浅谈Lebesgue积分与Riemann积分的联系与区别.docx

浅谈Lebesgue积分与Riemann积分的联系与区别有人说,Lebesgue积分是Riemann积分的推广。然而对广义Riemann积分来说,Riemann积分的可积性并不意味着LebeSgUe积分的可积性。那么，他们之间有怎么样的联系和区别呢，首先，我们先来回忆一下两种积分的定义。一、积分定义RiemaniI积分定义假设y=(x)是区间LU上的函数，假设存在某个常数A,使得对区间a,b的任意分割：4<<CXn=8及任意ix1,x,+1,Z=O,l,n-l,只要您给院f0,就有那么称/在,"上Riemann可积。1.ebesgue积分定义设EUR是测度有限的可测集，/是定义在E上的有界可测函数，即存在/R,使F(E)=(x)xEu(,/?).假设。:=4<(<=仅是,得任一分点组，那么记演。)=max-jt_1,Ek=e-1<f(x)/J,对任意媒,*<t*作和式5(D)-A<,那么称/在E上是LebeSegUe可积的。假设/Cr)是E上的可测函数，且加EV8,如果产,广在E上的积分至少有一个不为+8,那么称/(x)在E上有积分，并记假设J(rMx为有限数，那么称/(x)在E上LebeSgUe可积。E二、L积分与R积分的联系由于在通常意义下的R可积性意味着L可积性，所以我们有定理如果有界函数/*)在闭区间可是R可积的，那么/")在LU也是L可积的，且(xXr=f(xg,“用此处j(x)办表示/在L上的L积分，j(x)dx表示/在0用上的R积分。证明：因为/是有界函数，所以只需证明了是LU上的可测函数。由于/是R可积的，取卜目的分点组也,DmUDm+if5(Dtn)=maxw0-x)0,*m记加泮分别为了在卜7-七#的下确界与上确界，由R积分的定义知Iimi>"（x泮-噌）=Iim£%叫染）-燔）=17（幻公。7W<e7W4-Jaf三l令弧,%”为如下的函数列:Wm（X）=那么因2.U。,田，故当区间长度缩小时，上确界不增，下确界不减，所以于是Iimh=,lim%=,即fff.mwoo注意到都是有机可测的，所以是非负L可积函数，从而(f-f)dx=fdx-fdx0。又-,b,"一f(x)dx/(幻公二-E2)fva,a,h-尚泊心匕心=宜加7"泮一式).。(幻右，a.hu.bi=这说明jf(x)dxf(x)dxf(x)dx,.。力-所以U)tZr=f(x)dx,即(7(x)-(x)d=0,力«2>-,b由定理3(曹广福版实变函数>上76页)知，=e,U,进一步f=，=/aea,。因此/在L力上可测。证毕。上述定理中，如果/是在鼠"上广义R可积，那么不一定成立。然而，通过一些条件变换,我们有定理假设/(X)在除“上广义R可积，且/(X)不变号，那么/(X)L可积，且积分值相等。证明：就无界函数/(X),积分值域为0,1，/(X)仅在。=0无界，AX)在0,1上非负来证明。令那么每个(外，N都是非负的有界可测函数，容易证明0工(x)(x),且Iim力(X)=F(X)n由Levi定理L Ij(X)而= Iim L f,(x)dm =JIO. IJH->xO,Jf(x)dm=f(x)dmo证毕三、L积分与R积分的区别从L积分与R积分的定义来看，两种积分的主要区别是，R积分是将给定函数的定义域分小而产生的，而L积分那么是划分函数的值域而产生的。R积分的优点是=3/川得度量容易给出，但是当分发的细度充分小时，函数f(x)在。上的振幅4=SUp/*)-inf/'(X)仍可能较大。L积分的优点是函数/(x)在上的振幅X4X嗨%=SUPf(X)-inff(r)6(、)较小,但既不再是区间,而是可测集。L积分理论是在测X田XWEk度理论根底上建立的，而测度是平面上度量的推广，故而L积分可以处理有界函数和无界函数的情形，而且把函数定义在更一般的点集上，而不仅仅局限于除”上，从而使L积分的积分范围比R积分更广泛。而在重积分运算时，R积分理论要求重积分和两个累次积分都存在时才相等，而L积分那么只需可测且有一个累次积分存在即可，也就是说在L积分理论下重积分化累次积分的条件减弱了。另一方面，R积分中的逐项积分问题，也就是积分与极限交换问题，条件要求非常苛刻，被积函数必须一致收敛，极限才能通过积分号，不仅计算起来不方便，而且限制过强,L积分的要求就要比R积分少得多，只要函数非负即可。就L控制收敛定理而言，只需存在控制函数厂(助使得勿"幻即可，因此在积分与极限交换次序这个问题上，L积分要比R积分灵活方便的多。1.积分与R积分的区别，受限于自身的学力，只能对上述问题进行初步探讨。三、总结本文从L积分与R积分的定义，相关积分计算，积分范围，积分与极限交换次序等简要表达了两种积分的区别；在普遍意义与广义R积分两种情况下用两个定理表述了两种积分的联系。1.积分的诞生是基于R积分本身出现的问题，如在某些求极限问题上，涉及到无界区间时等，L积分的出现，使可积函数的范围扩大，为积分与极限交换次序等问题提供了更方便实用的理论，也为泛函分析的产生奠定了根底，当然L积分的作用远远不止这些，不过由于自身的的学识，只能较浅显的对两种积分进行讨论。参考文献1曹广福，实变函数与泛函分析（上）（M）,高等教育出版社，2011；2华师大数学系，数学分析（M）,高等教育出版社，2001；3胡长松，实变函数（M）,科学出版社，2002；4黄仿伦，实变函数）（M）,安徽大学出版社，2001；5何穗，刘思敏，喻小培等，实变函数（M）,科学出版社，2006o