热点7-4抛物线及其应用（6题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

热点74摭物旗及其应用抛物线是高考数学的热点问题，在高考中选择题、填空题、解答题都曾出现过，属于高频考点。这部分内容主要涉及标准方程、几何性质、弦长问题及面积问题等，解题思路和解题步骤相对固定，在冲刺阶段的教学过程中尽量淡化解题技巧，强调通性通法，规范解题步骤。题型抛物线的定义及概念辨析题型4抛物线的中点弦问题题型2利用定义求距离和差最值。-抛物线及其应用一°题型5抛物线的弦长问题题型3抛物线标准方程的求解IxZXx题型6直线与抛物箍合应用【题型1抛物线的定义及概念辨析】满分技巧1、利用抛物线的定义解决问题,应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”.2、注意灵活运用抛物线上一点P（x,到焦点F的距离IPQ=用+?或P=M+2【例1】（2023广东广州高三天河中学校考阶段练习）已知抛物线Y=4），的焦点为尸，点M在抛物线上，且IMFI=3,则M点到.V轴的距离为（）A.23B.22C.2D.1【答案】B【解析】由题意得，|“|=%+5=3,抛物线/=4），中=2,所以W=2,所以所求距离为显上匹=2应.故选:B【变式M（2023全国高三专题练习）动点P到直线x+4=0的距离减去它到点M（NO）的距离等于2,则点P的轨迹是（）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【答案】D【解析】如图所示，由于动点P到直线x+4=0的距离减去它到点M（2,0）的距离等于2,于是动点P在直线X=T的右边，且动点P到直线x+4=O的距离大于2,因此动点。到直线X=-2的距离等于它到点M（2,0）的距离，进而根据抛物线的定义，可知点P的轨迹是抛物线.故选：D【变式12】（2023湖南长沙高三湖南师大附中校考阶段练习）焦点为厂的抛物线C：V=2PX（P>0）的对称轴与准线交于点A,点8在抛物线C上且在第一象限，在ZU8尸中，3SinzA歹8=4SinNE48,则直线初的斜率为（)A.由B.-C.1D.立232【答案】A【解析】过8作准线的垂线，垂足为H,作X轴的垂线，垂足为E,则由抛物线的定义可得I8臼=I8"I,由3sinAF8=4sinNE48,在AABF中由正弦定理可知：AB=BF=-BHAAH=-BH,333设防的倾斜角为,则Sina=空=咎=g,tan=坐，故选:A.BFBH32【变式13】（2023.安徽合肥合肥一中校考模拟预测）设。为坐标原点，尸为抛物线C:X2=2py（p>0）的焦点，直线尸1与抛物线C交于A,B两点,若ZA依=120。,则抛物线C的准线方程为（）212A.y=-B.y=-3C.y=-6.V=-3D.y=_§或.V=-6【答案】C【解析】设直线y=与y轴交点为例,由抛物线的对称性，易知为直角三角形,且NAFM=；/Am=60。，.|叫=2忻M,即l+5=21-,去绝对值，解得P=I或P=6,所以抛物线的准线方程为y=4或产-3.故选：C.【变式1-4】（2023.河南.校联考二模）设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点M在C上，点N在准线/上，且MN平行于X轴，准线/与工轴的交点为E,若IMl=2|团,则梯形EFMN的面积为（）A.12B.6C.123D.63【答案】D【解析】由题知=2,抛物线的焦点”为（LO）,准线/为X=T,如图所示.由题知MNJj,因为M=2E目=2x2=4,所以NERV=60。，则|码=6|曰7=2石.因为MNEF,所以ZMNF=NEEV=60。，由抛物线的定义知IMNl=IMFI,所以MN尸是正三角形，所以IMNI=4,贝ISw=仁竽巫=6技故选：D【题型2利用定义求距离和差最值】满分技巧与抛物线有关的最值问题的转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解.(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.例2(2023.四川绵阳高三南山中学校考阶段练习)已知点F(O，4)是抛物线C=2py(p>0)的焦点，点P(2,3),且点"为抛物线C上任意一点，则I例/l+lMPl的最小值为()A.7B.6C.5D.4【答案】A【解析】由尸(。，4)是抛物线Uf=2p),(p>0)的焦点，得£=4,即p=8,故Ur=i6y,其准线方程为y=Y,当x=2时，有4=16y,即)，=：,故点P(2,3)在抛物线上方，4由抛物线定义可知，点M到焦点产的距离IMT等于其到准线的距离d,贝5jMF+P=d+P%+4=7.古嬷：A.【变式2-1】(2023江西萍乡高三统考期末)点M为抛物线V=8x上任意一点，点N为圆f+y2-4x+3=0上任意一点，P为直线依7-。-1二。的定点,贝"M"+MN的最小值为()A.2B.2C.3D.2+2【答案】A【解析】如图所示：由V=8x知，抛物线焦点尸(2,0),x2+-4x+3=0,ft(x-2)2+y2=l,即为以(2,0)为圆心，1为半径的圆,ax-y-a-l=()t得y=(x-I)-1,g定点(L-I),过点"作ME垂直于抛物线的准线：x=-2交于点E,连接PE.则|网+|的|习网+阿耳1=阿耳+阿£|_1.尸目_1,当AM,E三点共线时，I图最小,此时为3,所以IMH+1MNl的最小值为：3-1=2,故选：A.【变式2-2】(2023全国模拟预测)已知抛物线C:y2=81的焦点为F,M(4,0),过点M作直线x+(a-J)y-豉-2=0的垂线,垂足为Q,点P是抛物线。上的动点,则IP尸+Pa的最小值为.【答案】y解析】由x+(a-6卜-鸟-2=0得a(y->)+x一向=2=0,y、/所以直线x+"6b-豉-2=0过点A(5,./连接4吃5HMM=T=2,2W幺由题意知点Q在以AM为直径的圆上，设G(,y),一产所以点。的轨迹方程为卜-J+卜-用=1(不包含点(4阴)，x=2记圆卜IJ+。，亭)=1的圆心为«*¥),过点Q,P,N分别作准线X=-2的垂线,垂足分别为8,。，S,连接。Q,g11则阳+|p。I=IPq+PoQ幽NS卜1=尹2-=»,当且仅当B1P1Q1N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立，所以IP目+1PQI的最小值为号.【变式2-3】(2023广西统考模拟预测)已知抛物线C:V=4的焦点为尸，圆M:+(y-15)2=1,点乙。分别为抛物线C和圆M上的动点,设点到直线户-3的距离为“，则”+|也的最小值为()A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】圆“：+(y-15)2=l,圆心坐标M(O,炉)，半径为1,抛物线C：V=4”的焦点为F(LO),准线方程户-1,如图所示,点P到直线片-3的距离比点/>到准线A-1的距离大2,即d=P尸|+2,IPQI的最小值为PM7,当KP/三点共线时pq+PM的最小值为|户闸，所以d+P尸月+2+pM-l根1+1=4+1=5.故选：C.【变式2/(2023湖北孝感校联考模拟预测)设尸为抛物线C：)，2=4x上的动点，A(2,4)关于P的对称点为Bl记0至U直线=T=-3的距离分别4,d2l则4+4+I期的最小值为()A.211+2B.213+2C.17+2D.13+17+2【答案】A【解析】如图，因为W=4+2,且A(2,4)关于P的对称点为8,所以照I=IM,抛物线焦点尸(LO),所以4+&+kM=24+2+2IpAI=2(4+¼)+2=2(IPFl+M)+22Aq+2=2i7+2当P在线段A”上时，4+4+1的取得最小值，且最小值为211+2故选：A【题型3抛物线标准方程的求解】满分技巧1、定义法：根据抛物线的定义，确定P的值(系数P是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程.标准方程有四种形式，要注意选择.2、待定系数法(1)根据抛物线焦点是在,V轴上还是在.v轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出，从而写出抛物线的标准方程；(2)当焦点位置不确定时,有两种方法解决.一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在X轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为产=-2pMp>0)和y2=2px(pX)两种情况求解.另一种是设成/=nx(m0),若w>0,开口向右；若<0,开口向左；若,有两个解，则抛物线的标准方程有两个.同理，焦点在.V轴上的抛物线可以设成F=认靖0).【例3】(2023北京北京四中校考模拟预测)已知抛物线Uy2=2px(p>0)的焦点为准线为/,点A是抛物线C上一点，4。_1/于。.若4尸=2,2。4尸=60,则抛物线。的方程为()A.y2=SxB.y2=4xC.y2=2xD,=【答案】C【解析】如图，连接。尸，设准线与X轴交点为M/内抛物线Uy2=2px(p>0)的焦点为F6,0),准线/：XTz×又抛物线的定义可得IA尸I=IAq,又Z.DAF=60,所以/SDAF为等边三角形,所以I叫=IAFl=2,ZDFM=60所以在Rtro/中，QP=2MH=2'=2,则p=l,所以抛物线C的方程为?=2x.故选：C.【变式31】（2023.河北衡水.高二衡水市第二中学校考阶段练习）已知抛物线。：y2=Zpx(P>0）的焦点为F,点了在。上,且IbI=T,若点M的坐标为（0，1）,且例/,则C的方程为（)A.y2=2xy2=8xB.j2=x或V=8xC.y2=2x或V=4xD.y2=,SJy2=4x【答案】A【解析】设T为(如%),则Mr=(Ao,%-1),又由尸（,）,所以M尸=（,-1，因为M/_LMT,所以M7=0,可得5%-%+l=0,由需=2PX0,联立方程组，消去工可得4-4y°+4=0,所以=2,故外又由I口I=Xo+,所以142=-,即/-5p+4=0,解得=1或=49所以C的方程为V=2;V或.=8x.故选：A.【变式3-2（2023.上海杨浦统考一模）已知抛物线.F=2px（P>0）的焦点为“，第一象限的A、8两点在抛物线上，且满足伊FITA月=4,A8=4.若线段AB中点的纵坐标为4,则抛物线的方程为【答案】=8x【解析】设4（牛1），8（,必）,因为I叫TM=4,所以卜什?-卜+幻=4,所以Wf=4,、/又因为A8=Jl+kliXk-Wl=4>,所以女：H=1I,/llJC,U百M土弟豕P氏f/71KAJSS-I_力一乂_2P一I/又因为超-占yL.yLy+%且y+%=42=8,22p所以2p=8,所以=4,所以抛物线方程为V=8二V【变式3-3X2023天津河东高三校考阶段练习）点M为抛物线.v2=2pN0<"v10）上点抛物线焦点为尸,过M作.y轴垂线交y轴于N点若MNF是以MN为底边的等腰三角形且NF=6则抛物线方程