信号频域分析教学PPT机械工程测量技术.ppt

14.3信号的频域分析信号的频域分析时域分析时域分析 描述信号幅值随时间变化的特征描述信号幅值随时间变化的特征功率谱密度函数功率谱密度函数相干函数相干函数 是研究在频域平稳随机过程的重要方法。是研究在频域平稳随机过程的重要方法。倒谱分析倒谱分析频域分析频域分析 描述信号的频率结构描述信号的频率结构 和和 各频率成分的幅值大小。各频率成分的幅值大小。分析特点分析特点分析方法分析方法2 称为能量谱，是沿频率轴的能量分布密度。称为能量谱，是沿频率轴的能量分布密度。dffXdttx22|)(|)(2|)(|fX4.3.1功率谱密度函数功率谱密度函数帕斯瓦尔（帕斯瓦尔（PasevalPaseval）定理）定理在时域中信号的总能量，等于在频域中信号的总能量。在时域中信号的总能量，等于在频域中信号的总能量。两个时域函数乘积的富变，两个时域函数乘积的富变，等于各自富变的卷积。等于各自富变的卷积。【参见教材参见教材P19 P19】3设有傅里叶变换对：设有傅里叶变换对：00f即即证明：证明：)(22fXtxdffXdttx22|)(|)(帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理)(11fXtx按照频域卷积定理，有按照频域卷积定理，有 fXfXtxtx2121)(dfffXfXdtetxtxtfj021221)(0令令有有 dffXfXdttxtx2121)(又令又令 txtxtx21并注意并注意 是实数，则是实数，则 ，tx fXfX*)(所以所以tdtx)(2 dffXfX*)(dffX2带入带入(-f)(-f)后，仅后一项改变后，仅后一项改变符号，所以有符号，所以有dtetxfXftj2)()()(j)()2sin()(j)2cos()(fXfXtdtftxtdtftxIR奇偶虚实性奇偶虚实性 fXfX*)(4功率谱密度函数的定义功率谱密度函数的定义 自功率谱密度函数自功率谱密度函数 随机信号的随机信号的“自谱自谱”是该随机信号的是该随机信号的 自相关函数的傅立叶变换，自相关函数的傅立叶变换，即即deRfSfxx2j)()(它的逆变换为：它的逆变换为：fdefSRfxx2j)()(自功率谱密度函数的图形解释自功率谱密度函数的图形解释5自相关函数是实偶函数，自相关函数是实偶函数，亦为实偶函数。亦为实偶函数。中包含着的全部信息。中包含着的全部信息。)(fS)(R)(xR)(fSx6互功率谱密度函数互功率谱密度函数 两个随机信号的（互谱）是这两个随机两个随机信号的（互谱）是这两个随机 信号的互相关函数的傅立叶变换，信号的互相关函数的傅立叶变换，即即 其逆变换为：其逆变换为：deRfSfxyxy2j)()(fdefSRfxyxy2j由此可见：由此可见：功率谱密度函数与相关函数是一对傅立叶变换对。功率谱密度函数与相关函数是一对傅立叶变换对。互相关函数并非偶函数，互相关函数并非偶函数，因此具有虚、实两部分，因此具有虚、实两部分，同样，保留了的全部信息。同样，保留了的全部信息。)(xyR)(fSxy)(fSxy)(xyR7 、是随机信号的频域描述函数，是随机信号的频域描述函数，但是不能对随机信号直接进行傅里叶变换，但是不能对随机信号直接进行傅里叶变换，因为不满足迪里赫利条件，即随机信号的积分不收敛，因为不满足迪里赫利条件，即随机信号的积分不收敛，无法直接得到频谱。无法直接得到频谱。fSxy fSx而均值为零随机信号的相关函数在而均值为零随机信号的相关函数在 时是收敛的，时是收敛的，即即 ；可以满足傅里叶变换条件，；可以满足傅里叶变换条件，据傅里叶变换理论，据傅里叶变换理论，是绝对可积的。是绝对可积的。0 xR xR功率谱密度函数的物理意义功率谱密度函数的物理意义a.功率谱求解式的说明功率谱求解式的说明 当时，当时，随机信号的随机信号的 若若 则则2)(xxR0 x0)(xR自然随机噪声自然随机噪声8根据相关函数的定义，当根据相关函数的定义，当 时，有时，有0tdTtxtdtxTtdtxtxTRTTTTTTx00220)(lim)(1lim)0()(1lim)0(又因为又因为tdTtxfdfSTT02)(lim)(功率谱密度函数功率谱密度函数 与时历信号与时历信号 的关系的关系)(fSx()x tfdefSRfxx2j)()(所以有所以有 dffSfdefSRxfxx02j)()0(9或者说：或者说：曲线下的总面积就是信号的总功率，曲线下的总面积就是信号的总功率，由无数不同频率上的功率元组成。由无数不同频率上的功率元组成。表示表示信号的功率密度沿频率轴的分布信号的功率密度沿频率轴的分布，故称为故称为功率谱密度函数功率谱密度函数。fdfSx)(上式表明：上式表明：是信号的能量，是信号的能量，是信号的功率，是信号的功率，是信号的总功率，是信号的总功率，与曲线下的总面积相等。与曲线下的总面积相等。)(fSxTtx/)(2TTtdTtx02)(lim)(2tx)(fSx)(fSxb.功率谱物理意义功率谱物理意义tdTtxfdfSTT02)(lim)(dffXdttx22|)(|)(帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理能量谱能量谱10则信号在整个时间轴上的则信号在整个时间轴上的平均功率平均功率为：为：dffXdttx22|)(|)(2)(1lim)(fXTfSTxc.各种谱的关系各种谱的关系自功率谱密度自功率谱密度()xSf能量谱能量谱2()Xf幅值谱幅值谱()Xf由由帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理，总能量关系：，总能量关系：2211lim()lim|()|avTTPx t dtX fdfTTtdTtxfdfSTT02)(lim)(比较各式有：比较各式有：自功率谱密度函数等于能量谱除以自功率谱密度函数等于能量谱除以T。相等相等11可用频率在范围内的频谱可用频率在范围内的频谱来表示信号的全部功率谱来表示信号的全部功率谱并称为信号的单边谱。并称为信号的单边谱。工程实际问题的频率分析都是正频率工程实际问题的频率分析都是正频率 即用单边谱即用单边谱自谱自谱是是偶函数偶函数，对称于纵轴。，对称于纵轴。频率从到，故又称为双边自谱。频率从到，故又称为双边自谱。0f)(fGx双边谱双边谱)(2)(fSfGxx单边谱单边谱12自谱与幅值谱的关系自谱与幅值谱的关系 自功率谱密度函数反映信号的频域结构，自功率谱密度函数反映信号的频域结构，与幅值谱相似，与幅值谱相似，但自谱反映信号幅值的平方，其频域结构特征更为明显。但自谱反映信号幅值的平方，其频域结构特征更为明显。)(fSx()Xf134.3.2功率谱的应用功率谱的应用用功率谱密度函数用功率谱密度函数 求系统的频率响应函数求系统的频率响应函数对于线性系统对于线性系统的频率响应函数为：的频率响应函数为：或或)(fH)()()(fXfYfH)()()(fXfHfY)(fX)(fY)(ty)(tx)(th)(fH14则有则有（4-44）或或)()()(fXjfXfXIR)()()(fXjfXfXIR222)()()()()(fXfXfXfXfXIR)()()()()()()()()(fGfGfSfSfXfXfXfYfHxxxyxxxy)(/)()(fSfSfHxy频响函数的模等于频响函数的模等于 输出信号的自谱输出信号的自谱与与输入信号的自谱输入信号的自谱 之比的平方根。之比的平方根。结论结论系统的频率响应函数可以系统的频率响应函数可以由由输入、输出信号之间的互功率谱密度函数输入、输出信号之间的互功率谱密度函数与与输入信号的自功率谱密度函数输入信号的自功率谱密度函数之比来求得。之比来求得。【推导见推导见 下页下页】2)(1lim)(fXTfSTx自功率谱密度函数等于能量谱除以自功率谱密度函数等于能量谱除以T。15454)(/)()(fSfSfHxy即即 22*2*()()()()()()yyxxYfSfY fYfHfHf HfXfXfSfXf可证：可证：*YfYfajbajbHfHfXfcjdcjdXf如果：则16而利用（而利用（4-44）式，对于单输入、单输出的理想线性系统有）式，对于单输入、单输出的理想线性系统有通过输入、输出的自谱运算求得，能得到系统的幅频特性。通过输入、输出的自谱运算求得，能得到系统的幅频特性。但这样的谱分析丢失了相位信息，不能得到系统的相频特性。但这样的谱分析丢失了相位信息，不能得到系统的相频特性。464)()()(fSfHfSxxy)()()(2fSfSfHxy)454()()()(2fSfHfSxy利用上式所得到的利用上式所得到的 ，不仅含有幅频特性，还含有相频特性，不仅含有幅频特性，还含有相频特性，这是因为这是因为互功率谱密度函数含有相位信息。互功率谱密度函数含有相位信息。记记或或)(fH fH频响函数的模频响函数的模17)()()()()(321tntntntxty利用互谱排除噪声影响利用互谱排除噪声影响系统的输出系统的输出)(tx)(tx)(1tn)(1tn)(2tn)(2tn式中系统对输入信号的响应；式中系统对输入信号的响应；系统对输入噪声的响应；系统对输入噪声的响应；系统对中间环节噪声的响应；系统对中间环节噪声的响应；输出噪声。输出噪声。)(3tn18因为因为 与各种噪声独立无关，对应的互相关函数均为零与各种噪声独立无关，对应的互相关函数均为零 （相互独立，互不相关）（相互独立，互不相关）所以所以 亦即亦即)()()()()(321nxnxnxxxyxRRRRR0)(1nxR0)(2nxR0)(3nxR)()(xxyxRR)()()()(fSfHfSfSxxxyx输入输出的互相关函数为输入输出的互相关函数为 tx【互相关函数有此关系，互谱便有此关系互相关函数有此关系，互谱便有此关系】)()(fSfSxxyx)(/)()(fSfSfHxxy结论结论：a、不受噪声影响，这是这种分析方法的突出特点；不受噪声影响，这是这种分析方法的突出特点；b、但求线性系统的、但求线性系统的 时，时，中无法排除输入端噪声的影响，中无法排除输入端噪声的影响，会在一定程度上形成测量误差。会在一定程度上形成测量误差。)(fSyx)(fSx)(fH19异常异常正常正常汽车变速箱功率谱图汽车变速箱功率谱图功率谱在设备诊断中的应用功率谱在设备诊断中的应用从图中可以看出：从图中可以看出：工作异常工作异常时的功率谱图时的功率谱图比比工作正常工作正常时的功率谱图时的功率谱图 多两个谱峰多两个谱峰 为设备的故障诊断提供了为设备的故障诊断提供了依据。依据。汽车变速箱上加速度信号的功率谱汽车变速箱上加速度信号的功率谱20危危险险的的旋旋转转转转速速不同转速工况下不同转速工况下两个阶次发生共振两个阶次发生共振瀑布图瀑布图 各转速下的功率谱组合成为转速功率谱三维图，各转速下的功率谱组合成为转速功率谱三维图，称为瀑布图。称为瀑布图。转速转速-频率频率-功率谱功率谱删减：1）p 71（5）坎贝尔图；211.相干函数的定义相干函数的定义 是评价是评价测试系统测试系统输入信号和输出信号之间的因果性的指标输入信号和输出信号之间的因果性的指标，即输出功率谱中有多少是被测输入量所引起的响应。即输出功率谱中有多少是被测输入量所引起的响应。定义为定义为：【*参考（下页）相关系数】)1)(0()()(|)(|)(222ffSfSfSfxyyxxyxy1)()()()()()()()()()(|)(|)(222fSfSfSfSfSfSfSfHfSfSfSfyxxyyxxyxxyxy对于线性系统，对于线性系统，输出响应完全是输出响应完全是由输入引起的。由输入引起的。结结论论4.3.3相干函数相干函数（凝聚函数）（凝聚函数）对于线性系统，有对于线性系统，有【参考（参考（4-46、45）式）式】()()(446)xyxSfHfSf因为自谱是因为自谱是 实实 偶偶 函数函数所以有：所以有：2xxxSfSfSf2.2.相干函数的物理含义相干函数的物理含义 2()()()(445)yxSfHfSf 22)()()(yxyxyxyxyxyExEyxE相关系数相关系数表示变量表示变量 和和 的相关程度。的相关程