对勾函数的性质及应用(史上上最完整版).docx
对勾函数的性质及应用一、概念：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，故称“对勾函数”，也称“耐克函数”或“双勾函数:二、对勾函数的图像与性质：解析式,y=6tr+-(a>O,Z>>O)Xy=ax+-(a<0,b<0)Xa/八、y=x+-(a>0)X图像.-后k工IabJPrI-lab_祗f:M定义域(2,0)o(0,÷)y,0)5。收)(-,0)<j(0,+oo)值域(-i-2>abJu2>ab,+oo)(-,-2fabD2ab,+)(-,-2yfa<j2a,+)特殊点2yab),-2>fab)A(-,2病,3启一2病Aki,2>a),B(-ya,-2yfa)奇偶性奇函数奇函数奇函数增区间S(3)(-加(喻)(-,-),(a+)减区间(一即哦)E-即F(-,0),(0,>a)三、对勾函数的应用【题型1】函数f(x)=x+-(>O,2O)x+k此类函数可变形为/(x)=(x+2+-9)-2,则F(X)可由对勾函数y=x+0左右平移，上下平x+&X移得到例1函数f(x)=x+的值域为x-1【解析】显然函数的定义域为xxw2,/(x)=x+-!=x-2+-!+2ox-2x-2当xv2时,x-2<0,f(x)=x-2+!+2-2j(x-2)!+2=0,当且仅当x-2=!,即x-2Vx-2x-2X=I取等号;当%>2时,x-2>0,f*)=x-2+-i-+22j(x-2)-+2=4,当且仅当x-2=-,即x-2Vx-2x-2x=3取等号;综上所述，函数f()=+!的值域为(-oc,0l4,+8)。X2X+3【例2】函数f*)=W+的值域为x+2【解析】易知函数/(x)=Am+x的定义域为xx-2,f(X)="+2+=+_!_+C1=x+2+x+2当xv-2时,x+2v,/(x)=x+2+-l-2J(x+2)-1=-3,当且仅当x+2=!x+2yx+2x+2即x=-3时取等号；当%>2时,x+2>0,f(x)=x+2+-l2J(x+2)1=1,当且仅当x+2=-,即x+2Vx+2x+2x=-l时取等号；综上所述，函数f()=+!的值域为(-8,-331+8)。【魔型2】函数“用=竺*t(c>O)°此类函数可变形为f(x)=ax+-+b,可由对勾函数y=ar+£上下平移得到。XX【例3】函数f*)=+'+1的值域为Xv*-1-V-U1V*U-4-1I【解析】函数/(x)=z:的定义域为xxw,/W=x+-+lXXX当%>0时，/(x)=x+-+l2Jx-+l=3,当且仅当X=!,即X=I时取等号；XxX当XVO时，f(x)=x+L+l-2jxL+l=-l,当且仅当X=',即X=-I时取等号;XV-VX综上所述，函数f()=+的值域为(Yo,-lu3,+oo).【题型3】函数/（M六-。"）。此类函数定义域为R,且可变形为/"）=一一+bX=一，一（当X=O时单调考虑。）X+-X类型a>0a<0图像y>XyOV;定义域(-00,+00)(-,+)值域12820l-±-JL2收20奇偶性奇函数奇函数单调递增区间(-瓜品)(-O0,-历,(夜+8)单调递减区间(-8,-而,(疯+8)(-扬,扬)最值当X=加时，AX)Z=氤当X=一扬时，/(x)min=一泰当X=扬时，/(x)mi当X=-扬时，/(X)max=品【例4】函数*)=Wy的在区间2,y)上的值域为11【解析】.X2,.f(x)=；+=p.函数y=x+1在2,k)上单调递增,x+-2+-=-,当且仅当x=2时取等号，即OVf(X)=X22X2Y【例5】如x(l,2),则实数。的取值范围是Jr+422x2【解析】由题可知，-a=+-,4s(x)=l+-,.(l,2),(x)=1+-X+4X2+4-4X+-X44111723.y=X+一在X(l,2)上单调递减，.4<X+-<5,即一V-<,.-<1+,故Xx5*45+42XX<a<,得<c<O5225IJS型4】函数f(x)=a2+bx+a0).+Kfl可变形为f(x)="('+，)_a。+附+_I_+s(qf>0),则/()可由对勾函数x+mx+my=ax左右平移，上下平移得到。Xr2+7÷10【例6】已知>-l,求函数f(x)=xXJ的最小值。x+1rjd.1Ior,C,、x÷7x÷10(x÷1)+5(x+1)÷44【解析】由题可知，f(x)=(x+l)+5,vx>-l,+1x+1x+14I4-r2+7x÷10.X+1>O,.(x)=(x+l)+52J(x+l)+5=9,.函数/(X)=的最小值x+1Vx+1x+为9。X24-Qr-9【例7】已知xvl,求函数f(x)="的最大值。x-1rj<-i,ox,、X"+99(%I)-+1l(x1)+111【解析】由题可知，f(幻-二(X-I)HFll,X<1,x-1x-lx-1.x-l<O,故/(x)=(x-l)+S+ll-2j(x-l)±+ll=9,故函数/(幻二的最大值为9。【题型5】函数f()=J+'"(aO)0v+Zr+c这类型题目，可以令r=+m,得x=rm，代入原函数，将其转化为关于f的函数求解。【例8】求函数/(%)=J-在区间(Lyo)上的最大值。Jr+x+2r-1ft【解析】由题可知，令H>。，则1+1,.J(x)=77UrHl再7g=再引，令g(f)=h一7,故7=2，当且仅当f=3,即f=2,即r÷3r+4r÷3r+4,上4/4、7tr+7+32z7+3r-11X=3时取等号。.函数/(x)=-5在区间(1,长。)上的最大值一。x2+x+27r2+2x+3【例9】求函数/(X)=,'在区间位位)上的最大值。x2+x+2【解析】由题可知，f(幻+2XY=X+：+2+：+1=+.x+lx0,令=+l,/>1X+x+2x+x+2X+x+2则=r-,即/(x)=+-xt1=1+J-=1+_2_-=+L+2X+x+2(t-1)+(1)÷2C/+2.«22>/21122+ l 8÷221 H=77r1+-当且仅当f=2,即f=应取等号，故函数/(x)='J2x+3在区间o,+oo)tx+x+2上的最大值为类型八：函数f(x)二今±yjx+a此类函数可变形为对勾函数的标准形式，即f(x)="+'=Jx+a+S一4>O)C)X+6Zyjx+a【例10】求函数AX)=半士的最小值。x+3x-1+4,I4【解析】由题可知，函数0)=-j=的定义域为。,F8),/(X)=yf+-=x-lx-lx-l=4,当且仅当Jx-I=-Fi=、即x=3时取等号。Jx-I【例U】求函数个)=噜的值域.【解析】由题可知，函数/(幻=1，3'的定义域为-2,+CQ),f(x)=J3"='2j当X=-2时，/(x)=0;当%>2时，f(x)="呼2!：.1=7,当且仅当ZS而2¾2JX+2=一/1,即X=-1时取等号，此时0<f(x)ox+22综上所述，函数幻二直至的值域为卜),1。x+32工2Ib类型九：函数f(x)=生二>0)。x2+a此类函数可变形为标准形式：f(x)=<'"=yx2+a+R、"(b-a>0).x2+ax2+ax2+5【例12】求函数f(幻=的最小值。x+4【解析】由题可知，函数F(X)=：+5=':+4+1=JX2+4+1,令f=f+42,则x2+4x2+4x2+4f(=g(t)=t+显然在2,+8)上单调递增，故g(f)min=g(2)=2+g=,此时X=0,故函数f+55八幻二Tw=的最小值为2。xf+42【例13】求函数AX)=卫?的值域.X2+17【解析】由题可知，函数/(x)=Wj=令r=477Tl,故x÷1÷16GTT+1=-Jx2+1fw=g(f)=/+,故函数&)二段的值域为(I,WO类型二：斜勾函数y=0x+2("<0)X
