专题跟踪检测（七）子数列问题.docx
专题跟踪检测(七)子数列问题1 .已知小为等比数列，3,。2,的分别是下表第一、二、三行中的数，且内，。2,«3中的任何两个数都不在下表的同一列，瓦为等差数列，其前八项和为S”，且卬=6326，第一列第二列第三列第一行152第二行4310第三行9820(1)求数列的),儿的通项公式;(2)若Czi=Ugbn,其中是高斯函数(表示不超过X的最大整数)，如Ug2=0,lg98=1,求数列金的前100项和T,oo.解：(1)由题意知41=2,02=4,03=8,所以等比数列5“的公比q=2,an=a,l2n.设等差数列瓦的公差为d,则2=b3-2b=2db,7(-+岳)S7=-l-2-=7b4=7a3所以d=8=力1+3，所以b=2,d=2,b11=2w.(2)由(1)知c=lg(2n)f则Too=c+c2+coo=lg21+lg4+lg6+lg81+lg10+-÷lg98÷lg100|3- 2数列为是等比数列,且叫=内，等+lg200=4×0÷45×1÷51×2=147.2 .已知数列是公差不为0的等差数列，=一。3,仇=4，数列儿的前项和为S.(1)求数列仇的通项公式；bn,w5,求c的前项和北.8小，6,解：(1)设数列斯的公差为dfd0t因为数列g是等比数列，所以bi=bb3t所以3滂=。同4,所以(+2t)2=(+3，所以。0+4/=0.因为dW0,所以+4d=0.又=菱,所以d=，又=,数列瓦的公比q=2=工虫迫=T所以包=加尸（2）由（1）知。“='乂（一号"I15-8+3fc-=1zT3TsO-3-2X 3-26,心当 1W"5 时，T11=(、LH)=1-当 “26 时，Tn=-1)+(”5)(3+15-3)3,27927一落+2-32,K15,所以Tn=、一|"+刍-箸,后6.(2)设 hn=S3=13, 曷=3。6,得'671 +s + s= 13, 3d)2=3g5,(l+q+)=13,两式相除得 aq=3fl+q+才 133.（2023潍坊模拟）已知等比数列的前项和为S”，公比4>1,满足S3=13,点=3恁.（1）求小的通项公式；an,为奇数，2+为偶数，求数歹皿的前2项和人解：（1）法一：因为”是公比q>l的等比数列，所以由整理得3q2-10g+3=0,即(3q-l)(q-3)=0,解得夕=3或q=g.又q>l,所以g=3,故3fl=l,所以为=。“一=3LLq法二：因为%是公比q>l的等比数列，所以由S3= 13, 屈=3%叫1+2+3= 13,42。6 = 3恁，a +2+03= 13,。=3,+s= 10, =9,l÷d3=10,。1的=9,解得0 = 1, C 或。3 = 9«i=9,、 GO=I （舍去）,故L十九则q=3,所以a,l=aqni=3,1(2)当为奇数时，bn=afl=3,lf当为偶数时，bn=bn-n=y2-n,所以乃“="+b2+b3+b4+岳-|+b2l=S+"+62,1)+32+04+岳)=(30+32+32112)+(30+2+32+4+32m2+2)132m2322+2)9M1=2×(30+32+-+3211-2)+(2+4+2m)=2×J+L-5+(+1).4.已知数列”的前项和为S，=3,且S+i=2S“+3.数列九满足"=1,bn+二(l+Wr)w"eN")(1)求数列斯,儿的通项公式；(2)将数列仇中的项按从小到大的顺序依次插入数列”中，在任意的为，诙+1之间插入2攵一1项，从而构成一个新数列g,求数列6的前100项的和.解：(1)由已知得，当22时，有St+=2S,+"+3,Sn=2S+2,两式相减得a+=2a+l.又因为+s=2+4,所以2=7=2+l,满足上式.所以小+1=2(0,+1).又m+l=4,所以小+1是以4为首项，2为公比的等比数列.所以。”+1=42厂|,即。=2"+-1.又儿+=(1+五九瓦t,2-1所以瓦=茄二5九7(22),又6=1,所以当“22时，有6=1,岳=3"，力3=?历，¾=3,，乩=?bll-,两边同时相乘可得，JJ2一3bb2b3bn-bn=l×3×××二!创历636-i=(2-1)仇历V瓦-1,所以bn=2n-.(2)设100项中，来自于数列诙中的有机项.若第100项来自于斯,则应有m+2Xl-l+2X2-l+2(m-l)-l=100,整理可得，n2-11-99=0,该方程没有正整数解，不满足题意；若第100项来自于儿,则应有m+2Xl-l+2X2-l+2m-12100,整理可得，+加一io。？。当机=9时，有92+9IOo=-Io<0不满足，当W=IO时，有IO2+IO-100=IOX),故相=10,所以数列c中含有10项数列“中的项，含有90项数列九中的项.所以c+cz+coo=+2卜o+S+而TFM=22-1+23-1+21,-1÷1+3+5+2×90-=22+23+2i,-0+1+3+54(12,°)90+-÷I79=.2-10÷y×(l+179)=12182.
