2024二次函数2024年汇编大题周矶中学专题复习.docx

【点评】本题是一次函数、二次函数的用，求表达式，求极值。一次函数求极值是依据y随X求一张薄板的利润与边长这之间满意的函数关系式。查的重点内容。教学时要多加留意。难度中等。（2024河北省24,9分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽视不计）这些薄板的形态均为正方形，边长（单位：Cm）在550之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：Cmb成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据，：.P=-x2+2x+025（2）Va=-<0.当x=-2=-=25（在5'50之间）时,252“2x（）25薄板的边长（cm）2030,4×-×I0-22P,4ac-b-I25；4,4×H）出厂价（元/张）5070（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满意的函数关系式；即出厂一张边长为25Cin的薄板，所获得的利润最大，最大利润为35元【注：边民的取值范围不作为扣分点】（2）已知出厂一张边长为40Cm的薄板，获得利润是26元（利润=出厂价-成本价）。的增大而增大还是缩小：二次函数的极值分为两部分：顶点极值和非顶点极值。是每次中考都要考当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线y=ax2+hx+c（a0）的顶点坐标是（一人、出土.I24a）【解析】（1）依据每张薄板的出厂价（服位：元）由基础价和浮动价两部分组成，设出出厂价的表达式（为一次函数）再依据表格中的数据，求出解析式。（2）依据利润=出厂价-成本价，列出利润的关系式，为二次函数，再利用顶点坐标，求出当边长为多少时，博班利润最大？最大利润是多少？但是须要验证顶点的横坐标在不在X的取值范围内。【答案】解：（1）设一张薄板的边长为XCm,它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元,则y=kx+n2分.（5O=2O+hk=2由表格中数据得八，解得y=2x+10（7O=3O+n=l（）（2）设一张范板的利润为P元,它的成本价为mx,元，由题意得P=ymX"=2x+10-mx'将x=40,P=26代入P=2x+10mx'中，得26=2x40+10-mxdO?解得m=-!-(2024黑龙江省绥化市，23,6分)如图，二次函数y=0-4x+c的图像经过坐标原点，与“轴交与点A(-4,0).(1)求此二次函数的解析式：(2)在抛物线上存在点P,满意S,a8=8,请干脆写出点P的坐标.【解析】解：(1)把点A(-4,0)及原点(0.0)代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答：Jc = O,×(-4 )2-4×(-4 )+c=0 解得。=-1C=O所以，此二次函数的解析式为y=-x'7x:(2)依据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在X轴的上方与下方两种状况解答即可.由已知条件得(2)Y点A的坐标为(-4,0),A0=4,设点P到X轴的距离为h,RJSw=×4h=4,解得h=4, 当点P在X轴上方时，-2-4x=4,解得x=-2,所以，点P的坐标为(-2,4)： 当点P在X轴下方时，-J4x=-4,解得X产-2+2J,x2=-2-22所以，点P的坐标为(-2+2JT,-4)或(-2-2J,-4),综上所述，点P的坐标是：(-2,4X(-2+22.-4×(-2-22,-4).【答案】J=-X2-4%；点P的坐标是:(-2,4)、(-2+22,-4)、(-2-22,-4).【点评】本题号查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，(2)要留意分点P在X轴的上方与下方两种状况探讨求解.难度中等.Va>O,.AB=稣亚二年亚Ial。乂.CD=4""="2-4c.从-4c9Xr1-40c4a4'a4。,病F=£,L=(”尸.bi-4ac>0,Vb2-4cc>0,b2-4ac=l2.点评：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与X轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等.(2024甘南兰州，27,10分)若刈、x?是关于X一元二次方程ax>+bx+c=0(a0)的两个根，则方hc程的两个根XI、X?和系数a、b、C有如下关系：x+,=-t,xx,=t.把它们称为一元二次方a"a程根与系数关系定理。假如设二次函数y=a2x+c(a0)的图象与X轴的两个交点为A(x,0),B(X2,0).利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：ab=i-=(-i+x2)2-4x1x2=T=参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax+bx+c(a>0)的图象与X轴的两个交点A(l,0),B(2,0),抛物线的顶点为C,明显CABC为等腰三角形.(1)当AABC为等腰直角三角形时，求从-44c的值；(2)当AABC为等边三角形时，求从-40c的值.解析：(1)当AABC为直角三角形时，由于AC=BC,所以AABC为等腰直角三角形，过C作CD_LABylh4C于D,则AB=2CD.依据本题定理和结论，得到A8=J71-依据顶点坐标公式，得到冏CD=4acb'=b'-4ac,列出方程，解方程即可求出从一4c的值：4a4a(2)当aABC为等边三角形时，解直角AACD,得CD=6AD=更AB,据此列出方程，解方2程即可求出从-4。的值.解：(1)当AABC为等腰直角三角形时，过C作CD_LAB于D,则AB=2CD;抛物线与X轴有两个交点，JZX=FTac>0,则IbLlacI=IZTac.【点评】本题考查二次函数的性质：二次函数的求法、二次函数对称轴的求法、二次函数对称轴的求法以及对称的性质.待定系数法求二次函数的解析式是二次函数常考查的问题，二次函数性质的综合应用在中考中常作为压轴题考杳.(2024山东省滨州中考，24,10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax'bx+c经过A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三点.(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式：(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+0M的最小值.【解析】(D将A、0、B三点代入此抛物线求出抛物线的解析式即可。(2)求出此抛物线的对称轴以及对称轴的垂直平分线的方程，画出它们，由几何关系可求得AM+0M的最小值.解：(D把A(-2,-4),0<0,0),B(2,0)三点的坐标代入y=ax4bx+c中，得Na-2b+c=-44a+2b+c=0c=0解这个方程组，得a=-,b=l,c=0所以解析式为y=-Lr.2可得(2)由y=-l2+x=-i(x-1)斗,222抛物线的对称轴为x=l,并且对称轴垂直平分线段OBAOM=BMOM+AM=BM+AM连接AB交直线x=l于M点，则此时OM+AM最小过点A作ANlx轴于点N,½RtAB,AB=an2+bn242+42=42,因此OM+AM最小值为49解：(1).抛物线)，=§f+纵+C经过B(0,4),c=4.顶点在直线X=?上，.-2=3,b=-22a232IO.所求的函数关系式为：y=-2-+433(2)½RtAB0,0A=3,0B=4,.,.AB=Q42+OB2=5四边形ABCD是菱形，.,.BC=CD=DA=B=5,C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),2If)当x=5时，y=×52×5+4=4332,in当x=2时，y=-×22-×2+4=033点C和点D都在所求抛物线上：5k + b = 42k+b = 0（3）设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,48设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,则,解得：k=±,b=-33.48.y=-x-335458252当X=/时，y=-×-=-,P(-,-)2323323(4)VMN/7BD,OMNOBD,OMONuntON1=，即一=.得ON=-IOBOD422设对称轴交X轴于点F,则SMNgI='(P尸+OM)O/=!2+)2=2+2223246*S,ha-OMONt-t=t2224Iisi215Sf=-ZVF-PF=-t)×-=-t+-22366c5512z15xI217z八S=-+r-(一一r+-)=_t+z(0<z<4)46466412S存在最大值.(2024甘肃兰州，28,12分)如图，RtAABO的两直角边0A、OB分别在X轴的负半轴和y轴的正9,半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=j-+bx+c经过点B,且顶点在直线X=S上.2(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把ZXABO沿X轴向右平移得到aDCE,点A、B、0的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时，试推断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连结BD,已知在对称轴上存在一点P是的APBD的周长最小，求出P点的坐标；(4)在(2)、(3)条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点0、B不重合)，过点M作MNBD交X轴与点N,连结PM、PN,设OM的长为t,ZkPMN的面积为S,求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围。S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由。(2)依据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可.(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,求出解析式，当x=时，求出y即可：(4)利用MN/7BD,得出AOMNsZiOBD,进而得出0£=型，得到ON=!"/，进而表示出APMNOBOD2的面积，利用二次函数最值求出即可.,c12171z172289由S=一r+1=一一(/)"+412461441 7QQ.当，=时，S取得最大值为Fr6144此时点M的坐标为（0,口）.6点评：此题主要考杳了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键，难度较大.代入函数解析式得：2:亚-织£,93解得：x=3+5,x2=3-S,即可得满意条件的有两个，R<3+3,23）,p.（3-3.23）.OP3故可得B0A=60°,设Ql坐标为（x,返J基x）,过点Ql作QF_Lx轴,93.,0B0Q1A.,.ZQ>0A=30o,故可得OF=JF,即x=3匹-2亚x）,93解得：x=9或x=0（舍去），即可得Ql坐标为（9,33>,依据因数的对称性可得。坐标为（-3,33）.点评：此题属于二次函数的综合题目，涉及了相像三角形的判定与性质，三角