6分段函数根的分布-教师用卷.docx

分段函数根的分布一、单选题1 .已知函数/(%)=篇;若关于无的方程，Q)产+何+2=O恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是()A.(-,-y)u-3,-22)B.(-L,-22)C.(-,-)u(-,-22)D.-,-22)【答案】A【解析】【分析】本题考查由方程根的个数求参，指数型函数、对数型函数的图象，属于综合题.根据分段函数的解析式，作出函数的图象，根据图象可得当£取不同值时，/(%)=£的交点个数，即可结合二次函数零点的分布求解.【解答】解：要使得)2+m(x)+2=0由6个不同的零点，则令/(x)=t,£2+根£+2=0有6个不同的实数根，根据/()=Pf+2；0,作出fM的大致图象如下：由图可知：当f(x)=O时，此时由两个根，分别为一2,1,当OV£<1时，此时/(x)=t有4个交点，当1t3时，此时/(x)=t有3个交点，当£>3时，此时f(x)=£有2个交点，/(x)=O显然不是/(x)2+mf(x)+2=0的根,设g(t)=t2+11t+2的两个零点分别为tltt2»且S£2，故当OVtlVltt2>3时，此时/(x)=t1有4个交点，f(x)=t2有2个交点，满足题意，(g(0)=2>011故需要满足Ig(I)=3+mVO,解得7nv一号，(g(3)=ll+3mV0当lt<t23时，此时f(x)=t1有3个交点，/(x)=t2有3个交点，满足题意,故需要满足=m2-8>0,解得-3mV-2I,g=3+mOg(3)=11+3nO综上可得3m<-2y2或ZnV-冷故选：AyS-f5.TSlO时，/«=41If2(x)+bf(x)+c数根，则实数b的1n-,0<X<2.I4.若关于的方程+*+L%>2/=0(瓦CR)有且只有6个不同的实/上_1./C一取值范围是,、/2.定义在R上的函数f(%)满足/(-%)=f(x),且当为).()a(W)U(4-1)(I1)C.(W)U(-1,0)【答窠】A【解析】【分析】本题考查方程根的个数，分段函数的图象,出/(X)的图象，结合图象以及方程严(工).得b的取值范围.【解答】-3-2-1O123x-1LB.d(VT)正弦型函数的值域，指数函数的值域等，属于综合题.画卜b(x)+c=0有且只有6个不同的实数根列不等式，从而求解：依题意，定义在R上的函数/(乃满足/(一%)7sin",0X2由于当>0时，/(x)=<414,x÷l,x>2=/(%),所以f(x)是偶函数，图象从而可画出fW的图象如下图所示.x三=>Osin54'令=f(x),u2+bu+c=Of结合图象可知,%>2=>此方程的两根%,如满足：u1(0,1)U1U,时，方程2(x)+bf(x)+c=0有且只有6个不同的实数根.u1+U2=-b>0SbVo,u1U2=c>0Lc>0设h()=u2+bu÷c,当U1(0,1),u2(1,)7(0)=OO(l)=l+b+c<Oh=H÷Ih+c>0'C>O1/>c>O=+c>o464-1->O99.lkn=>-<<-l77+7>4.164当u1=I1U2(1,|)时,1+b+c=O1/bS1<-2<4=登+)+c>0164Zl=b2-4c>OC=1b-<b<-2+h-l-b>O164>4(-1-b)-IVbV-2£)>_2解得-3VbV-2.(b+2)2>O当%=I%w(i,3时，.+软+C=O-<h(l)=l+b+c>O=b2-4c>OC=Y+须-<b<-2l+b+c>Ob24c>O-<<-2f-<)<-2l+b-(f+初>0，卜Vq,解得*VbV-I炉+4焦+翔>0lk(+)2>0综上所述，b的取值范围是(今,3)U(3,1).故选：A3 .设函数f(%)=若关于的方程G)=t有四个实根不23,%G1<X2<3<(1°g2(%)>x>ZX4),则+%2+2x3+x4的最小值为()A.yB.yC.10D.9【答案】D【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值、分段函数、函数图象的应用、函数的零点与方程根的关系，属于较难题.画出函数图象，结合图象即可得出t的取值范围，根据图象得出与+%2=2，(%3-2)(X42)=1利用基本不等式，即可求出结果.【解答】关于X的方程f(%)=£有四个实根的,工2，工3，%4(%1<×2<×3<工4)则+X2=2»-Iog2(x3-2)=Iog2(x4-2),则(必-2)(x4-2)=1,其中心>必>2,所以1=(2%3-4)(4-1)<(左雪则2%3+2%47,当且仅当%3=£%4=4时取等号，所以石+X2+2x3+：工4的最小值是必4 .已知函数fG)=富露之言o,若f(%)=有四个不等实根与、2.3,X4,且与<3%3<打，求空一修好的取值范围2()A.(8,3)B.(-3,+)C.,3)D.竽3【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的单调性和最值，利用方程根的分布、一元二次函数的图象与性质求解.作出函数y=f(x)和y=的图象，根据二次函数图象的对称性得出3+M=4,根据对数运算得出与小=1,并计算出切的取值范围，利用函数的单调性可求出代数式空-与后的取值范围.【解答】由于二次函数y=x2-4x+2的图象关于直线=2对称，所以孙+x4=4,由f(%)=/(#2)，得l0g2(-XI)I=110g2(-2)bWlog2(-i)=-log2(-2)*所以O=Iog2(-Xi)+Iog2(-X2)=log2(%l%2)，可得%1%2=1，由图象知，当OVQ2时，直线y=Q与函数y=/(%)的图象有四个交点，所以f(%2)=110g2(-2)l(0,2,即O<-Iog2(-X2)2,即一2Iog2(-x2)<0，；-×2V1»得一1V%2W由于函数y=：X在区间(TT上为减函数，1警_X*=-xze-3)故选：C.5.已知函数f(x)=一:巴:S1"一:有且只有3个零点，则实数Q的取值范围是(a-l)xz+x+x,xC(-1,1)()A.(0,1)B.(-,-8)u(0,l)C.0,l)D.(-,-8u0)【答案】B【解析】【分析】本题考查已知函数零点个数、方程根的分布求参，分段函数的解析式，属于综合题.先求Q=I时函数/(%)的零点，再考虑l时，函数f(x)在(-8,iul,+8)的零点，由此确定函数fM在(-1,1)上的零点个数，结合二次函数性质求Q的取值范围.【解答】3x1,X(1,1)解：当=l时，/(x)=2x,x1,÷),0,x(-1所以区间(-,-内的任意实数和:都为函数f(%)的零点，不满足要求；当l时，若(-,-l,则/(%)=(-l)x2+ax-x,令f(%)=0,可得=0(舍去)，或=-1,所以X=-I为函数f(x)的一个零点；若1,+)，则/'(x)=(-l)x2+x+%,令/W=0，则(-l)x2+ax+X=0,所以X=炉L,1-(1若害)1，即Ovl,则函数/G)在1,+8)上有一个零点；若>l或<0时，则函数/(x)在1,+)上没有零点；故当Ovl时，函数/(x)在(-,-lUl,+8)上有两个零点；当>l或<0时，函数/(x)在(-,-lU1,+)上有一个零点，因为当0QV1时，函数f(x)在(-,-lUl,+8)上有两个零点；又函数/(%)在R上有3个零点，所以函数fW在(-1,1)上有且只有一个零点，即方程(-I)X2+(+2)%-I=O在(-1,1)上有一个根，由d=(+2)2+4(-1)=a(a+8),当=0时，方程(-l)x2÷(+2)x-1=0的根为X=I(舍去)，故=0时，方程(-l)x2+(a+2)x-I=O在(-1,1)上没有根，矛盾当O<QV1时，J>0,设9。)=(。-1)/+(+2)x-l,x(-1,1),函数g(x)=(-I)X2+(+2)x-1的对称轴为x=等;>1,/一/a函数g(%)的图象为开口向下的抛物线，由方程(a-l)x2+(a+2)x-I=O在(-1,1)上有一个根可得g(l)>0,g(-l)<0,所以(Q1)+(a+2)1>0,(a1)(a+2)1<0,所以OVQV1,即0<Q<l时，函数/0)在R上有3个零点.当Q>1时，则函数人力在(-,-lU+)上有一个零点；又函数/(%)在R上有3个零点，所以函数/(x)在(-1,1)上有且只有两个零点，即方程(a-l)x2+(a+2)%-1=0在(-1,1)上有两个根，由g(x)=(a-l)x2+(a÷2)x-l,x(-1,1)可得函数g(x)的图象为开口向上的抛物线,函数g(x)=(a-l)x2+(a+2)x-1的对称轴为x=9殍，/一/Q则=(a+2)2+4(a-l)=a(Q+8)>0,-IV臀vl,g(l)>0,g(-l)>0,所以Q>4,(a1)+(a+2)1>0,(a1)(a+2)1>0,满足条件的Q不存在，当aV0时，则函数f(x)在(-,-lU1,÷)上有一个零点；又函数/(x)在R上有3个零点，所以函数/(x)在(-1,1)上有且只有两个零点，即方程(a-l)x2+(a+2)%-1=0在(-1,1)上有两个根，由g(%)=(a-1)/+(a÷2)x-l,x(-1,1)可得函数g(x)的图象为开口向下的抛物线,函数gM=(a-l)x2+(a+2)x-1的对称轴为X=粤，/一/a则4=(a+2)2+4(a-I)=Q(a+8)>0,-1<y-<1,g(l)<0,g(-I)V0,所以QV8»Q<O,(-1)+(+2)1<O,(1)(+2)1<O,所以QV-8,即QV-8时，函数/(%)在R上有3个零点.综上得实数的取值范围是(-,-8)U(0,1).故选：B6.已知函数f(X)=，nXt：若当方程/(%)=rn有四个不等实根与，2，3，工4(%1<%2<%3<%4)时，不等式k%3*4+*+据k+Il恒成立，则实数Z的最小值为()aIbHC.2-苧3-【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是分段函数的应用，对数函数的图象和性质，函数的最值，函数恒成立问题，综合性强，转化困难