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课题最大值、最小值问题课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)理解最值的概念,熟练掌握求函数最值的方法(2)养成整体思维的习惯,提高应用知识解决实际问题的能力素质目标：(1)通过教学活动，培养学生仔细观察、善于思考、勇于创新的科学素养(2)通过引导探究，开发学生的学习潜能，逐步培养学生养成运用数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯教学重睚点教学重点：求函数最值的方法教学难点：通过求函数的最大值、最小值解决实际问题教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课内容【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到问题导入【教师】提出问题：函数的最大纸盒最小值如何求？【学生】聆听、思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言和讲解，引入新的知识点，讲解最大值、最小值的相关知识一、最大值与最小值【教师】提出最值的求法假定函数fx在闭区间国，b上连续，由闭区间上连续函数的性质可知:/(x)在，切上的最大值和最小值一定存在，如果最大值(或最小值)/(X0)在开区间(4，b)内的点X0处取得.那么/(X0)一定是/(X)的极大值(或极小值)，从而一定是/(X)的驻点或尖点.又/(X)的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得，因此，求连续函数/(外在S，b上的最大值和最小值方法如下：(1)求导/'(X),找出在S")内的驻点和尖点，按从小到大顺序，不妨设为斗，血.(2)计算上述各点的函数值/(x.)(z=1,2,.h)及端点的函数值f(a),f(b).(3)比较(2)中各值的大小，其中最大的、最小的就是函数/(X)在必，加上的最大值和最小值.【教师】通过例题，帮助学生掌握利用最值解决实际问题的方法例1求函数/(x)=/(x2-Zr)2在-1,3上的最大值与最小值.解f,(x)=4.u0,显然(-1,3)内/(X)的驻点为X=I;尖点为X=O,x=2.3x2-2x由于/(T)=3，/(0)=0，/=1，/(2)=0，/(3)=3,比较可得)在X=T和x=3处，取得最大值正，在=0和=2处，取得最小值0.如果连续函数/(x)在一个开区间(，b)内有惟一的一个极值时，那么这个极大(或极小)值就是函数/(X)在该区间内最大(或最小)值(如图3-3,34所示).许多求最大(或最小)值的实际问题，都属于这种类型.例2铁路线上AB段的距离为100km,工厂C距4处为20km,AC垂直于A8(图3-8),为了运输需要，要在AB线上选定点D向工厂修筑一条公路，已知铁路每公里货运费与公路每公里货运的运费之比为3:5,为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？B图3-5解设40=X(km),那么。8=1OOT,CD=202+2=400+x2.由于铁路上每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3:5,因此我们不妨设铁路每公里的货运费为3k,公路每公里的货运费为Sk(比例系数k>0).设从8点到C点需要的总运费为y,那么y=5kCD+3kDB,即y=5ky400+x2+3(100-x)(0领JxI(X),一当_：0(400+x2)400+x2解方程y'=0,得X=15(km),可见在区间(0,100)内有惟一驻点，且)，卷0，根据极值判定法则2可知：x=15是目标函数在(0,100)内惟一的极值点，且为极小点，从而也是使目标函数在(),100上取最小值的点，因此，当x=15(km)时，总运费为最省.在实际问题中，根据实际经验可以断定可导函数/(X)最大值或最小值存在,且在定义区间内部取得，这时如果f(x)在定义区间内部有惟一驻点,那么可以断定/(X0)是最大值或最小值.例3把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁(图3-6).问矩形截面的高6和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大？解由力学分析可知矩形梁的抗弯截面模量为W=-bh2l6由图3-6可知Ir=/一从，则1,1W=-(d2b-by).6这样，W就是自变量b的函数，be(0,d).问题化为:b达到多少时目标函数W取最大值？为此，求W对b的导数W,=-(d2-3b2),6令W'=0,解得b=gd.由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，在(0,d)内部取得且有唯一驻点b=gd.所以，当b=gd时,W的值最大，这时必二/一从=g(2,即=&,=.即当圆木直径与截面的高、宽之比为G:忘：1时，梁的抗弯截面模量最大.例4【旅行社断1润】旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15OOO元，旅游团中每按以下放与旅行社:若旅游团的人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，每张机票减少10元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？解设旅游团有X人，每张飞机票为y元，依题意得当1麴k30,y=900;当30vx,75时，y=900-l(Xx-30)=-10x+1200.每张机票的价格与旅游团的人数之间的关系为J900,1如30,v-IOx+1200,30<,75,设润为Q(X)元，则、，YISmn900x-15000,1蒯x30,Q(X)=yxT5000=j9/7s-IOx2+1200x-15000,皿<"心当30时，Qlax(30)=900x3015000=12000;当30<x,75时，利润。关于趟导数,(x)=-20x+1200.令Q,(x)=0,解得题=60.因为实际问题中的最大利润存在，且有唯一驻点，0(60)=21000>12000,所以当旅游团人数为60人时，旅行社可获得的最大利润为21ooo元.【学生】聆听、思考、理解、记忆拓展训练【教师】最值的综合应用【学生】聆听、记录、思考强化练习【教师】对学生进行分组，每组选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，完成以下习题1 .求下列函数的最大值和最小值：(1) y=X4-Sx2+2,-1领k3;(2)y=x+l-x,-5加1.2.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只有够20m长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积三?【学生】分组、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，并讲解解题思路【学生】聆听、思考、对比自己的计算结果和演算过程，提升解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点函数最值的求法最值的实际应用【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成能力训练3-3的习题【学生】完成课后任务教学反思
