（理）第6讲函数与方程教案-经典教学教辅文档.docx

第六讲函数与方程适用学科数学适用年级高三（理）适用区域通用课不时长（分钟）120知识点1 .方程的根与函数的零点2 .二分法3 .函数与方程的综合成绩教学目标1.结合二次函数的影像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2.根据具体函数的影像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这类方法是求方程近似解的常用方法.教学重点函数与方程。的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也必然会是.高考的考点.从近几年高考的情势来看，非常注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研讨了它的许多重要的结论，并付诸运用.高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”成绩有关.教学难点函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也必然会是高考的考点.从近几年高考的情势来看，非常注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研讨了它的许多重要的结论，并付诸运用.高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”成绩有关.教学过程一、知识讲解考点1.方程的根与函数的零点讲解内容(1)函数零点概念：对于函数y=(x)(xO),把使AX)=O成立的实数X叫做函数y=f()(三£>)的零点.函数零点的意义：函数y=f()的零点就是方程/()=0实数根，亦即函数y=(x)的图象与X轴交点的横坐标.即：方程Fa)=O有实数根=函数y=(x)的图象与X轴有交点o函数y=(x)有零点.二次函数y=+bx+c(WO)的零点：1)>0,方程or?+"+c=0有两不等实根，二次函数的图象与X轴有两个交点，二次函数有两个零点；2)=0,方程or?+"+c=0有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与X轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；3)<0,方程如2+以+c=0无实根，二次函数的图象与X轴无交点，二次函数无零点.零点存在性定理：如果函数y=(x)在区间向上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/()S)<0,那么函数y=(x)在区间Qb)内有零点.既存在c(,Z?),使得/(C)=0,这个C也就是方程的根.考点2.二分法讲解内容二分法及步骤：对于在区间也，切上连续不断，且满足了S)<0的函数y=f(x),经过不断地把函数/(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.给定精度£,用二分法求函数Ax)的零点近似值的步骤如下：(1)确定区间，b9验证/()S)<0,给定精度£；(2)求区间(,Z?)的中点再；(3)计算Fa)：若f()=O,则再就是函数的零点；若f()*/(x1)<0,则令8二阳(此时零点XOe(,X);若F(X)S)<0,则令。二再(此时零点XoEaM)；(4)判断能否达到精度J即若|<£,则得到零点零点值(或字);否则反复步骤24.注：函数零点的性质从“数”的角度看：即是使/*)=()的实数；从“形”的角度看：即是函数/(X)的图象与X轴交点的横坐标；若函数73的图象在X=X。处与X轴相切，则零点/通常称为不变号零点；若函数73的图象在X=X。处与X轴相交，则零点/通常称为变号零点注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件/S)<0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.考点3.二次函数的基本性质讲解内容(1)二次函数的三种表示法：y=ax+bx-c;尸a(x为)(x加；片a(x扬尸+.(2)当a>0,F(X)在区间夕，上的最大值弘最小值加，令xo=g(炉。).若一2夕，则F(P)=m，/(Q)-M2a若夕<2<Xo,则f(2)=%，/(7)-M2a2a若XoW2<q,则FS)=/%/()=7;2a2a若一22S则f(2)-M,/(q)=m.2a(3)二次方程f(x)=aV+6户k的实根分布及条件.方程F(X)=O的两根中一根比r大，另一根比r小Od(r)<O;=/?2-4c>0,二次方程f()=O的两根都大于To-2>，2aaf(r)>()=Z?2-4ac>0,b二次方程广(X)二O在区间5,Q)内有两根O"一五<心“f(q)>O,f(p)>O;二次方程F(X)=O在区间(Dq)内只需一根OfS)F(q)<O,或(夕)二0(检验)或“。=0(检验)检验另一根若在(0q)内成立.二、例题精析【例题1】【题干】方程Ig户产3的解所在区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,÷oo)【答案】C【解析】(I)在同一平面直角坐标系中，画出函数尸IgX与片-x+3的图象(如图).它们的交点横坐标与，明显在区间(1,3)内，由此可排除4,D至于选8还是选C,由于画图精确性的限制，单.凭直观就比较困难了.实践上这是要比较与与2的大小,当产2时，Ig产lg2,3-产L由于lg2Vl,因而%>2,从而判定'，二70Zc20(2,3),故本题应选C卜、【例题2】【题干】设a为常数,试讨论方程Ig(X-1)+炫(3-%)=7)的实根的个数【答案】当l<3或=:时，原方程有一解；4当3<<与时，原方程有两解；4当l或时，原方程无解.4x-l>0【解析】原方程等价于3>°即L2+5-x>01<%<3(x-l)(3-x)=-x构造函数y=-/+5一3(l<x<3)和y=,作出它们的影像，易知平行于X轴的直线与抛物线的交点情况可得:当l<3或="时，原方程有一解;4当3<“<曝时，原方程有两解；4当l或八4时，原方程无解.4【例题3】【题干】设函数f(x)在(-,+)上满足/(2-x)=(2+x),/(7-x)=(7+x),且在闭区间0,7上，只需/(l)="3)=O(I)试判断函数y=(x)的奇偶性；(II)试求方程/(X)=O在闭区间-2019,2019上的根的个数,并证明你的结论【答案】(I)函数y=(x)是非奇非偶函数(II)y=(x)在-2019,2019上有802个解.【解析】(I)由F(2-)=F(2+x),F(7x)=f(7+x)得函数y=(x)的对称轴为=2和x=7,从而知函数y=()不是奇函数,由，/(2-x)=/(2+x)_(7x)=(7+x)=(4-)J(X)=/(14T)n(4r)=(14)zz>(x)=(x+10),从而知函数y=f*)的周期为T=Io又/(3)=/(O)=0,时工O,故函数y=/(x)是非奇非偶函数;f=(4-)(x) = (14-x)= (4t) = (147)又/(3)=/(O)=0,/(11)=/(13)=/(-7)=/(-9)=O故F(X)在0,10和一10,0上均有有两个解，从而可知函数丁=/")在0,2019上有402个解,在-2019,0上有400个解,所以函数y=()在一2019,以函上有802个解.【例题4】【题干】设函数AX)=XTn(X+，其中常数加为整数.(1)当?为甚么值时，/(x)0;(2)请证明：当整数相>1时，方程/(x)=O在/z-也网-帆内有两个实根.【答案】后1见解析【解析】(1)函数F(X)=Xln(x+m),x(m,+8)连续，且当X£(一01m)时，f(X)<0,F(X)为减.函数,f(x)>F(l-m)当x(l-m,+8)时，/()>0,f()为增函数,f()>f(l-m)根据函数极值判别方法，f(lm”lm为极小值，而且.对x(m,+8)都有f()/(1-m)=l-m故当整数mWl时，F(X)l-m,0(2)证明:由(I)知，当整数m>l时，l-m)=l-m<0,函数F(X)=X-ln(x+m),在上加-孙1-6上为连续减函数.由所给定理知，存在独一的司H”-肛1-7),使11X)=0而当整数m>l时，类似地,当整数m>l时,函数F(X)=XTn(X+m),在口-九/"-M上为连续增函数且F(l-m)与一异号，由所给定理知，存在独一的巧l-zn,e-m一Z,使/(12)=0故当m>l时,方程F(X)=O在-九1内有两个实根.【例题5】【题干】关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是()A. “二分法”求方程的近似解必然可将y=f()在旧6内的一切零点得到；B. “二分法”求方程的近似解有可能得不到y=()在出6内的零点；C.运用“二分法”求方程的近似解，y=f*)在出川内有可能无零点；D.“二分法”求方程的近似解可能得到/()=()在a"内的精确解；【答案】D【解析】如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只需限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实行满足零点存在性定理，在区间内必然存在零点，乃至有可能得到函数的精确零点.【例题6】【题干】方程/3=0在0,1内的近似解，用“二分法”计算到人=0.445达到精确度要求.那么所取误差限J是()A.0.05B.0.005C.0.0005D.0.00005【答案】C【解析】由四舍五入的准绳知道，当XH)0.4445,0.4455)时，精度达到XH)=O.445.此时差限J是0.0005,选项为C【例题7】【题干】设二次函数/(x)=+b+c(>0),方程F(X)-X=O的两个根X,%2满足。<玉<%2<L当X(,xj时，证明X<f(x)<X1.【答案】见解析【解析】由题意可知f(x)-x=a(x-xl)(x-x2),.当X(0,X)时9fx>X.又/(X)-Xl=(X-Xl)(X-X2)+X一项="一2XaX-ax÷1)，综上可知，所给成绩获证.【例题8】【题干】已知二次函数/(x)=ax2+bx+(aib三R,a>0),设方程f(X)=x的两个实数根为王和马.(1)如果玉<2<X2<4,设函数/(x)的对称轴为X=X0,求证：X0>-1;(2)如果闵<2,员-力=2,求的取值范围.，【答案】(1)见解析(2)bJ或44【解析】设g(x)=f(x)-X=ax2+(Z?-l)x+l,则g(x)=0的二根为X1和超.(1)由a>0及王<2<%2<4，可得4,即，g(4)>016+4-3>0-b3八3+3<0,即2。4两式相加得2<,所以，>7；ZICh3八2a-4-2+<0,2a4a(2)由区-/)2=(3)2-土可得2+l=J(b-l)2+l.aa又XIX2=L所以x,它同号.，<2,-XI = 2等价于，0 < x1 < 2 < x2x2 < -2 < x1 < 02 + l = (Z?-1)2 +12 + l = JS-1)2 +1