08三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型（教师版）.docx

专题08三角形中的重要模型平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型）模型1、平分平行（射影）构等腰1）角平分线加平行线必出等腰三角形.模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题.平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。条件：如图1,Oo'平分NMOM过Oo'的一点尸作PQZOM结论：AOPQ是等腰三角形。条件：如图2, AABC中，BD是NABC的角平分线，DE BCC结论：ABZ）E是等腰三角形。条件：如图3,在AABC中，8。平分/ABC, C。平分/AC8,过点O作BC的平行线与AB , AC分别相 交于点M, N.结论： BOM. CON都是等腰三角形。2）角平分线加射影模型必出等腰三角形.例1.（2023河南濮阳统考二模）如图，直线44,点。、A分别在4、4上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交4C、4于点。、E;分别以。、E为圆心，大于goE长为半径画弧，两弧交于点尸；作射线A尸交4于点8.若N8C4=130。，则Nl的度数为（）C. 30°D. 50°r答案】B【分析】根据作图可知AA是/CAE的角平分线，进而根据平行线的性质即可求解.【详解】解：F卜“NfiCA+NCAE=180°YNBcA=I30。，NCAE=50。根据作图可知AA是NCAE的角平分线，Zl=-ZCAB=25°,故选：B.2【点睛】本题考查了作角平分线，平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键.例2.（2023.湖南长沙八年级期中）如图，点O为MBC的MBC和0AC8的平分线的交点，OD"AB交BC于点O,OE/AC交BC于点E.若48=5cm,BC=IOcm,AC=9cm,则00。E的周长为（）A.10cmB.9cmC.8cmD.5cm【答案】A【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质，把AOOE三条边转移到同条线段8。上，即可解答.【详解】解：如图：团。、08分别是0C80A8C的角平分线，005=06,01=02,ODAB,OEMC,(三4=06,01=03.004=05,02=03,即OD=BDfOE=CE.物。DE的周长=OQ+OE+OE=BD+f>E+CE=5C=IOC切.故选：A.【点睹】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，关键是证明团Boa团。EC都是等腰三角形.例3.（2023广东八年级期末）如图，½48CO中，AB=3cmtBC=5cm,BE平分NABC交4。于七点，CF平分/BCD交A。于F点，则EF的长为cm.【答案】1【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE=AB,DF=DC,进而推出EF=AE+DF-AD.【详解】Y四边形A8CO是平行四边形，"AEB=EBC,AD=BC=5cm,.8E平分NA8C,；./ABE=NEBC,则NAB石=AE8,.,.AB=AE=3cmf同理可证：DF=DC=AB=3cm,则EF=AE+Z7）AD=3+35=lcw.故答案为：1.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边.例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在AABC中，Z4C=90o,ADl.BC于点D,NABC的平分线BE交A。于尸，交AC于E若AE=3,DF=fI,则AD=.【答案】5【详解】由角度分析易知NAEF=NA/E,即AE=A尸，VAE=3AF=3VDF=2AD=AF+DF=5【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型.例5.（2023.山东八年级期末）如图，ABC,AB=ACfNB、NC的平分线交于。点，过O点作E尸BC交AB、AC于反尸.图中有几个等腰三角形?猜想:即与BE、CF之间有怎样的关系.如图,若ABAC,其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第问中EF与BE、。产间的关系还存在吗?(3)如图，若AABC中NB的平分线Bo与三角形外角平分线CO交于0,过。点作OEBC交AB于E,交AC于E这时图中还有等腰三角形吗?E尸与8石、CT关系又如何?说明你的理由.【答案】（1）AEF.OEB.OFC.OBC.48C共5个，EF=BE+FC;（2）有，EOB.FOCf存在；（3）有，EF=BE-FC.【分析】（1）由AB=AC可得N48C=NAC8;又已知08、OC分别平分NAB。、ZACfi:故zebo=zobc=zfco=zocb:根据E尸bc,可得：oeb=obc=ebo,/foc=/fco=/bco；由此可得出的等腰三角形有：AAEF、OEB.OFC.OBC.AfiC:已知了£08和FOC是等腰三角形，则EO=BE,OF=FC,MEF=BE+FC.（2）由（1）的证明过程可知：在证aOE8AOFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系,故这两个等腰三角形还成立.所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立.（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BbFC【详解】解：（1）图中是等腰三角形的有：AAEEOEB.OFC.OBC.ABC;EF.BE、Fe的关系是EF=BE+FC.理由如下：9：AB=AC,ZACb=ZABC,A48C是等腰三角形；* ：BO.CO分别平分NABC和NAeB,NABo=NoBC=；ZABCtZOCB=ZACO=/ACB,* ：EF/BCf：,/EOB=/OBC,ZFOC=ZOCB,：,/ABO=/OBC=/EOB=/OCB=/FOC=/FCO,* FOB、OBC.ZiFOC都是等腰三角形，* ：EFBC,ZAEf=ZABC,NAFE=NAC8,ZAEF=ZAFE,Z4E尸是等腰三角形，VOB.OC平分NABC、NACB,ABO=ZOBC,NACO=NOCB;<EF"BC,ZEOB=ZOBC=ZEBOiZFOC=ZOCB=ZFCOiBPEO=EB,FO=FC；：EF=Eo+OF=BE+CF;（2）当AB4C时，AEoB、尸OC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立.：OB、Oe平分NABC、ZACB,ZABO=ZOBCfNAC0=N0CB;：EFBC,，/EOB=OBC=EBO,/FOC=/OCB=/FCO；BPEO=EBfFO=FC;；EF=EO+OF=BE+CF；（3）EOB和户OC仍是等腰三角形，EF=BE-FC,理由如下：同（1）可证得AEOB是等腰三角形；.EO"8C,/.ZFOC=ZOCG;YOC平分NACG,Zaco=ZFOC=ZOCG,：FO=FC故尸OC是等腰三角形；：.EF=EO-FO=BE-FC.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识.进行线段的等量代换是正确解答本题的关键.模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型D内角平分线定理条件：如图1,在回ABC中，若AD是团BAC的平分线。结论：AB:AC=BD:CD2）外角平分线定理条件：如图2,在团ABC中，加AC的外角平分线交BC的延长线于点D。结论：BD.CD=AB:AC.3）奔驰模型条件：如图3,aABC的三边6C、AC.AB的长分别是小b,c,其三条角平分线交于点。，将AABC分为三个三角形。结论：SZo：S,Bco：S.d。：瓦例1.（2022秋山东荷泽八年级统考期中）如图，在AABC中，NA=90。，AB=2,BC=5,BD是NABC的平分线，设AABZ）和a8力C的面积分别是H,S2,贝L=.32AB2【答案】0.4【分析】过点。作OE18CJE,根据角平分线的性质得出。E=D4,再根据三角形的面积公式得出Sl与品即可求解.【详解】解：如图，过点。作OE_LBC于E,VDA±BA,DEA.BC,BO是NABC的角平分线，DE=DA,11S1AB22-Si=-ABADtS?=产DE,：,N=沃=U故答案为：【点睹】本题考杳角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质得出。石=DA是解题的关键.例2.（2023广东惠州八年级校考阶段练习）如图，JlBC的三边AA,BC,CA长分别是3,4,5,其三条角平分线将JSC分为三个三角形，则SA小SBC。：SS为（）A.1:1:1B.1:2:3C.2:3:4D.3:4:5【答案】D【分析】过点。作ODJBC于尽D,作OEJ.AC于点E，作OFJ_AB于点尸，由。4,OB.OC是*ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，然后利用三角形面积的计算公式表示出S"8。、S,。、Sac。，结合己知，即可得到所求的三个面积的比.【详解】解：过点O作OO_L3。于点。，作OEIAC于点E，作OF_LAB于点F.OA,OB,OC是JAeC的三条角平分线，OD±BC,OElAC于，OF工ABOD=OE=OF,C的三边A3、BC、AC长分别为3、4、5,SBCSc0=×AB×OF）.（BC×OD）.（×AC×OE）=BA.CBtCA=3：4：5.故选：D.【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题.例3.（2022春江苏九年级专题练习）请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理，如图L在杵中,ADWZBAC,则非嘿.图1图2图3下面是这个定理的部分证明过程.证明：如图2,过点C作C七。A.交BA的延长线于点E.任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；（2）如图3,已知RlZiABC中，AB=3,BC=4,ZABC=90o,AO平分/8AC,求ABD的周长.【答案】（1）见解析（2）出叵2RJ）O【分析】（1）过C作CE八4,交BA的延长线JF,利用平行线分线段成比例定理得到=二E，利用CDEA平行线的性质得N2=NACE,Zl=ZE,由N1=N2得NACE=NE,所以AE=AC,于是有噜二更；（2）先利用勾股定理计算出AC=5,再利用（1）中的结论得到第=需，即I=需，则可计算出Bo=m，然后利用勾股定理计算出AD=5,从而可得到ABD的周长.【详解】(1)证明：如图2,过C作CE0A.交BA的延长线于E,RJ)OVCE/AD,一=,Z2=ZACE,Zl=ZE,CDEAABBDVZ1=Z2,ZACE=ZE,：.AE=AC,：.=.ACCD(2)解：如图3,VAB=3,BC=4,ZABC=90o,AC=>BC2+AB2=47737=5,.生