 2.若租出去的公寓每月每套平均花费20元维护费，又应该如何定价出租，才能使公司收益最大基础实验二基础实验二 函数的导数函数的导数(设计性实验设计性实验),)1(元设每套公寓月租金 x则少租出251000 x实际租出251000100 x收益为)251000100()(xxxR35001000 x252140)(xxR q 实验方案实验方案0252140)(xxR令即1750 x基础实验二基础实验二 函数的导数函数的导数(设计性实验设计性实验)检验套，元，少租出3025100017501750 x套，实际租出70公司有租金收入元元多2250012250070*1750 收入套全部租出时公司租金比100100000100*1000 基础实验二基础实验二 函数的导数函数的导数(设计性实验设计性实验)f=inline(-x*(100-(x-1000)/25)a=fminbnd(f,1000,3500)x=-f(a)f=Inline function:f(x)=-x*(100-(x-1000)/25)a=1750 x=122500(1)q 实验过程实验过程基础实验二基础实验二 函数的导数函数的导数(设计性实验设计性实验)金收入每套租出公寓实际月租元，元再提高设每套公寓月租金在x1000)2(元，)201000(x套共租出25100 x 25000)25100)(201000()(xxxxR收益为：)251)(980()25100()(xxxR处在故，得令760)(,0252)(.7600)(xxRxRxxR取得极大值基础实验二基础实验二 函数的导数函数的导数(设计性实验设计性实验).760)(25000处取得最大值在上只有一个驻点，故，在 xxR最大元时，才能使公司收益即每套公寓的月租金为1760基础实验二基础实验二 函数的导数函数的导数(设计性实验设计性实验)(2)f=inline(-(980+x)*(100-x/25)a=fminbnd(f,0,2500)f=Inline function:f(x)=-(980+x)*(100-x/25)a=760 q 实验过程实验过程基础实验二基础实验二 函数的导数函数的导数(设计性实验设计性实验)实验三实验三 相关变化率相关变化率q 实验目的实验目的q 实验要求实验要求1.加深对复合函数、相关变化率的理解2.通过实例学习用微分知识解决实际问题3.熟悉Matlab命令求复合函数，符号函数求微分掌握复合函数求微分、相关变化率应用，熟练应用Matlab软件中求复合函数，符号函数求微分命令基础实验二基础实验二 函数的导数函数的导数(设计性实验设计性实验)有一个长度为5m的梯子贴靠在垂直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速率离开墙脚而滑动，求 1.当其下端离开墙脚1.4m时，梯子的上端下滑之速率为多少？2.何时梯子的上下端能以相同的速率移动？3.何时其上端下滑之速率为4m/s？q 实验内容实验内容基础实验二基础实验二 函数的导数函数的导数(设计性实验设计性实验)设t=0时，梯子贴靠在墙上，在时刻t（秒）时，梯子上端离t=0时位置的距离为S米，梯子下端离开墙脚的距离为x米，则有tx3 2255xs q 实验方案实验方案基础实验二基础实验二 函数的导数函数的导数(设计性实验设计性实验)1.梯子的上端下滑之速率dtdxdxdsdtds 352222 xx2253xx 当x=1.4m时，)/(875.04.1254.132smdtds 2.梯子上、下端相同速率处，dtdxdtds 32532 xx即 2252 x解得25,54.325 xx(舍去)基础实验二基础实验二 函数的导数函数的导数(设计性实验设计性实验)即当梯子下端离开墙脚的距离是3.54m时，梯子的上、下端的相同的速率移动.3.4 dtds42532 xx即 解得 x=4，-4（舍去）.即当梯子下端离墙脚4m时,其上端下滑之速度为4m/s.基础实验二基础实验二 函数的导数函数的导数(设计性实验设计性实验)q 实验过程实验过程(1)syms x t f=5-sqrt(52-x2);x=3*t;a=compose(f,x);c=diff(a,t);b=subs(c,t,x/3);d=subs(b,x,1.4);numeric(d)ans=0.8750基础实验二基础实验二 函数的导数函数的导数(设计性实验设计性实验)(2)syms x a=solve(3*x)/sqrt(25-x2)-3,x)a=5/2*2(1/2)(3)syms x a=solve(3*x)/sqrt(25-x2)-4,x)a=4基础实验二基础实验二 函数的导数函数的导数(设计性实验设计性实验)基础实验三基础实验三 一元函数的积分一元函数的积分(设计性实验设计性实验)实验一 树的高度问题q 实验目的实验目的1.加深对积分概念的理解2.使用积分理论解决实际问题3.熟悉Matlab命令求不定积分，解数值方程掌握积分概念，Matlab软件中求不定积分命令q 实验要求实验要求 有一种快速生长的树，为了衡量它是否有种植的经济价值(如作为木柴)，人们要求该树在5年内(t=6，在种植时已生长一年)至少生长6m，如果树的生长速度为1.2+5t-4(m/年)，其中t为年数.若种植时（t=1），树已有1m高，试问种植此树是否有经济价值。q 实验内容实验内容基础实验三基础实验三 一元函数的积分一元函数的积分(设计性实验设计性实验)q 实验方案实验方案树的高度，由题意可得Cttdttth 34352.1)52.1()(将t=1代入，得c 352.11即1522 c1522352.1)(3 ttth)(66.8152263562.1)6(3mh )(66.7166.8)1()6(mhh 基础实验三基础实验三 一元函数的积分一元函数的积分(设计性实验设计性实验)syms t f=int(1.2+5*t(-4)f=6/5*t-5/3/t3 clear syms c c=solve(1.2-5/3+c-1,c)c=1.4666666666666666666666666666667即种植树5年后，树高8.66m，比种植时的1m长高了7.66m，超过至少生长6m的要求，种植此树有经济价值。q 实验方案实验方案q 实验过程实验过程基础实验三基础实验三 一元函数的积分一元函数的积分(设计性实验设计性实验)实验二 生日蛋糕问题掌握积分概念，Matlab软件中有关积分计算的命令q 实验目的实验目的1.应用数值积分方法，加深对积分概念的理解2.通过实例学习用数值积分知识解决面积、体积计算 等实际应用问题3.学习使用Matlab软件中有关积分计算的命令q 实验要求实验要求基础实验三基础实验三 一元函数的积分一元函数的积分(设计性实验设计性实验)一个数学家即将要迎来他九十岁生日，有很多的学生要来为他祝寿，所以要定做一个特大蛋糕。为了纪念他提出的一项重要成果口腔医学的悬链线模型，他的弟子要求蛋糕店的老板将蛋糕边缘圆盘半径做成下列悬链线函：r=2-(exp(2h)+exp(-2h)/5，0h1(单位m)q 实验内容实验内容基础实验三基础实验三 一元函数的积分一元函数的积分(设计性实验设计性实验)由于蛋糕店从来没有做过这么大的蛋糕，蛋糕店的老板必须要计算一下成本。这主要涉及两个问题的计算：一个是蛋糕的质量，由此可以确定需要多少鸡蛋和面粉；另一个是蛋糕表面积(底面除外)，由此确定需要多少奶油。q 实验内容实验内容基础实验三基础实验三 一元函数的积分一元函数的积分(设计性实验设计性实验)q 实验方案实验方案 首先分析一个圆盘形的单层蛋糕，如图所示，绕水平中心轴旋转而成，若高为H(m)，半径为r(m)，密度为k(kg/m3)，则蛋糕的质量(kg)和表面积(m2)为HrkW2 22rrHS 基础实验三基础实验三 一元函数的积分一元函数的积分(设计性实验设计性实验)如果蛋糕是双层圆盘的，如图所示：绕水平中心轴旋转而成，每层高为H/2，下层蛋糕半径为r1，上层蛋糕半径为r2，此时蛋糕的质量和表面积为2/)(2/2/22212221HrrkHrkHrkW 21212121)(2/22/2rHr