对一道困扰中国力学教学界40多年习题的思考.docx

对一道困扰中国力学教学界40多年习题的思考摘要：以弹簧振子为例从矢量力学、分析力学的角度分析了关于外势能的弹性势能机械能守恒定律满足力学相对性原理，具有单独的协变性，弹性势能不具有伽利略变换的不变性，解决了这个问题的争论.机械能守恒定律是质点动力学规律，弹簧振子是质点受到线性回复力，不是质点加弹簧，只需研究质点即可.文章分析了造成这个习题争论40多年五个方面的原因：功是质点的位移与所受力的数量积，墙壁不能对轻质弹簧做功；弹簧振子的机械能是质点的弹性势能+质点的动能，不是弹簧的弹性势能加质点的动能，轻质弹簧在忽略质量的同时也忽略了弹簧的动能和势能，Ep=；扇不是弹性势能的一般公式，仅仅适用于特殊情形，建议从教材中删除或者指明其适用范围；正确理解惯性系、功的定义和保守力.地面系作为惯性系的同时忽略地球能量、动量、角动量等物理量的变化.关键词：轻质弹簧；伽利略不变性：弹性势能：力学相对性原理：机械能守恒中图分类号：0313.1文献标识码：A一.问题的提出参考文献口29都有这样一个题目：一质量为根的小球与一劲度系数为上的轻质弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动.试问在一沿此弹簧长度方向以速度“相对于作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由（忽略空气阻力）.解：假设地球质量为充分大，忽略地球能量的变化，按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少.方法1（矢量力学角度）：在地面参照系上观察时，小球的平衡位置为坐标原点，以水平向右的直线OX为X轴，建立直线坐标系如图1所示.-Kn5-Cl_°X光滑水平地面图1弹簧提子机械能守恒问题当D时刻，将小球向右拉至最大振幅并放手，使之做简谐振动，则小球的位移为:X=Acos（Gf）,其中1=kJtn,k=m1.设小球的速度为。，加速度为必受到的力为力动能为反，势能为稣，机械能为七.则有:dx(lvV=-Asin(t),a=-2Acos(Z),f=ma=-m2Acos(t)=-kx.drdrEk(O=-mv2=w-6oJsin(Z)2=-w2A2sin2(Z)=M2sin2(r).(1)2222dEp(ty)=-fdx=kxdx=d(g%父)，圻=依+C.将初始条件上0时，AA,Ep(O)=yM2,代入上式得：yM2=Ep(O)=M2+C,C=0,Ep(r)=:Ax2+C=g"2+o=gM2cos2(皿).(2)E()=p()+Ek(r)=-M2cos2()+-M2sin2(Z)=；姑2=常数(3)设地面参照系和沿此弹簧长度方向以速度作匀速运动的参考系(设为小车，见图I)刚开始相对运动时完全重合，开始相对运动后，当E=O时刻，将小球向右拉至最大振幅并放手，使之做简谐振动.设在小车参照系上观察时，小球的位移、速度、加速度、受到的力、动能、势能、机械能分别为即，VifaifffElkEp(t)fEi(Z).则有:x=x-ut=Acos(t)-utf=-Asin(t)-u,a=-=-2Acos(t)=afdrd/力=杨=m=一机4：05(3)二-履.(说明：f-kx,如果把胡克定律表示为弹力的大小与形变大小成正比，方向与形变的方向相反，那么胡克定律适用于所有惯性系，但此时形变大小不是位移).Eik(f)=；加*=；m-Asin()-w2=；/2A2sin2()+2wlsin()+w2=；M2sin2()+wwJSin(Gf)+；mu1.(4)文献30证明了力的保守性具有伽利略变换的不变性，因此在小车系质点受到的弹力也是一个保守力.J9f(UdEp(t)=-fdx=kjcd(x-ut)=kxdx-kuAcos(t)dt=d-muAsin(t),ip(0kx2-muAsin(t)+C.将初始条件t=0时x=x=A,EIP(O)=EP(O)kA2,代入上式得：ykA2=Eip(O)=yM2-11<wAsin(0)+C,C=0,£p(0kx2-muAsin(t)+C=kx2-muAsin(t)+O=-kx2-muAsn(t)=M2cos2t-muAsin(t).(5)222因此势能是时间t的一元函数，不能认为此时势能显含时间.势能显含时间是指势能是时间和坐标的二元函数，势能对于时间的偏导数不等于0,这里是势能与时间有关一一势能对于时间的导数不等于0.文献28是完全错误的.E()=Ep(r)+Eik(O=-kx2-mcuAsin(t)+kA2sn2(t)+muAsn(t)+mu2=222M2cos2()+M2sin2()+mu2=kA2+3尸二常数(6)22222所以在小车参照系上观察时，弹簧振子体系的机械能仍然守恒，守恒值为1姑2+_1机”2221.1 O时两个坐标系重合，守恒值相等.从上述推导可以看出两点：当H0,只有3U三,时才有：Ep(F)=Epi；当U=O时，二者显然相等，这也符合玻尔的对应原理.方法2(分析力学角度)：设弹簧振子处于平衡位置时振子的位置为坐标原点。，沿横轴X方向以。(Y运动的惯性参考系中的动能为T',势能为P,则X=Acos(),k=m2,X=一=-sin(),drCLVdx,ra=-2Acos(t)fx,=X-Vt=Acos(t)-vt,x,=-Jsin(t)-vfd/drCLt，ci=-2Acos(t)=a,f,=tna,=ma=-m2Acos(t)=-kx.dttXtdP,(r)=-f,dxr=kxd(x-vt)=kxdx-kvAcos(t)dt.PfQ)-P,(O)=dPQ)=kXdX-mAcos(t)dt=-kx2-hO2-mvAsn(t)-mvAsn(0)l.22P'(t)=k2cos2()-wvAsin(),P'(0)=0.T,(/)=；mx,2=；m-Asin(t)-v2=；m2A2sin2()+2sin(r)+v2=；M2sin2()+wAsin(t)+-mv2.H'=T'(J)+P'(t)=M2sin2(t)+mvAsn(t)+-mv2+kA2cos22222(t)-mvAsin(r)=-M2+-2=const.所以变换后系统的机械能守恒，守恒值为,姑2+_1机。2所2222dfM2+-nv2以_文献6,1418的解法与答案与本文相同.由于忽略质量，轻质弹簧不具有动能和势能“即划，与质点的自由落体运动类似，只需研究质点就行了，如果考虑质量，把质量按照比例加在质点上就行.或者考虑为若干个受弹力作用的质点，不考虑弹簧质量时是单质点，考虑弹簧质量时是若干个受弹力作用的质点，但是根据动能定理和势能定理每一个质点在弹力作用下动能的变化量和势能的变化量互为相反数，机械能不变L假设轻质弹簧具有势能不具有动能，把一个轻质弹簧在弹性限度内产生弹性形变后，放入真空中，长度不断变化，势能不断改变，动能始终为0,不满足能量守恒定律.二.四十多年争论的根源1.2 弹性势能公式分析小车系测量的质点的弹性势能为En(Z)=-M2COS2t-muAsv(t)=-kx-muAsn(t)=-m2x1-muAsn(t)>可以发现质点222的弹性势能与质量成正比，符合质能方程的要求，势能不是伽利略变换的不变量.En(Z)=-M2cos2mMsin(M)=L正一侬0"4sin(Gf)=L7苏工2m(0力§仙(口。没有否定经典222的弹性势能公式，原来的公式只是一个特例一一观察者在弹簧弹力方向上没有位移或者说分速度为0(相对于固定点静止或者垂直于弹力方向上运动)，不能认为弹性势能对于所有的观察者都相同，需要根据“物体的势能增加量等于物体克服保守力做的功”重新计算，当观察者在力的方向上分速度不相等时，计算保守力做的功不相等，因此势能差也应该不相等，这说明弹性势能和重力势能一样具有相对性.单独的场具有不变的物理意义，而单独的势不具有不变的物理意义，势的客观性是通过其整体性来体现的（表现为只有相对值）.1.3 经典弹性势能公式的局限性分析在经典力学中，动能、动量和角动量都与质量成正比，符合质能方程的要求.根据爱因斯坦质能方程E=,能量一定与质量成正比，圻=；底无法体现.氏；炉与重力势能、引力势能公式不同，前者与质量无关，后者与质量成正比，这本身就具有一种不协调性.笔者建议把公式Ep=g丘2教材中删除，或者指明其适用范围，它不是弹性势能的一般公式，dEp=-心是势能的一般公式.EP=J"=gm"2适用于弹簧振子中质点的弹性势能，但是不适用于所有的惯性系，仅仅适用于观察者在弹力方向上的分速度为O时，而且势能零点必须选在平衡位置，其他情况不成立.考虑弹簧质量时，Ep=；H2是弹簧的机械能公式，弹簧静止时是弹簧的弹性势能，也不适用于任何惯性系，仅仅适用于观察者在弹力方向上的分速度为O时，而且势能零点必须选在平衡位置、弹簧必须在弹性限度内.质点受到非弹簧的弹力时势能也不能利用EP区2计算，对于其它弹力产生的弹性势能就更不成立了.如果坚持CP=；区2适用于所有情况，由于弹簧的形变是伽利略变换不变量，因此部分文章坚持认为弹性势能差对于不同的观察者不变，才出现了小车系机械能不守恒的错误结论，为了解释这个问题人们提出了机械能守恒定律可以不满足力学相对性原理或者满足力学相对性原理但不具有单独协变性等错误的理论27刈在经典力学中机械能守恒定律可以认为是牛顿运动定律的推论，牛顿运动定律满足力学相对性原理，机械能守恒定律不满足力学相对性原理，就等于推翻了牛顿力学.1.4 正确理解功的定义文献32分析了功的三种定义方式是一致的，本质上在于如何认识力的作用点的问题，功是质点的位移与所受力的数量积，墙壁不能对没有质量的弹簧做功.根据牛顿第二定律，力必须作用在有质量的点上,因此在本题中力的作用点为质点，而不是弹簧.由于质点的势能是蕴藏在场中的能量，因此质点的势能无法直接对外界做功，只有将质点的势能转化为动能，才能对外界直接做功.我们默认地面系为惯性系的同时忽略地球的能量、动量、角动量等物理量的变化.文献31给出了弹性势能的概念，只要质点受到保守力弹力就具有弹性势能，因此弹簧振子问题中是质点的弹性势能，而不是弹簧的弹性势能”，.在弹簧振子问题中弹力虽然是接触力，但是力源不是研究对象，仍然按超距力处理场概念的提出，不仅仅是电磁学，而是整个物理学甚至是包括数学在内的全部科学理论的一次质的飞跃.1.5 保守力的认识现在大部分教材指出保守力有重力、弹簧的弹力、万有引力，其实静摩擦力也是保守力3（因为静摩擦力在一个惯性系里不做功，在另一个惯性系里可能做功，但是不改变质点的机械能，可以按照保守力来处理），斜面的支持力的、匀速圆周运动的约束力、理想流体的压力（流体力学中推导伯努利方程时曾经利用了理想流体的压力是保守力.）、弹性碰撞中的弹力以及浮力刈等，文献35论证了在引力机械能守恒定律漏足伽利略变换，当质点受到其他保守力时机械能守恒定律也满足力学相对性原理，本文不再分析.文献36提出了约束力是保守力，文献3738验证了约束力是保守力.即使考虑弹簧的质量，由于约束力是