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课题曲线的凹凸性和拐点、函数图像的描绘课时4课时(180min)教学目标知识技能目标：(1)熟练掌握曲线凹凸性的判别方法(2)理解拐点的定义，掌握求解拐点的方法(3)绘制某些简单函数的图形(包括水平和铅直渐进线)素质目标：(1)培养学生联系的、辩证统一的思想(2)培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质教学重难点教学重点：判断曲线的凹凸性及拐点的求解教学难点：判断曲线的凹凸性、绘制某些简单函数的图形教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课内容【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到问题导入【教师】提出问题：如何求曲线的凹凸性及拐点？【学生】聆听、思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言和讲解，引入新的知识点，讲解曲线的凹凸性和拐点，以及函数图像描绘的相关知识一、曲线的凹凸性与拐点1.曲线凹凸性的定义及其判定【教师】提出凹凸性的定义及判定方法首先观察图3-9所示的两条曲线.图3-9如图3-9所示,有一类曲线向上弯曲，它在任何点处的切线总位于曲线的下方；另一类曲线向下弯曲，它在任何点处的切线总位于曲线的上方，由此我们给出关于曲线凹凸的定义：定义1设y=f在闭区间,b上连续，在开区间(a,b)内可导,若曲线y=/(x)上每一点处的切线都在它的下方，(图3-o(a),那么称曲线y=/(x)在句上是凹的，区间3，b叫做曲线y=Jfa)的凹区间;如果曲线y=f(x)上每一点处的切线都在它上方(图3-o(b),那么称曲线y=/(x)在。，勿上是凸的，区间a,可叫做曲线y=f(x)的凸区间.BS3-o由图3-10可看出，对于凹的曲线弧，其上任意点的切线的斜率随着X的增大而增大，即r*)是单调增加的，从而在SM内，(x)>0;对于凸的曲线弧，其上各点的切线的斜率随着X的增加而减小，即/'(X)在(a,b)内饰单调减少的，因而在Q,力)内，fx)<0.由此可见，曲线,y=/(x)的凹凸性与二阶导数fx)的符号有关.定理1(曲线凹凸性的判定定理)设/(x)在,加上连续，在3")内具有二阶导致/(X):(1)若在(，份内/"(X)>0,则曲线)，=/(X)在出，切上是凹的.(2)在3,加内fx)<0,则曲线y=f(x)在。，句上是凸的.如果将定理中的区间改为其他区间，结论仍然成立.【教师】通过例题，帮助学生掌握凹凸性的判定例I判定曲线y=3的凹凸性.解函数的定义域为(-,+8).=3x2,=6x.当XVO时，/<0,故曲线在(一8,0内是凸的；当x>0时，/>0,股曲线在0,+8)内是凹的；当X=O时，>严=0.点(0,0)是曲线y=V由凸变凹的分界点(图3-11).2.曲线的拐点及其判定【教师】提出曲线拐点的定义及判定方法定义2连续曲线y=/(X)上凹与凸两部分的分界点(Xo,/(Ao)叫做该曲线的拐点.如例1中，点(O,O)是曲线V=X3的拐点.如何来寻找曲线)，=/(X)的拐点呢？我们可以按下列步骤来判定某区间上的连续曲线y=/(%)的拐点：(1)求二阶导数/"(幻.(2)令fx)=O,解出这个方程在该区间内的实根，并求出在该区间内f"(x)不存在的点.(3)对于(2)中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点X0,考察在X0左、右两侧fx)的符号，当与两侧的符号相反时，点(“0，/(%)是拐点，当小两侧的符号相同时，点(/,/(%)不是拐点.【教师】通过例题，帮助学生掌握凹凸性的判定例2求曲线户=/-2%3+1的凹凸点区间和拐点.解函数y=-2+的定义域为(yo,+8).y,=4x3-6x2,=12x2-12x=12x(x-1),令)严=O,得=o和=.列表讨论如下：X(-CO>0)O(0,1)1(1,+8)V*+O-O+曲线拐点C拐点U(1,0)(0,1)由上表可知，曲线的凹区间是(8,0,1,+8)；凸区间是0,1；拐点为(0,1)和(1,0),(表中"D"和"C"分别表示曲线是凹的和凸的).I例3确定曲线,V=1+(X-的凹凸性和拐点.解函数y=l+(x-l六的定义域是(ro,+8),221y"=,(-l)3j99当=时，都不存在.列表讨论如下：X(-oo,0)1(l,+)+曲线拐点(1,1)C由上表可知，曲线在(-,I是凹的，在l,+8)是凸的，曲线的拐点为(1,1).二、函数图像的描绘在作图之前先介绍曲线的水平渐近线和垂直渐近线的概念.1.曲线的水平渐近线和垂直渐近线【教师】提出曲线的水平渐近线和垂直渐近线的概念如果一条曲线在无限延伸的过程中，能与某条直线无限接近，则称这条直线为该曲线的渐近线.定义3如果当自变量Xf8(有时仅当XM曲TfO时)，/(X)趋近于b,即Iim/(x)=b,X00则称直线y=b为曲线y=/(x)的水平渐近线;如果当x-小(有时仅当XTXO+或rV)时，FeV)趋近于8,即Iim/(x)=，-*则称直线X=为曲线y=/（八）的垂直渐近线.例如y=j7,因为Iim-V=O,lim4=,所以直线y=O(轴)和X=O(V轴)分别是曲线v=X-X-*0x的水平渐近线和垂直渐近线.2.函数图像的描绘【教师】介绍函数图像的描绘方法以前我们用描点法作图带有一定的局限性，图像上的一些特殊点(如极值、拐点)和弯曲方向往往得不到反映.为使函数图像的特性更准确的描绘出来，现在我们利用函数变化的主要形态作函数的图像，其一般步骤如下：(1)确定函数卜=f()的定义域、间断点及函数所具有的某些特性(如奇偶性、周期性等)；(2)求出函数的一阶导数r(%)和二阶导数/"(X),解方程r*)=o,/"()=o在定义域内的全部实根及r(x)和/"co不存在的点，应用这些根和点，将函数的定义域划分为若干个子区间；(3)列表讨论/'(X)和/"(X)在(2)中所得各子区间内的符号，由此确定函数的单调性、极值、曲线的凹凸性和拐点；(4)如有渐近线，求出渐近线，并确定其他变化趋势；(5)求辅助点，如曲线与坐标轴的交点等；(6)在直角坐标系中，根据上面讨论，描点作图.【教师】通过例题，帮助学生掌握函数图像的描绘例4作函数y=gV-r的图像.解(1)函数的定义域为(yo,+8),无间断点.由于/(-X)=-/(X),所以该函数为奇函数，其图像关于原点对称.(2)y,=X2-1»yn2x,由y'=0,得x=±l;由y"=0,得X=O.(3)列表讨论：.V(-00,-1)-1(1,0)0(0,1)1(1,+8)+00÷0+y=f极大值m拐点(0,0)极小值-;7(4)当X>+时，y+00；当XYo时,y-00.(5)取辅助点(一2,-1),(-3,0),(3,O),(2,|：1-例5描绘函数y=-7=e2的图像.2解(1)函数的定义域为(YO,+8),无间断点，由于f(-)=/(X),所以F(X)为偶函数，其图像关于y轴对称，因此可以只讨论0,+oo)上该函数的图像.苞0,+8)上，令y'=0,得X=0；y"=0»得X=L(3)列表讨论：X0(0,1)1。，+8)y00+y=f()极大值1j2拐点(1.-7J=)2e1上(4)由于Iimy=Iim-=e2=0,所以图像有一条水平渐近线片0.÷X-K>0J)TT(5)取辅助点(2,q=e").2(6)综合以上讨论，作出函数y =后e2在I。,8)上的图像，利用图像的对称性，得函数在(-O0,+8)上的图像(图3-13).这条曲线称为标准正态分布曲线.y(,>)-1(o»-4=)t(1,')-Zjte图【学生】聆听、思考、理解、记忆X3-13拓展训练【教师】讲解凹凸性、拐点与作图之间的联系【学生】聆听、记录、思考强化练习【教师】对学生迸行分组，每组选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，完成以下习题1 .确定下列曲线的凹凸区间和拐点：(1) y=2xi-3x2+x+2;(2)y=(2x-l)4+l;£(3)y=ln(l+x2);(4)y=2+(x-3V.2 .求下列曲线的渐近线：(1) y=-；(2)y=e-f-01.l-x3 .描绘下列函数的图像：1V(1)y=-(4-6x2+8x+7)；(2)y=-；5l+x【学生】分组、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，并讲解解题思路【学生】聆听、思考、对比自己的计算结果和演算过程，提升解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点曲线的凹凸性与拐点，函数图像的描绘【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成能力训练34的习题【学生】完成课后任务教学反思