旋转综合题（4种题型）.docx

重难点03旋转综合题（4种题型）题型*：线段问题题型二：面积问题旋转综合题题型三：角度问题题我四：其他问题U技巧方法1.生活中的旋转现象注意：旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键.旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向.旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点.2 .旋转的性质注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样.3 .旋转对称图形常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等.4 .坐标与图形变化-旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x,y）=P（X,-y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°.5 .中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180。，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.（2）中心对称的性质关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.6 .中心对称图形注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同.7 .关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标特点(1)两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P'(-X,-y).(2)关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质.但它主要是用坐标变化确定图形.U能力拓展题型一：线段问题一、填空题1. (2022.四川省成都市七中育才学校八年级期末)已知直线4与直线4,若将4绕平面内一点尸顺时针旋转。后恰好能与4重合，则称点尸为4关于4的“。顺合点如图1，在平面直角坐标系Xay中，点耳(2,2),(-1J),A(-2,T)中是y轴关于X轴的“90。顺合点”的是:如图2,已知直线4与直线4交于点A,点C,。是直线4上不重合的两点，AC=S,位于直线4右侧的一点P是4关于4的“60。顺合点“，AP=2,连接PC,PD.点B在L上,连接BP,若NBPC=60°且BP=OP,则AB=.24【答案】P2-【分析】根据题目描述将)，轴绕某个点顺时针旋转90得到X轴，判断符合要求的点即“：由NBpC=60。可知8点旋转后落在点C处,作出A点旋转后落在点4处,得到BPC、AE4,都为等边三角形，得到Q4wACa,进而得到结论.【详解】解：根据定义，6绕平面内一点尸顺时针旋转。后恰好能与4重合，则称点P为4关于4的“。顺合点”，将y轴绕点已顺时针旋转90。得到工轴，故y轴关于X轴的“90。顺介点”为点£.点B绕点P旋转60后落在点C上，则BP=PC,又BP=DP,PC=PD,点P在C。的垂宜平分线上，又.点A在4上，则点A的对应点4在，2上，MPC、AR都为等边三角形.NBPA=NCPT,AC=DA,fVBP=PC,PA=PAtB4三C¼,：AB=CA!f设AC=2x,则Co=2x,DA,=2x,AA,=6x=2,X=,4.AB=CA'=-.3【点睛】本题考查旋转的性质及线段垂直平分线的应用、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，理解题目描述的“。顺合点”是解题关键.二、解答题2. （2022.浙江湖州八年级期末）如图1,已知在平面直角坐标系Xoy中，AOQ的顶点A在4轴上，点A的坐标是（2）,点。的坐标是（、区1）,作点。关于X轴的对称点3,连接。8,AB,BD.(1)求点B的坐标和NHQD的度数；(2)如图2,将点A绕点。逆时针转动。度(OVaV90。)得到点P,点G是平面内一点，以P、B、。、G为顶点形成的四边形为平行四边形.当该平行四边形为菱形且8。是其一边时，求点G的坐标：当-88内部(包含边界)存在满足条件的点G时，直接写出点尸的横坐标的取值范围.【答案】(1)点3的坐标是(6-1)：NBQD=60。G的坐标是(5+l,6+l):(3-L3-l):丑誓,<2或-3+15,r【分析】(1)根据题意：点。、6关于X轴对称，可得点5的坐标.再根据勾股定理，得到OB=OD=2,再根据点。、8的坐标，即可得到8£>=2,所以OB=OD=BD=2,根据等边三角形的性质，即可得到NBa)的度数.(2)分情况讨论，情况I：根据题意，得到8产=O产，得到,。射是等腰直角三角形，然后再过点B作BE_Ly轴于点E,过点P作PFLBE于点F,可得AOBEBPF且点、G、P>尸共线，从而得到87=OE=1,PF=BE=5,即可得到点G的坐标；情况2：根据题意，得至IIO。?+。产=Op2,得到-OD尸是等腰直角三角形，记BD与X轴的交点为点F,过点P作PELBD于点E,可知AQD/7且£>PEn.点E、D、8共线，从而得到PE=DF=I,DE=OF=5即可得到点G的坐标；分情况讨论，情况1：当旋转开始时X轴上存在满足题意的点G,此时=2近.随后，点G落在OB上.如图3,BD交X轴点E,过点P作尸产J-X轴广点尸，过点P作P”_LBD于点H,过点G作GK_L%>点KfDH=x,则PH=瓜,HE=l-x,OF=OE+PH=6+瓜.在心ZXOP/中，可(3+3)2+(1-x)2=(22)2,解出X得值，从而得到点P的横坐标的取值范围.情况2：当点尸旋转至直线BO上时，xp=3.继续旋转，点G恰好存在于OD上，如图4.四边形PGBo是平行四边形，PG即，而_x轴，故PGJLX轴.延长PG交工轴于点K.设OK=x,则GK=立X,PG=BD=2,PK=2+-x,在RfOPK中,可得：33/+(2+乎xj=(22)2,解出X得值，从而得到点尸的横坐标的取值范围.(1)解点。、8关于4轴对称，点B的坐标是(6-1).根据勾股定理：OB=J(可+f=2OB=OD=BD=2,，ZBQD=60。.(2)解：情况1(如图1)：四边形BQGP是菱形，PG/BDILPG=BP=BD=DG=I,又,：OB=2,OP=QA=2应，0产+BP2=0尸2,.,QHP是等腰直角三角形.过点8作8E_Ly轴于点E,过点尸作尸产于点F,*：OB=BP又'：NOBE+/FBP=好ZFBP+ABPF=90o.AOBE=ZBPF又.：NOED=/BFP=90。OBEBPF(AAS)且点G、P、尸共线.丁点B的坐标是(6-1),.QE=1,BE=币.；BF=OE=I,PF=BE=6,：EF=BF+BE=6+1,GF-OE=GP+PF-OE=2+6-=6+.：G的坐标是(6+,G+)图2情况2(如图2)：四边形8。PG是菱形，PGBDRPG=GB=BD=DP=2,'：OD=OB=2,OP=OA=22.*OD2+DP2=OP2.，.ODP是等腰直角三角形.idBD与X轴的交点为点F,过点P作PE工BDf点E,：OD=DP,乂：NPDE+NODF=90。QPE+"DE=帝：ZODF=NDPE乂.；/PED=ZODFAODWZXOPE(AAS)且点E、D、8共线.丁点。的坐标是(Gl),，。F=1,OF=G.PE=DF=X»DE=OF=REF-PG=3+i-2=3-l,OF-PE=6-1.6的坐标是(如一1，6一1)：旋转开始时X轴上存在满足题意的点G,此时与=2.随后，点G落在。8上.如图3,BD交X轴于点E,过点尸作尸尸J_X轴于点Ft过点尸作PH±BD于点、H,过点G作GK_L8D于点、K.设O=x,贝JP"=5x,HE=l,OF=OE+PH='0.在MZ0P/中，(+Jx)+(1-=(2应)化简得：X2+x-lOFf+小X=故%<222当点P旋转至直线BD上时，XP=B继续旋转,PGBO是平行四边形，PGBD,而301.X轴，OK=x,则GK=3X,PG=BD=2,PK=Q.=0,解得：（负值舍去）于是，2的V三2'图3点G恰好存在于。思如图4.四边形故尸G_LX轴.延长PG交工轴于点K.设+更X,在RtOPK中,3（/TVX2+2+与X=（22）2,解得：X/【点睛】本题考查r点的对称性，的判定，全等三角形的性质与判定3铲”后（负值舍去）故图4勾股定理，等边三角形的性质，菱形的性质，直角三角形，解一元二次方程的解等知识点，解本题的关键在找到满足条件的情况，并分类讨论.3.（2022山东济南八年级期末）如图1,在DG上，连接AE,CG.gJ9C图1四边形ABC。和四边形。EPG都是正方形，点4图2C图3(1)求证：AE=CG;猜想：AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想；(3)在其它条件不变的前提下，如果将正方形ABCD绕着点。按逆时针旋转任意角度(如图2).那么(2)中结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(4)如图3,将正方形ABC。绕着点。旋转到某一位置时恰好使得AOEG,AE=GE.当正方形DEFG的边长为时，请直接写出正方形ABCD的边长.【答案】(D证明见解析(Z)AELCG.证明见解析(3) (2)中结论仍然成立.理由见解析(4)3-l【分析】(1)由正方形的性质得出CD=AO,ZCDG=ZADE=90o,GD=ED,证明CDGADE(SAS),则可得出结论；(2)延长EA交CG于”，由全等三角形的性质证出NGE=90。，则可得出结论；(3)设E4与CG相交于点“，GD与AE交于点M,证明COGgAADE(SAS),由全等三角形的性质得出NCGO=NAEQ,则可得出结论；(4)连接CE,证明CDE丝ZSCQG(SAS),得出CE=CG,WJCG=CE=EG,证出CEG是等边三角形，由等边三角形的性侦得出NCEG=60。，延长。交EG于点凡由等腰三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案.(1)证明：Y四边形ABC。和四边形/“尸G都是正方形，.>=AO,ZCDG=ZDE=90o,GD=ED,CDGADE(SAS),：.AE=CGx图1ZCGD=ZAEDf*：ZGAH=ZDAe,ZHGA+ZGAH=ZAED+ZDAE=90q,"GHE=9G,：.AELCG-,(3)解：(2)中结论仍然成立.理由：如图2,设以与CG相交于点”，G。与AE交于G四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，."D=AD,ZCDA=ZCDG=90o,GD=ED,ZCDA+ZADG=ZCDCh-ZADG,ZCDG=ZADEf在CD=AD CDGllADE中，4CDG=NADE,：.CDGADE(SAS),：.ZCGD=Z