热点7-3双曲线及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

热点73双曲旗及其应用双曲线及其应用是高考数学的重点与难点，在近几年高考数学试卷中，双曲线的相关题型几乎年年都会考到，属于热点问题。题型比较丰富，选择题、填空题、解答题都出现过，主要通过双曲线的定义、方程及性质考查数学运算能力及转化思想，难度中等偏难。-题型5求双曲线的离心率与范围/Y一题型6双曲线的中点弦问题双曲线及其应用7''p题型7直线与双曲线相交弦长、一题型8直线与双曲线综合问题【题型1双曲线的定义及概念辨析】ir"(1)在双曲线定义中若去掉定义中的“绝对值”，常数。满足约束条件：PF-PF2=2a<FF2(tz>O),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点生的一支；若IP闾-归制=2”忻闾(>0),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点片的一支;(2)若常数满足约束条件：ITP矶=2=忻用,则动点轨迹是以FkF2为端点的两条射线(包括端点)；(3)若常数满足约束条件：PFl-PF2=2a>FlF2,则动点轨迹不存在;(4)若常数a=0,则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。【例1】(2023全国高三专题练习)已知动点M(X,.y)满足而布于-而赤7=4,则动点M的轨迹是()A.射线B.直线C.椭圆D.双曲线的一支【答案】A【解析】设6(-2,0)迅(2,0),由题意知动点M满足IMKHM闻=4=|耳玛Il,故动点M的轨迹是射线.故选：A.22【变式1-1(2023四川绵阳.高三南山中学校考阶段练习)双曲线C：J-=l(a>0,b>0)的一条渐近线过点4-1，6）,R,6是。的左右焦点，且附1=2,若双曲线上一点M满足IM用=|,则I咋I=（）1-2【答案】B【解析】因为£（f。），IWI=2,所以J（+cp+3=2,所以c=2或O（舍），又因为双曲线的渐近线过点唳，司,所以-：罟，所以，=G,c=2所以<5=6,所以，所以Uf-?=1,a2+b2=C2若“在左支上"M用=>c-=l,符合要求，所以IgI=IM+24=>2=/若M在右支上，M用=<c+a=3,不符合要求，所以|“用|=，故选：B【变式1-2（2023河北模拟预测）已知双曲线C:/E=Tm>0）的上、下焦点分别为K,K,C的m一条渐近线过点（3,9）,点w在C上，且I峙I=5,则IMKI=.【答案】11【解析】由c：/_£=T（W>o）得双曲线的标准方程为：21-=1（m>0）,mm所以。=后力=1,所以双曲线的渐近线方程为：y=±=±而X,b又C的一条渐近线过点（3,9）,所以3而=9n诟=3,因为点M在C上，6,6为双曲线的上、下焦点，所以IIM国一四用=2=6f由|肛|=5,所以IlM用-5|=6,所以IgI=Il或IgI=T（舍去）.【变式L3】（2023全国高三专题练习）已知圆人:。+2）2+9=9,圆8:0-2y+/=,圆C与圆A、圆B外切，则圆心C的轨迹方程为.【答案】=l,x（h+）【解析】设圆C的半径为，圆A:(x+2)2+y2=9的圆心A(-2,0),半径4=3,圆3:(尤-2尸+丁=1的圆心8(2,0),半径4=1,因为圆C与圆A、圆B外切，则|04|=r+3,|侬=r+1,所以|6|一|。用=2<4=|的,所以点C的轨迹是以A5为焦点的双曲线的右支，又2c=4,2a=2,则c=2,=1,从=c?-储=3,所以其轨迹方程为f-卷=1,XGa÷0>).【变式1-4】(2023河北石家庄一中校联考模拟预测)(多选)已知复数7=IT,z=x+y(x,ywR),则下列结论正确的是()A.方程|二-%|=2表示的二在复平面内对应点的轨迹是圆B.方程z-z°+z-耳=2表示的Z在复平面内对应点的轨迹是椭圆C.方程IZ-ZoITZ-刁=1表示的二在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支D.方程二+&+Zo)=IZ-表示的Z在复平面内对应点的轨迹是抛物线【答案】AC【解析】由复数模的几何意义知"z-z0=2表示复平面内点,，)与点之间的距离为定值2,则Z在复平面内对应点的轨迹是圆，故A正确；由复数模的几何意义知，IZ-ZOMZ-刁=2表示复平面内点(x,y)到点(1,T)和(1)的距离之和为2,又2=,一刁，不满足椭圆的定义2>田用，故B不正确；由复数模的几何意义知JZ-ZolTZ-同=1表示复平面内点(,y)到点(1,7)和(LI)的距离之差为|又2=,一刁，满足双曲线的定义24<田国，故C正确；又寸于D,2+-(z0÷z0)=z-z0RTz+l=z-z0,表示复平面内点(x，y)到点(T,0)和(LT)的距离相等,轨迹是直线，故D不正确，故选：AC【题型2利用定义求距离和差最值】满分技巧利用定义IIPRHPBlI=2转化或变形，借助三角形性质及基本不等式求最值【例2】(2023天津南开统考一模)已知抛物线V=16x上一点A(?,)到准线的距离为5,尸是双曲线1-(=1的左焦点，尸是双曲线右支上的一动点，则伊曰+陷的最小值为()A.12B.11C.10D.9【答案】D【解析】抛物线V=16x的准线为=Y,则点A(也)到准线的距离为m+4=5,所以m=1,则=±4,故A(l,±4),设6是双曲线11=1的右焦点，6(4,0)则IPHT叫=2=4,则归尸|=|尸耳|+4,JftPF+PA=PA+P+4A+4=9+16+4=9,当且仅当AF1三点共线时取等号，所以附1+照的最小值为9.故选：D.【变式2-1】(2023江西赣州统考一模)已知点电,3。,双曲线£：1,=1的左焦点为尸，点P在双曲线E的右支上运动.当二加步的周长最小时，hH+w=()A.62B.72C.82D.9应【答案】C【解析】由双曲线Eq-I=1得到q=%="c=3,左焦点P(TO),设右焦点耳(3,0).当村的周长最小时，MH+P尸I取到最小值，所以只需求出+归目的最小值即可.A+PF=A÷P+÷=4J(-3)2+(37-)2+22-8>.i½：C.【变式2-2】(2023四川南充校考模拟预测)已知P是离心率为2的双曲线G丁-乙=1(阳>0)的右支上m一点，则P到直线12>5y=0的距离与到点A(-2,0)的距离之和的最小值为()A岸【答案】ACTD.竺1313【解析】已知双曲线C：X2-=l(w>0),可知e=Jl+？=2,则?=3,in所以A(-2,0),8(2,0)分别为C的左、右焦点，则网-网=2=2,即IF=IM+2,设尸到直线12x5），=。的距离为d,3到直线12x-5y=0的距离为4,且4=冒，则d+尸Al=4+P8+24+2=V+2=费.故选：A.【变式2-3（2022.天津南开.高三统考阶段练习）已知双曲线=1,点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d,则d+1P/I的最小值为（）A.2+43B.63C.8D.10【答案】A【解析】由双曲线C：（-?=1、可得。=2#,力=2,F（4,0）.设双曲线左焦点为UI，。），不妨设一条渐近线为/：>=-%=-WX,BPx+3y=0,a3作正工/,垂足为E,即IPEI=d,作FHU垂足为"则IFm二号r2,因为点P为C左支上的动点，O所以IPFITaI=2,可得IPH=%+IPkI,/故d+印=I尸£|+加+IWI=勿+1用+1尸F,由图可知，当弋尸，石三点共线时，即E和"点重合时，2+%+尸口取得最小值，最小值为2x2>A+l尸”1=45万+2,即4+1。臼的最小值为4J+2,故选：A.22【变式2-4】（2023山东泰安统考二模）已知双曲线。:-2=1（。>060）,其一条渐近线方程为ab-x+3>=0,右顶点为A,左，右焦点分别为耳，尸2,点P在其右支上，点8（3,1）,三角形KAB的面积为1+/，则当附HPBI取得最大值时点p的坐标为（）a32j2b3+tj+tc3+j+（6+5质10+78"D'-22-，-22）【答案】B【解析】设尺（一。，0），八（a。），则由三角形ZAB的面积为1+*可得*+c）i=+J,即+c=2+J,又双曲线一条渐近线方程为x+6.y=0,故2=g,即=,a3/O故/=/+从=4,c=2"故&+»=2+。，解得6=1,故=J,c=2,双曲线Cq-/=1.又由双曲线的定义可得IP用-归臼=2+P周一P82J+忸周,当且仅当P，8,F2共线且3在P,F2中间时取得等号.此时直线明的方程为y=J-2),即y=x-2,X2IFT联立石-"=可彳导2-12x+15=0,解彳导x=3±及y=x-2满分技巧1、由双曲线标准方程求参数范围(1 )对于方程二+ f = 1 ,当加?<0时表示双曲线； m n当机> 0, < O时表示焦点在X轴上的双曲线；当机V 0, > 0时表示焦点在y轴上的双曲线.2(2 )对于方程上-上=1 ,当加2>O时表示双曲线； m n当m>0jt>0时表示焦点在工轴上的双曲线；当相<0, V0时表示焦点在)，轴上的双曲线.(3 )已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式,再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围。2、待定系数法求双曲线方程的五种类型(1 )与双曲蟾-p=l有公共渐近线的双曲线方程可设为' - = >.(A0);(2 )若已知双曲线的一条渐近线方程为y = H或产-% ,则可设双曲线方程为' -W =，及0)；(3 )与双曲线5冬二I共焦点的双曲线方程可设为 (4 )过两个已知点的双曲线的标准方程可设为5 - = 1(? > 0)或者。+ ?= 1(? < 0);(5 )与椭圆。+ W = 1(。> > 0)有共同焦点的双曲线方程可设为-y =(h2<</) a " a?由题意可得5在"中间可得代入y=-2可得y=+*,故,3+2=- b1 < k<a2）；【题型3双曲线标准方程的求解】例3（2。23全国.高三对口高考）与?-V印有相同渐近线焦距2对,则双曲线标准方程为（64【答案】D÷1c = ilD.” = ±l【解析】（.）若焦点在、轴上，设所求双曲线方程为3T。），因为鼻-斗=1（肛>0）与双曲线-y2 = l有相同渐近线， m n4所以,设该双曲线的焦距为2c , m 2又因为焦距2c = 2M ,所以C = M ,所以=K）,联立n _ 1,藐:5,解得?2 =8,"=2 ,则双曲线方程为：一=1 ；+ = 108 2（2 ）若焦点在N轴上，设所求双曲线方程为J-J = 15z>0）, m n因为工-W = 1（见 > 0）与双曲线1-9 = 1有相同渐近线， m n4所以，设该双曲线的焦距为2c ,n 2又因为焦距2c = 2M ,所以C