03三角形中的导角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（教师版）.docx
专题03三角形中的导角模型“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、“8”字模型泼8字模型（基础型）条件：如图1,AD.BC相交于点。，连接48、CD；结论：NA+4=NC+ZD;AB+CD<AD+BCo8字模型（加角平分线）条件：如图2,线段AP平分NBA。，线段Cp平分NBCd结论：2ZP=ZB+ZD例L（2021河北统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与3D的交点为C,且-A,NB,NE保持不变.为了舒适，需调整NO的大小，使NEED=U0。，则图中应（填"增加"或"减少"）度.【答案】【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到配。F与加、回£、回。CE之间的关系，进行计算即可判断.【详解】解：00A+0=5Oo+6Oo=llOo,0B4C=18Oo-llO=7Oo,00DCf=7Oo,如图，连接CF并延长，00DFM=0D+0DCF=2Oo+0DCF,mEFM=S)E+0ECF=30°+团ECF,00EFD=0DFM+0EFW=2Oo+0DCF+3Oo+0ECF=5Oo+0DCE=5Oo+7Oo=12Oo,要使团EFD=Il0。，则团EFD减少了10。，若只调整00的大小,由团EFD=II1DFM+三EFM=团D+(3DCF+0f+(3ECF=回D+团E+团ECD=回。+300+70°=回D+100o,因此应将团。减少10度；故答案为：减少；10.【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法.例2.（2023浙江八年级假期作业）如图，求0A+M+3C+（W+0E+3F+3G+3H+0K的度数.【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：04+团B=团/，团C+同D=EIML/,0W+0K=0Gy,0£+0F=0GL,然后由多边形的内角和公式可求得答案.【详解】解：如图所示：G由三角形的外角的性质可知：0A÷0B=0J,0C÷0D=0fL,M+(3K=13GJ,0E+3F=0GL,(三0A+团8+(3C+团0+团E+团产+13G+团”+团K=团/+团ML7+团GMA+(3G+团G"=(5-2)×180o=3×180°=540°.【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键例3.(2023山东德州八年级校考阶段练习)如图1,已知线段AB,8相交于点O,连接AeBD,则我们把形如这样的图形称为“8字型.(1)求证：ZA+ZC=ZB+ZD;如图2,若NCAB和/或C的平分线AP和。P相交于点P,且与8,AB分别相交于点M、N.若NB=IO0。,/。=120。，求/P的度数；若角平分线中角的关系改为“NCAP=gNC43,NCDP=gN83，试探究NP与/反NC之间的数量关系.【答案】(1)见解析(2)110。；(2)ZP=1(B+2ZC)【分析】(1)利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；(2)根据角平分线的定义得到NCAP=N助尸，/BDP=/CDP,再根据"8字形”得到NCAP+NC=NCDP+NP,NBAP+NP=NBDP+NB,两等式相减得到NC-NP=NP-NB,即111OZP=-(ZB+ZC),即可求解.(2)tgZCAP=-CAB,ACDP=-ZCDB,可得NBAP='BAC,NBDP=芋BDC,再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得2(Ne-NP)=Np-NB,即可求解.【详解】(I)证明：在"OC中，ZA+ZC=IWP-ZAOC,在一80。中，ZB+ZD=180o-ZBOD,团NAOC=NBoD,0ZA+ZC=ZB+ZD;(2)解：回NeAB和NBoe的平分线AP和。P相交于点P,0ZGAP=ZBAP,BDP=ZCDP,团NCAP+NC=NCOP+NP，NBAP+NP=NBDP+NB,由一，得:NC-NP=NP-NB,即NP=；(NC+N8),0ZB=100o,ZC=120o,0ZP=(lOOo+l20。)=110。；11220ZCAP=-ZCAB,ZCDP=*0ZBAP=jZBAC,ZBDP=ZBDC,0ZCAP+ZC=ZCDP+ZP,NBAP+NP=NBDP+NB,111222BZC-Zp=-ZBDC一一NBAC=-(NBDC-NBAC),ZP-ZB=-ZBDC-ZBAC=-(ZBDC-333'7333'02(ZC-ZP)=ZP-Z,0ZP=(B+2C),故答案为：P=(B+2ZC).【点睹】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形求解.例4. （2023春广东深圳七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边.（1）如图1,线段AD,BC交于点、E,连接AA,CD,判断A。+BC与AB+8的大小关系，并说明理由;如图2,OC平分AO8,P为。上任意一点，在04,。B上截取OE=OF,连接PE,P尸.求证：尸E=尸尸；如图3,在JWC中，AB>ACtP为角平分线AO上异于端点的一动点，求证：PB-PC>BD-CD.【答案】（l）4>+8C>A+8:理由见详解证明见详解证明见详解【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边知，AE+BE>AB,CE+ED>CD,两式相加即可得出结论；（2）根据SAS证4OEgO尸P即可得出结论;（3）在A8I二取一点E,使AE=AC,连接OE交所于点尸，证-AP匡AAPC,即尸C=PE,同理证8=。后,然后同理（1）得FB+CD>PC+BD,变形不等式即可得出结论.【详解】（1）解：D+BC>AB+CD,理由如下：AE+BE>AB,CE+ED>CD,.AE+BE+CE+ED>AB+CD,EJJAD+BC>AB+CD(2)证明：OC平分AOB,/EOP=ZFOP,OE=OF在二OEP和ZSOFP中，(NEOP=NFOp,.OEPOFP(SAS),PE=PF-.OP=OP(3)证明：在AA上取点E,使AE=AC,连接DE交研于点F,DJ是NBAC的角平分线，.ZEAP=ZCAp,AE=AC在VAPE和AAPC中，,NE4P=NC4P,.APEAPC(SAS)yPE=PC,同理可证OE=DC,AP=APEF+PF>EP,BF+FD>BD,.EF+PF+BF+FD>EP+BD,PB+DE>EP+BD,.PB+CD>PC+BD,.PB-PC>BD-CD.【点睹】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键.更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：例5.（2023春江苏苏州七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形.这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性.在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题.我们将图1所示的图形称为“8字形在这个"8字形”中，存在结论NA+NB=NC+NO.我们将图1所示的凹四边形称为“飞镖形在这个“飞镖形”中，存在结论NAOC=NA+NC+NP.DA直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：如图2,AP.CP分别平分/BA。、NBCD,说明：NP=T（N3+NO）.将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：如图3,直线AP平分/班。的外角NEAD,Cp平分/88的外角NBCE,若NB=30。，ZD=20°,求NP的度数.在图4中，AP平分工HAD的外角NBAz）,CP平分NBCz）的外角NBCE,猜想NP与24、ND的关系（直接写出结果，无需说明理由）.在图5中，AP平分一胡。，CP平分NBCD的外角NBCE,猜想NP与28、NO的关系（直接写出结果，无需说明理由）.图2图3【分析】（1）根据角平分线的定义可得Nl=N2,N3=N4,再根据题干的结论列出ZP+N3=N2+ZABGZP+Z1=Z4+ZAZ）C,相力口得至112/尸+/2+/3=/1+/4+2。+/1£（7,继而得到2NP=NABC+NADC,即可证明结论；(2)如图所示，分作N8ADNBCD的角平分线交于”，根据(1)的结论得到N"=；(/8+/£)=25。,再由角平分线的定义和平角的定义证明/PC”=90。，ZPAH=90°,再根据题干的结论可推出NP=NH=25。：如图所示，分作NBAD/38的角平分线交于从由(1)的结论可知ZH=(ZB+D),同理可得NPe=90。，ZPAH=90°,则由四边形内角和定理可得ZP=180o-(ZB+D);由题干的结论可得NP=N3+NjftAP+N4”,由角平分线的定义得到ZBAP=ZBAOfNBCP=；NBCE,再求出NBCP=90。一；NBCD,由题干的结论可知NB+ZBAO=ZD+/BCD,由此可得ZP=ZB+NBAP+/BCP=90o+(ZB+ZD).【详解】(1)解：RAP、CP分别平分/840、5CD,EINl=Z2,Z3=Z4,0Z2+Z3=Z1+Z4,由题干的结论得：ZP+Z3=Z2+ZABC,0P+Z1=Z4+ZADC,02ZP+Z1+Z3=Z2+Z4+S4BC+ZAZ)C,=ZABC+ZADCfZP=(ZBC+ZADC),即NP=T(NB+NO)；(2)解：如图所示，分作NBADNBCO的角平分线交于”，由(1)的结论可知N”=；(N8+N£>)=25。，PC,"C分别平分NBCENBCD,国NBCP=；NBCE,NBCH=；/BCD,团ZBCD+NBCE=180oZBCP+ZBCH=LNBCD+-ZBCE=90°,22IaNPeH=90。，同理可得"4=90。，由题干的结论可得/尸+/加/=/”+/尸。”，团NP=N"=250：如图所示，分作NBADNBCQ的角平分线交于从由(1)的结论可知N"=；(N8+N。)，同理可得NPcH=90。，ZZ¼H=90o.0 ZP = 360o-ZPH-ZPCT-ZH180o-(ZB + ZD):由题干的结论可得NF=NB+N84P+N8CP,回AP平分一曲£),CP平分N38的外加NBC七,ZBAP=-ZBAO,NBCP=LNBCE,22NBCE=I80。一NBCD,田NBCP=9。-LNBCD,2由题干的结论可知NB+N3AO=NO+N3CQ,ZBAO=ZD+ZBCD-ZB,ZP=ZB+ZBAP+ZBCP=ZB+-ZBAO+900-ZBCD90o+ (ZB +ZD)22=Z+-ZD+-ZBCD-ZB+90o-ZBCD2222【点睛】本题考查了三角形
