19相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型（教师版）.docx

专题19相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8OO字模型.A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。模型字模型【模型解读与图示】AZBCBA图1D字模型条件：如图1,2）反字模型条件：如图23）同向双“4”字模型条件：如图3,EF/BC-,结论：4上iCBDC图2图3DE/BC；结论：AOEs2XA8C<=M=塔.At>ACDC，ZAE.DZB；结论：AOESacb=八二一人之一“：.ACbZ>CEGFGAGAEF<ABC,AEGABD,AGF<ADC=BDCDAD“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似.例L（2023湖北十堰统考中考真题）如图，在菱形43CQ中，点E,F,耳，CD,AO上的点，且BE=BF=CG=AH,若菱形的面积等于24,AHD，G,H分别是AB,皮）=8,WlEF+GH=【答案】6【分析】连接AC，交BD于点O,由题意易得AC=6,AClBD,AO=3,50=4,则有AB=4）=5,然后可得E尸ACG，设BE=Bf=CG=AH=,则有DH=5-,进而根据相似三角形的性质可进行求解.【详解】解：连接4C,交BD于点0,如图所示：团四边形ABCQ是菱形，BD=AB=BC=AD=CD,AClBD,AO=OC=-AC,BO=OD=-BD=4,22回S芟形Me/)=/AC.80=24，IZAC=6，回A°=3，AB=yAO1+BO2=5=AD,BEBFIlBE=BF=CG=AH,AE=CF=DH=DG,0=，团E尸AC,同理可得G”AC,AECF设BE=BF=CG=AH=a,则有OH=5-,BFFFaFF6EF/AC,BEFBAC,(3=,即一=，EF=-afBAAC565同理可得°”=gF,即乌=G?,GH=6a,EEF+GH=6；故答案为6.DACA565【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.例2.(2023安徽九年级期末)如图，在三角形二ABC中，点ZXE分别在边43、AC上，AD=3,BD=3ApAE=2,EC=4.(1)求证：NAOE=NC；(2)若NIMC的平分线交OE于点尸，交写于点G,求而.【答案】见解析=1FGAF7I11A1AFAD【分析】（1）证明筹=3=：,黑=：=：，可得签=罢，结合N"£=NC48,从而可得结论;AB42AC62ABAC（2）由（1）可得AD4EsAC48,可得NAoE=NC,证明NDAb=NCAG,可得益Abs-ACG,再利用相似三角形的性质可得答案.【详解】（1）解：国AD=3,BD=I,AE=2,EC=4,AB=AD+BD=4,AC=AECE=6.=|=Pf=l=色器=兼，又囹ZnA£=NC4B,DECAB,ZADE=ZC.(2)由(1)可得ZD4EsC48,BZADE=ZC,又I3AG平分/8AC,21ZDAF=ZCAG,i.ADFtCGAF AD0=AG AC_2AF i0 1FG【点睛】本题考查的是角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定方法是解本题关键.例3.（2022山东东营中考真题）如图，在，ABC中，点尸、G在BC上，点E、H分别在A3、AC上，四边形瓦6是矩形，EH=2EF,AD是二ABe的高.BC=8,AO=6,那么E”的长为.【答案】彳#4.8【分析】通过四边形EFG”为矩形推出阳比因此0AE”与MBC两个三角形相似，将AM视为ME”的AMFH高，可得出黑=黑，再将数据代入即可得出答案.ADBC【详解】回四边形EPG”是矩形，泌既,AEFABC,0AM和AD分别是0AEH和0A8C的高，AMEH0=,DM=EF,AM=AD-DM=AD-EF=6-EF,ADBC6-EF2EF12EH=2EF，RAW：一-=铝，解得EF二若,6851224240E7=2×y=y,故答案为：y.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键.例4.（2022浙江宁波中考真题）（1）如图1,在-ABC中，。，E,F分别为A8,AC,5C上的点，DEBC,BF=CF,AF交DE于点、G,求证：IH.如图2,在(I)的条件下，连接回若IWI，求回的值.如图3,在IHM，IWI与与1交于点O,E为FI上一点,1,!交I.I于点g,F|交BC于点F.若|及一I平分NE尸CFG=IO,求M的长.【答案】证明见详解:5+5?【分析】(1)利用。EBC,证明AAOGAABF,ZEGAB,利用相似比即可证明此间;(2)由得I司I，CGLDE,得出A0CE是等腰三角形，利用二角形相似即可求出(3)遵循第(1)、(2)小问的思路，延长GE交AB于点M,连接0W,作MN上BC,垂足为M构造出等腰三角形、含30。、45。角的特殊直角三角形，求出BN、W的值，即可得出M的长.(1)解：I3DEBC,EADGABF,AAEGAACF,1.DGAGEGAGDGEG八厂LLQ,=,0=.0BF=CF>圆EBFAFCFAFBFCFm÷*tDE AE 10=一BC AC 3解：由(1)得I司I,CG±DE,国CE=CD=6.AE=3,AC=AE+CE=9.I3DE/BC,国.ADEABC.(3)解：如图，延长GE交AB于点M,连接历W,作MN_LBC,垂足为/.在|司HLBO=DO.ZABC=ZADC=45o.EGBD,田由(1)得ME=GE,FAf = FG = IO飞NEFM=/EFG.回N石G/=40。，QINfMr=40。，0ZEFG=5Oo.团尸G平分NE尸C,国NEFG=NCFG=50。,田NBFM=I80。-NEFMNEFGNCFG=30。.0.在.RFMN中,MN=FMsin30°=5,FN=FMcos30o=53.用NMBN=45。,MN工BN,中BN=MN=5,©BF=BN+FN=5+56.【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键.例5.（2023安庆一模）如图，在AABC中，点。、E、产分别在边8C、AB.CA±,KDECA,DF/AB.（1）若点。是边BC的中点，且BE=CF,求证：DE=DR（2）若LBC于O,且BD=CD,求证：四边形Aa尸是菱形；（3）若AE=Ar=1,求工+-L的值.ABAC【分析】（1）根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得DE是AABC的中位线，进而可得。E=尸G同理可得。尸=BE即可解答；（2）根据已知易证四边形AEQ尸是平行四边形，再利用等腰三角形的三线合一性质可得NB4O=NCAO,然后利用平行线的性质可得ED4=NCAO,从而可得N84O=NED4,进而可得EA=EQ,即可解答；（3）根据A字模型相似三角形可知aBEOSZXBAGCDCBA,从而可得迈AC=竺_,DF=CDt然后把两个式子相加进行计算，即可解答.BCABBC【解答】（1）证明：Y点。是边BC的中点，DE/CAt点E是A8的中点，,OE是aABC的中位线，：.DE=AC,2Y点。是边BC的中点，£广AB,点产是AC的中点，/.FC=-AC,：.DE=FC同理可得：DF=BE,YBE=FC,工DE=DR2（2）证明：.DECA,DF/AB,工四边形AEZ）尸是平行四边形，*：ADLBC,Bo=CO,JAo是BC的垂直平分线，：.AB=AC,JNBA。=/。!。，tDEAC,：.ZEDA=ZCAD,"BAD=NEDA,：.EA=ED,上四边形AED尸是菱形；(3),JDECA.J-ZEDB=ZC,VZfi=ZB,:.abedsabac,.典=世，,dfab,：/b=/fdc,ACBCVZC=ZC,：ACDFsACBA,.迈=型,.迈十亚=世+型=BDyD=匕ABBCACABBCBCBC四边形AEQ厂是平行四边形，：.DE=AFiDF=AE,VAE=AF=LADE=DF=L,-L+-L=l,，-L+-L的值为1.ABACABAC【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式的化简求值，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及A字模型相似三角形的关键.模型2."X”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似.图4条件：如图1, AB/CD；结论:AOBcri11X-XK./-/X-X2）反“8”字模型条件：如图2.,NA=NZ）:结论tAoBSDOC万万=石.3）平行双“8”字模型Kta-AAEBEAB条件：如图3,AB/CD；结论：=DFCFCD4）斜双“<T字模型条件：如图4,Z1=Z2:结论：AODABOC,AOBADOC.3=Z4.例1.（2022辽宁中考真题）如图，在正方形48CD中，E为国的中点，连接BE交AC于点F.若A8=6,则4AE尸的面积为.【答案】3【分析】由正方形的性质可知AE=:aD=aB=!8C=3,AD/BC,则有aAEszcb,然后可得222FFAFI芸=会=;，进而问题可求解BrbC2EF AE=,BF BC【详解】解：团四边形ABCQ是正方形，AB=6,0AD=BC=AB=6,AD/BC»EAFFcoCF回E为国的中点，BAE=-AD=AB=-BC=3t222EF AE 0=BF BC1FF1ISbe=AEAB=9,-=-,=3；故答案为3.Zt>bJJ【点睛】本题主要考杳正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.例2.（2023黑龙江哈尔滨九年