2024二次函数与相似三角形.docx
二次函数与相像三角形一.解答题(共8小题)1. (2024青海)如图，已知抛物线经过点A(2,O),B(3,3)及原点0,顶点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A,O,D,E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；(3) P是抛物线上其次象限内的动点，过点P作PM_Lx轴，垂足为M,是否存在点P使得以点P,M,A为顶点的三角形与ABOC相像？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说2. (2024临沂)如图,抛物线经过A(4,O),B(1,O),C(0,-2)三点.(1)求出抛物线的解析式；(2) P是抛物线上一动点，过P作PMJ_x轴，垂足为M,是否存在P点，使得以A,P,M为顶点的三角形与AOAC相像？若存在，恳求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得ADCA的面积最大，求出点D的坐标.3. (2024西安模拟)如图，已知抛物线y=a2+b+c(a0)经过A(-1,O),B(4,0),C(0,2)三点.(1)求这条抛物线的解析式；(2) E为抛物线上一动点，是否存在点E便以A、B、E为顶点的三角形与ACOB相像？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.4. (2024洛阳一模)抛物线y=a2+bx+c(a0)的顶点坐标为(2,-1),并且与y轴交于点C(0,3),与X轴交于两点A,B.(1)求抛物线的解析式；(2)设点P是位于直线BC下方的抛物线上一动点如图1,过点P作PD_LBC,垂足为D,求垂线段PD的最大值并求出此时点P的坐标；如图2,抛物线的对称轴与直线BC交于点M,过点P作y轴的平行线PQ,与直线BC交于点Q,问是否存在点P,使得以M、P、Q为顶点的三角形与ABCO相像？若存在，干5. (2024秋松江区月考)如图，已知抛物线经过A(-2,0),B(-3,3)及原点O,顶点为C(1)求抛物线的函数解析式.(2)设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标.(3)P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM_Lx轴，垂足是M,是否存在点p,使得以P、M、A为顶点的三角形与ABOC相像？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.X6. (2024常德)如图，已知二次函数尸-L(+2)(ax+b)的图象过点A(-4,3),B48(4,4).(1)求二次函数的解析式：(2)求证：AACB是直角三角形；(3)若点P在其次象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直X轴于点H,是否存在以P、H、D为顶点的三角形与AABC相像？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.7. (2024鄂尔多斯)如图，抛物线的顶点为C(-1,-1),且经过点A、点B和坐标原点O,点B的横坐标为-3.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、0、D、E为顶点的四边形为平行四边形，请干脆写出点D的坐标；(3)若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PMJ_x轴，垂足为M,是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与ABOC相像？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.8. (2024鄂州)如图，在平面直角坐标系XOy中，直线y=x+2与X轴交于点A,与y轴交于点C抛物线y=a2+bx+c的对称轴是X=-g且经过A、C两点，与X轴的另一交点为2点B.(1)干脆写出点B的坐标；求抛物线解析式.(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA,PC.求PAC的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.（3）抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直X轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与ABC相像？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.B3-2二次函数与相像三角形参考答案与试题解析一.解答题(共8小题)1. (2024青海)如图，已知抛物线经过点A(2,O),B(3,3)及原点0,顶点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A,O,D,E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；(3)P是抛物线上其次象限内的动点，过点P作PM_Lx轴，垂足为M,是否存在点P使得以点P,M,A为顶点的三角形与ABOC相像？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)依据抛物线过A(2,0)及原点可设y=a(x-2)x,然后依据抛物线y=a(x-2)X过B(3,3),求出a的值即可；(2)首先由A的坐标可求出OA的长，再依据四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线X=-1右侧，进而可求出D横坐标为：-1+2=1,代入抛物线解析式即可求出其横坐标；(3)，分&PMASCOB和4PMASBOC表示出PM和AM,从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标.【解答】解：(1)依据抛物线过A(2,0)及原点，可设y=a(x-2)(X-0),又抛物线y=a(x-2)X过B(3,3),3(3-2)a=3,*a=19抛物线的解析式为y=(x-2)x=x2-2x；(2)若OA为对角线，则D点与C点重合，点D的坐标应为D(1,-1)；若OA为平行四边形的一边，则DE=OA,点E在抛物线的对称轴上，.点E横坐标为1,点D的横坐标为3或-1,代入y=2-2x得D(3,3)和D(-1,3),综上点D坐标为(1,-1),(3,3),(-1,3).(3) Y点B(3,3)C(1,-1),BoC为直角三角形，ZCOB=90%且OC：OB=I:3,如图1,若.PMASCoB,设PM=t,则AM=3t,二.点P(2-3t,t),代入y=x2-2x得(2-3t)2-2(2-3t)=t,解得t=O(舍),如图2,若APMASBOC,设PM=3t,则AM=3点P（2-t,3t）,代入y=x2-2x得（2-t）2-2（2-t）=3t,解得t=O（舍），t2=5,P（-3,15）综上所述，点P的坐标为（-工，工）或（-3,15）.【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质、相像三角形的判定和性质等学问点，综合性强，同时也考查了学生分类探讨，数形结合的数学思想方法.2.(2024临沂)如图，抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.(1)求出抛物线的解析式；(2)P是抛物线上一动点，过P作PMJ_x轴，垂足为M,是否存在P点，使得以A,P,M为顶点的三角形与AOAC相像？若存在，恳求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得DCA的面积最大，求出点D的坐标.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】(1)已知抛物线经过C(0,-2),则可设该抛物线的解析式为y=a2+b-2,再把A(4,0),B(I,0)代入即可；(2)ZkOAC是直角三角形，以A,P,M为顶点的三角形与其相像，由于点P可能在X轴的上方，或者下方，分三种状况，分别用相像比解答；ADE,它们 运用代数式(3)过D作y轴的平行线交AC于E,将乙DCA分割成两个三角形CDE,的底相同，为DE,高的和为4,就可以表示它们的面积和，即ADCA的面积，的变形求最大值.【解答】解：(1)该抛物线过点C(0,-2),设该抛物线的解析式为y=ax2÷bx-2.将A(4,0),B(1,0)代入，,16a+4b-2=0a+b-2=0此抛物线的解析式为y=-l2÷x-2.(2)存在.如图，设P点的横坐标为m,则点P的纵坐标为-1m2÷m-2,当IVmV4时，AM=4-m,PM=一"ln2-2，22又ZCOA=ZPMA=90°,当里奥2时，AAPMSAACO,PMOC彳；?=2,即4-m=2(-lro2+m-2×4-m=m+5m-4,m2-6m+8=0,(m-2)(m-4)=O>解得：m=2,m2=4(舍去)二.P(2,1)当妈A=A,APMSCAO,PMOA2那么有：24-m=-lro211-2>2(4-m)=-Am2+-m-2,22m2-9m+20=0,.(m-4)(m-5)=O,解得：mi=4(舍去)，r112二5(舍去)，当IVmV4时，P(2,1),类似地可求出当m>4时，P(5,-2),当mVl时，P(-3,-14),当P,C重合时，AAPM之ACO,P(0,-2).综上所述，符合条件的点P为(2,1)或(5,-2)或(-3,-14)或(0,-2)；(3)如图，设D点的横坐标为t(0VIV4),则D点的纵坐标为-22+g-2.22过D作y轴的平行线交AC于E.由题意可求得直线AC的解析式为y=l-2.E点的坐标为(I,It-2).2.DE=-lt2+-2-(11-2)=-lt2+2t.2222.,.SDAC=-×(-i2+2t)×4=-t2+4t=-(t-2)2+4.22当t=2时，ADAC面积最大./.D(2,1).【点评】本题综合考查了抛物线解析式的求法，抛物线与相像三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积及其最大值问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形.3.(2024西安模拟)如图，已知抛物线y=a2+bx+c(a0)经过A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点.(1)求这条抛物线的解析式；(2)E为抛物线上一动点，是否存在点E便以A、B、E为顶点的三角形与ACOB相像？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)本题需先依据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=a2+bx+2,再依据过A,B两点，即可得出结果；(2)由图象可知，以A、B为直角顶点的AABE不存在，所以AABE只可能是以点E为直角顶点的三角形.由相像关系求出点E的坐标.【解答】解：(1)该抛物线过点C(0,2),可设该抛物线的解析式为y=a2+bx+2.将A(-1,0),B(4,0)代入，得Iab+2-0,解得2,116a+4b+2=0匕/二抛物线的解析式为：y=-l2+2.22(2)存在.由图象可知，以A、B为直角顶点的AABE不存在，所以AABE只可能是以点E为直角顶BC=如2+产如.在RlBOC中，设BC边上的高为h,则32h=2×24,BEAsaCOB,设E点坐标为（x,y）,.AB=JzL.箴祈.y=±2将y=2代入抛物线y=-l2+2,22得X=0,X2=3.当y=-2时，不合题意舍去.E点坐标为（0,2）,（3,2）.【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及相像三角形的性质的运用，勾股定理的运用,解题的关键是正确求出函数的解析式.4.(2024洛阳一模)抛物线y=a2+b+c(a0)的顶点坐标为(2,-1),并且与y轴交于点C(0,3),与X轴交于两点A,B.(1)求抛物线的解析式；(2)设点P是位于直线BC下方的抛物线上
